高考综合复习——动量专题复习一 动量 动量定理 动量守恒定律

编稿：郁章富 审稿：李井军 责编：郭金娟

总体感知

知识网络

命题规律

1．从近几年的高考试题来看，本专题是高考考查的重点之一，涉及本专题的高考试题有选择、填空、计算等题型。高考试题中多次出现动量守恒和能量守恒相结合的综合计算题，有时还与带电粒子在电场和磁场中的运动、天体的运动、核反应等联系起来综合考查。 2．在新课标地区由于本专题的知识位于选考部分，因而有关动量的内容将出现在选做部分，而且以实验题和计算题形式出现的可能性较大。

在新课标地区的考试大纲中，对本专题的要求有所降低，因此出现大型综合题的可能性不大，出题形式还是以选择、计算、实验为主。

由于各考区的要求不同，出题的分值和形式也不一样。比如在广东考区本专题为指定选考

内容，与必考内容相当；而在山东将以非选择题的形式出现，而其与原子物理部分合起来占有分值只有8分左右，故出现难题的可能性不大，出计算和实验题的可能性较大。

复习策略

本章的复习在时间上必须给予足够的保证，在思想上给予高度的重视。

1．注意提高对各知识点的理解能力，如动量、冲量、动量定理以及动量守恒定律的矢量性及意义，这在高考有关的大多数题目中都有刻意的体现。

2．注重提高分析综合能力和对实际问题进行抽象简化的能力。在处理问题所描述的物理过程较为复杂情况时，首先必须明确题目所描述的物理过程，弄清物理现象发生的条件，并尽可能地用简洁的语言，或用数学公式把物理过程、物理条件表达出来，并将题设的条件进行合理的抽象和简化。

3．注重提高综合运用物理规律解决实际问题的能力。高考有关试题中多次涉及到综合运用动量守恒定律、能量守恒定律、平抛运动规律等情况，要注意必须与客观实际相符，才能对问题做出全面准确的判断。

4．在动量守恒定律的复习中，要抓住速度的矢量性、瞬时性、同一性、同时性，分析物体之间的相互作用的过程，要针对某一过程确定状态，列出方程，抓住典型问题。例如，人船问题，弹性碰撞问题，子弹打木块问题，弹簧问题，多个物体相互作用过程的选取问题等等，在复习中，要抓住两点：第一要注意选取系统（对象）和过程，第二要抓住摩擦力做功的特征、摩擦力做功和动能变化的关系，以及物体在相互作用时能量的转化关系，另外，对于碰撞问题，要注意碰撞的多种可能性，作出正确的分析判断后，再针对不同情况进行计算以免出现漏解。

第一部分 动量、动量定理

知识要点梳理

知识点一——动量和冲量

▲知识梳理 1．动量

（1）定义：运动物体的质量与速度的乘积。 （2）表达式：

。

（3）矢量性：动量是矢量，方向与速度方向相同。运算遵守平行四边形定则。 （4）动量的变化量： 特别提醒：

①物体动量的变化是个矢量，其方向与物体速度的变化量

的方向相同。在合外力为恒

是矢量，方向与

一致。

力的情况下，物体动量变化的方向也是物体加速度的方向，也即物体所受合外力的方向，这一点，在动量定理中可以看得很清楚。

②有关物体动量变化的运算，一定要按照矢量运算的法则（平行四边形定则）进行。如果物体的初、末动量都在同一条直线上，常常选取一个正方向，使物体的初、末动量都带有表示自己方向的正负号，这样，就可以把复杂的矢量运算化为简单的代数运算了。

