题

答 号 证 赛 参勿 _ _ _ _ _ __请 __ 名 姓 __内 _ _ _ _ _ _ ___线 _ 校 学 封 密决赛试题D（小学组）

（时间: 2011年4月16日10:00～11:30）

一、填空题（每小题 10分, 共80分）

1. 345 567 789 910

11

2. 丫丫一家3口, 加上丫丫的表弟, 今年四人年龄之和为95岁. 爸爸比妈妈大4

岁, 丫丫比表弟大3岁. 8年前, 他们的年龄之和为65岁. 则爸爸今年_______岁.

3. 两个非零自然数的和是210, 它们的最小公倍数是1547, 则它们的乘积

是 .

4. A, B两地相距600千米, 甲、乙两人同时骑自行车从A地出发去B地. 甲每

天骑40千米, 乙每天骑60千米, 但乙骑一天休息一天. 第 天的行程结束时, 乙距B地的路程是甲距B地的路程的二倍. 5. 如图所示, 四边形ABCD与四边形CPMN

都是平行四边形, 若三角形DFP与三角形AEF的面积分别是22和36, 则三角形BNE的面积为_______.

6. 某班植树节植树, 分