（5）动量与动能的关系： 2．冲量

（1）定义：力与力的作用时间的乘积。 （2）表达式：

。

。

（3）冲量是矢量：它由力的方向决定。

▲疑难导析

特别提醒：

（1）当物体的速度大小不变，方向变化时，动量一定改变，动能却不变，如：匀速圆周运动。

（2）在谈及动量时，必须明确是物体在哪个时刻或哪个状态所具有的动量。

（3）物体动量的变化率

等于它所受的力，这是牛顿第二定律的另一种表达形式。

2．对动量、冲量概念进一步的理解

（1）动量是状态量，对应于物体运动的某个状态；冲量是过程量，是力对时间的累积效应。它们都是矢量，必须大小、方向都相同，才能说两物体的动量、冲量相同。

（2）冲量的方向由力的方向决定，在作用时间内力的方向不变，冲量的方向就是力的方向。若力的方向变化，冲量的方向与动量变化方向相同。如：匀速圆周运动中，质量为m的物体，线速度大小为v，运动半个周期向心力的冲量方向如何？ （3）

仅适用于恒力的冲量计算，计算中I的大小与物体运动状态无关，力与时间

要一一对应，变力的冲量应用动量定理计算。

例如质量为m的小球用长为r的细绳的一端系住，在水平光滑的平面内绕细绳的另一端做

匀速圆周运动，速率为v，周期为T。向心力

在半个周期的冲量不等于

。而是半个周期的始、末线速度方向相反，动量的变化量是

定理可知，向心力在半个周期的冲量大小也是方向相反。

成

。根据动量

，方向与半个周期的开始时刻线速度的

：一个质量为1 kg的物体，放在水平桌面上，受到一个大小为10 N，与水平方向角的斜向下的推力作用，如图所示。g取10

，则在5s内推力冲量大小为_______，

支持力的冲量大小为_______。

解析：推力F和桌面对物体的支持力

皆为恒力，且

＝16 N， ，

则推力的冲量 支持力的冲量

知识点二——动量定理

▲知识梳理 1．动量定理

（1）内容：物体所受的合外力的冲量等于它的动量的变化量。 （2）表达式：

或

（3）根据，得，即

。这是牛顿第二定律的

另一种表达形式：作用力F等于物体动量的变化率 特别提醒：

。

都是矢量运算，所以用动量定理解题时，应首先确定研究对象，根

据各已知量的方向确定它们的正负，再代入运算。

2．应用动量定理解题的步骤 （1）选取研究对象；

（2）确定所研究的物理过程及其始、末状态； （3）分析研究对象所研究的物理过程中的受力情况； （4）规定正方向，根据动量定理列式； （5）解方程，统一单位，求解结果。

▲疑难导析

1．对动量定理的几点说明

（1）动量定理的研究对象可以是单个物体，也可以是物体系统。对物体系统，只需分析系统受的外力，不必考虑系统内力。系统内力的作用不改变整个系统的总动量。 （2）用牛顿第二定律和运动学公式能求解恒力作用下的匀变速直线运动的间题，凡不涉及加速度和位移的，用动量定理也能求解，且较为简便。

但是，动量定理不仅适用于恒定的力，也适用于随时间变化的力。对于变力，动量定理中的F应当理解为变力在作用时间内的平均值。

（3）用动量定理解释的现象一般可分为两类：一类是物体的动量变化一定，此时力的作用时间越短，力就越大；时间越长，力就越小。另一类是作用力一定，此时力的作用时间越长，动量变化越大；力的作用时间越短，动量变化越小。分析问题时，要把哪个量一定哪个量变化搞清楚。

2．动量定理的应用技巧 （1）应用

求变力的冲量

求变力的冲量，这时可以求出该力作用下的

如果物体受到变力作用，则不直接用物体动量的变化 （2）应用

，等效代换变力的冲量I。

求恒力作用下的曲线运动中物体动量的变化。

需要应用矢量运算方法，

曲线运动中物体速度方向时刻在改变，求动量变化

比较复杂，如果作用力是恒力，可以求恒力的冲量，等效代换动量的变化。

：物体A和B用轻绳相连接，挂在轻弹簧下静止不动，如图（a）所示，A的质量为

m，B的质量为M。当连接A、B的绳突然断开后，物体A上升经某一位置时的速度大小为v．这时，物体B的下落速度大小为u，如图（b）所示。在这段时间里，弹簧的弹力对物体A的冲量为（ ） A． B． C． D．

答案：D

解析：由题意可知，虽然整个过程所用的时间可以直接求出， 但弹簧的弹力是一变力，要求它的冲量只能用动量定理来计算。 以物体A为研究对象，取竖直向上为正方向， 根据动量定理有：

①

在t时间内，物体B做自由落体运动，则： 由①②两式可得弹力的冲量 所以正确的选项为D。

②

典型例题透析

题型一——动量、动量变化量的计算

关于动量变化量的计算： （1）动量的变化量

，式中p为初始时刻的动量，

为末时刻的动量。由于

动量是矢量，动量的变化量也是矢量，动量的运算应遵循平行四边形定则。 （2）如果初动量p、末动量一个正方向。p和得。

在同一直线上，动量的运算可以简化为代数运算。即规定

求

中凡是方向和正方向一致的取正值，相反的取负值，由

（3）如果初末动量p和据

不在同一直线上，可根据三角形定则作图求得。即若垂直可根

求得。

1、将质量为0. 10kg的小球从离地面20 m高处竖直向上抛出，抛出时的初速度为

，求当小球落地时：

15 m/s，g取10

（1）小球的动量；

（2）小球从抛出至落地过程中动量的增量；

（3）若其初速度方向改为水平，求小球落地时的动量及动量变化量。

思路点拨：

计算动量、动量变化量时应首先判断初、末速度的方向。对于动量，由定义式

，可直接计算；对于动量变化

四边形定则。 解析： （1）由

可得小球落地时的速度大小

m/s。

，方向向下。

，此式是矢量式，计算时应遵循平行

取向下为正，则小球落地时的动量 （2）小球从抛出至落地动量的增量

（3）小球落地时竖直分速度为

落地时的速度为：

，则由

得：

，方向向下。

，方向与水平方向夹角

向下

则小球落地时动量为

抛出后，小球在水平方向上动量变化 在竖直方向动量变化 所以

总结升华：由于动量是矢量，动量的变化量行四边形定则。 举一反三

【变式】质量为m的钢球自高处落下，以速率离地的速率为 A．向下， C．向上，

答案：D

解析：取向下为正向，则正方向相反即向上。

，方向竖直向下。

也是矢量，动量的运算应遵循平

碰地，竖直向上弹回，碰撞时间极短，

。在碰撞过程中，钢球的动量变化量方向和大小为（ ）

B．向下， D．向上，

，负号表示与选的

题型二——冲量的计算

冲量的计算常分三种情况： （1）恒力的冲量。用

去求解。

（2）用图像法求变力的冲量

如果力随时间作线性变化，可以用图像法求变力的冲量，此时比较容易求平均力。以时间为横轴，力为纵轴，力随时间变化的关系图线在

坐标上，如图所示。该图线与时间轴

围成的面积（图中阴影部分）在量值上代表的力的冲量。 这样求力的冲量问题就变成求

图上的面积问题了。

（3）用动量定理求变力的冲量。

2、一质点在水平面内以速度v做匀速圆周运动，如图，质点从位置A开始，经圆

周，质点所受合力的冲量是多少？

思路点拨：利用动量定理

求变力的冲量。

解析：质点做匀速圆周运动，它所受的合外力提供向心力， 合力是一个大小不变、方向不断变化的力， 那么合力的冲量由

因为

总结升华：变力的冲量

不容易或无法直接求出，可借助

间接求出，即

，则

可知

为合外力冲量，以

方向为正，

同向。

，合力冲量与

合外力的冲量由末动量与初动量的动量差来决定。 举一反三

【变式】用电钻给建筑物钻孔时，钻头所受的阻力与深度成正比。若钻头匀速钻进时第1秒内阻力的冲量为100 N·s，求5s内阻力的冲量。

解析：设钻头钻进墙壁的深度为x，则钻头受到的阻力为 又因钻头是匀速钻进的，即

，所以

，

，k为比例系数，

阻力与时间t成正比，图线如图所示：

在时间t内阻力的冲量，

因1s内的冲量为100 N·s，，

所以

，则5s内的冲量N·s。

题型三——对动量定理的理解及计算

（1）动量定理

是矢量方程

合外力的冲量与物体的动量变化不仅大小相等，而且方向相同。应用动量定理解题时，要特别注意各矢量的方向，先规定正方向，再把矢量运算化为代数运算。 （2）对系统运用动量定理列式求解

尽管系统内各物体的运动情况不同，但各物体所受的冲量之和仍等于各物体总动量的变化量。应用这个处理方法能使一些繁杂物理题的运算更为简便。

3、滑块A和B用轻细线连接在一起后放在水平桌面上，水平恒力F作用在B上，使

A、B一起由静止开始沿水平桌面滑动。如图，已知滑块A、B与水平面间的滑动摩擦因数均为

，在力F作用t秒后，A、B间连线突然断开，此后力F仍作用于B。试求：滑块A刚

）

好停住时，滑块B的速度多大（滑块A、B的质量分别为

思路点拨：细绳断开前后，若取A、B作为一个系统，取全过程来研究，系统受的合外力不变，即

解析：取滑块A、B为研究对象，研究A、B整体作加速运动的过程。 根据动量定理，有

，可用动量定理对系统来研究较为简便。

由此可知A、B在线断开时的共同速度为

研究滑块A在线断开后做匀减速运动的过程，根据动量定理，有

将上式，代入此式可得滑块A做匀减速运动的时间为 研究滑块A、B整体，研究从力F作用开始至A停止的全过程。

此过程中系统受合外力始终不变，根据动量定理，有

将代入此式可求得B滑块的速度为

。

总结升华：动量定理的研究对象一般为单一的物体，但也可以是一个物体系，且动量定理可以在某一分过程中使用，也可以对全过程使用。 举一反三

【变式】质量为M的金属块和质量为m的木块通过细线连在一起，从静止开始以加速度a在水中下沉，经过时间t，细线断了，金属块和木块分离，再经时间，木块停止下沉，求此时金属块的速度。

解析：对金属块和木块组成的系统，其所受的合外力为

，从开始下沉到

木块停止下沉，系统所受的合外力是恒定的，选开始的状态作为初态，木块停止下沉的状态作为末态，对全过程应用动量定理有

所以当木块停止下沉时铁块的速度

第二部分 动量守恒定律

。

知识要点梳理

知识点一——动量守恒定律

▲知识梳理 1．动量守恒定律

相互作用的一个系统不受外力或者所受外力之和为零，这个系统的总动量保持不变。 （1）表达式： ① ②

(或

，表示作用前后系统的总动量相等。 )，表示相互作用物体系总动量增量为零。

③，表示两物体动量的增量大小相等方向相反。

特别提醒：正确区分内力和外力

外力指系统外物体对系统内物体的作用力；内力指研究系统内物体间的相互作用力。 （2）动量守恒是对某一系统而言的

划分系统的方法一旦改变，动量可能不再守恒。因此，在应用动量守恒定律时，一定要弄清研究对象，把过程始末的动量表达式写准确。在某些问题中，适当选取系统使问题大大简化。

2．动量守恒定律的条件

（1）系统不受外力或系统所受的合外力为零。

（2）系统所受的合外力不为零，但比系统内力小得多。如爆炸过程中的重力比相互作用力小很多，可忽略重力，认为爆炸过程符合动量守恒定律。

（3）系统所受的合力虽不为零，但在某个方向上的分量为零，则在该方向上系统总动量的分量保持不变。

3．动量守恒定律解题的基本思路

（1）确定研究对象并进行受力分析，过程分析； （2）确定系统动量在研究过程中是否守恒； （3）明确过程的初、末状态的系统动量的量值； （4）选择正方向，根据动量守恒定律建立方程。

4．动量守恒定律的适用范围

动量守恒定律是从实验中总结出来的，并且它是人们在自然界中寻找“守恒”的产物。动量守恒定律也可以利用牛顿定律和运动学公式推导出来，但它的适用范围却比牛顿定律广得多。牛顿定律的适用范围是：低速、宏观，动量守恒定律却不受此种限制。动量守恒定律是自然界中最重要、最普遍的规律之一。

▲疑难导析

1．应用动量守恒定律列方程时应注意以下四点

（1）矢量性：动量守恒方程是一个矢量方程。对于作用前后物体的运动方向都在同一直线上的问题，应选取统一的正方向，凡是与选取正方向相同的动量为正，相反为负。若方向未知，可设正方向列动量守恒方程，通过解得结果的正负，判定未知量的方向。 （2

）瞬时性：动量是一个瞬时量，动量守恒指的是系统任一瞬时的动量恒定。列方向

时，等号左侧是作用前(或某一时刻)各物体的动量和，等号右

侧是作用后(或另一时刻)各物体的动量和。不同时刻的动量不能相加。

（3）相对性：由于动量大小与参考系的选取有关，因此应用动量守恒定律时，应注意各物体的速度必须是相对同一惯性系的速度。一般以地面为参考系。

（4）普适性：它不仅适用于两个物体组成的系统，也适用于多个物体组成的系统；不仅适用于宏观物体组成的系统，对微观粒子组成的系统也适用。

2．多个物体组成的系统动量守恒

系统的动量守恒不是系统内所有物体的动量不变，而是系统内每个物体动量的矢量和不变，而且每个物体的动量都是相对同一参照系的。因此，根据题目的要求，要善于应用整体动量守恒，巧妙选取研究系统，合理选取相互作用过程来研究，问题就会迎刃而解。

3．当动量不守恒时，可利用某一方向守恒求解

如果相互作用的物体所受外力之和不为零，外力也不远小于内力，系统总动量就不守恒，也不能近似认为守恒，但是，只要在某一方向上合外力的分量为零，或者某一方向上的外力远小于内力，那么在这一方向上系统的动量守恒或近似守恒。

4．动量守恒定律应用中的临界问题

在动量守恒定律的应用中，常常会遇到相互作用的两物体相距最近、避免相碰和物体开始反向运动等临界问题。这类临界问题的求解关键是充分利用反证法、极限法分析物体的临界状态，挖掘问题中隐含的临界条件，选取适当的系统和过程，运

用动量守恒定律进行解答。

：如图所示，带四分之一圆弧轨道的长木板A静止于光滑的水平面上，其曲面部分

MN是光滑的，水平部分NP是粗糙的，现有一小滑块B自M点由静止下滑，设NP足够长，则下列叙述正确的是（ ）

A．A、B最终以同一速度(不为零)运动 B．A、B最终速度都为零

C．A先做加速运动，再做减速运动，最后静止 D．A先做加速运动，后做匀速运动

答案：BC

解析：由于木板与滑块组成的系统水平方向不受外力，故水平方向动量守恒，初动量为零，故末动量也为零，即最终木板与滑块将静止，故A错B对；物块在光滑圆弧上下滑时，木板A受压力在水平方向有分力，故此时A向左加速，当滑块B到NP上时，A受向右摩擦力又减速最终静止。

知识点二——碰撞、爆炸和反冲

▲知识梳理 1、碰撞与爆炸

（1）碰撞与爆炸具有一个共同特点：即相互作用的力为变力，作用的时间极短，作用力很大，且远远大于系统受的外力，故均可用动量守恒定律来处理。

（2）爆炸过程中，因有其他形式的能转化为动能，所以系统的动能会增加。

（3）由于碰撞(或爆炸)的作用时间极短，因此作用过程中物体的位移很小，一般可忽略不计，即认为碰撞(或爆炸)后还是从碰撞(或爆炸)前瞬间的位置以新的动量开始运动。

2、反冲运动

（1）反冲运动是相互作用的物体之间的作用力与反作用力产生的效果。如射击时枪身的后坐，发射炮弹时，炮身的后退，火箭因喷气而发射，水轮机因水的冲刷而转动等都是典型的反冲运动。

（2）反冲运动的过程中，如果没有外力作用或外力的作用远小于物体间的相互作用力，可利用动量守恒定律来处理。

（3）研究反冲运动的目的是找反冲速度的规律，求反冲速度的关键是确定相互作用的对象和各物体对地的运动状态。

（4）反冲运动中距离、移动问题的分析

一个原来静止的系统，由于某一部分的运动而对另一部分有冲量，使另一部分也跟随运动，

若现象中满足动量守恒或某个方向上满足动量守恒，则有，有。

物体在这一方向上有速度，经过时间的累积，物体在这一方向上运动一段距离，则距离同样

满足，则它们之间的相对距离。

（5）火箭的反冲问题

火箭内部装有燃料和氧化剂，它们经过输送系统进入燃烧室，燃烧生成炽热气体向后喷射，获得向后的动量，按动量守恒定律，火箭必获得向前的动量。燃料不断燃烧，连续地向后喷出气体，火箭不断地受到向前的推力作用，从而获得很大速度。火箭飞行所能达到的最大速度，也就是燃料燃尽时获得的速度。最大速度主要取决于两个条件：一是喷气速度；二是火箭开始飞行时的质量与燃料燃尽时的质量比。喷气速度越大，质量比越大，最终速度越大。

▲疑难导析

特别提醒：弹性碰撞的规律

两球发生弹性碰撞时应满足动量守恒和动能守恒。 以质量为

速度为

的小球与质量为

的静止小球发生正面弹性碰撞为例，则有

解得

结论：

（1）当两球质量相等时，两球碰撞后交换了速度。

（2）当质量大的球碰质量小的球时，碰撞后两球都向前运动。

（3）当质量小的球碰质量大的球时，碰撞后质量小的球被反弹回来。

2、散射

在粒子物理和核物理中，常常使一束粒子射入物体，粒子与物体中的微粒碰撞。研究碰撞

后粒子的运动方向，可以得到与物质微观结构有关的很多信息。与宏观物体碰撞不同的是，微观粒子相互接近时并不发生直接接触，因此微观粒子的碰撞又叫做散射。由于粒子与物质微粒发生对心碰撞的概率很小，所以多数粒子在碰撞后飞向四面八方。如图所示。

3、解析碰撞问题的三个依据 （1）动量守恒，即

（2）动能不增加，即或

（3）速度要符合情景：如果碰前两物体同向运动，则后面的物体速度必大于前面物体的速度，即

，否则无法实现碰撞．碰撞后，原来在前的物体的速度一定增大，且原来

，否则碰撞没有结束．如果

在前的物体速度大于或等于原来在后的物体的速度，即

碰前两物体是相向运动，则碰后，两物体的运动方向不可能都不改变，除非两物体碰撞后速度均为零．

4、平均动量守恒

若系统在全过程中的动量守恒(包括单方向动量守恒)，则这一系统在全过程中的平均动量也必守恒，如果系统是由两个物体组成，且相互作用前均静止，相互作用后均发生运动，则由动量守恒定律， 得推论：

。

。使用时应明确

必须是相对同一参照物位移的大小。常见的

“人船模型”符合此特点。

：如图所示，一颗质量为m、速度为的子弹竖直向上射穿质量为M的木块后继续上升，子弹从射穿木块到再回到原木块处所经过的时间为T。那么当子弹射穿木块后，木块上升的最大高度是_________。

解析：当子弹射穿木块的过程中，系统受到重力的作用， 但由于时间太短，内力远大于外力， 因此作用过程中，仍可以认为动量守恒。

子弹射穿木块后速度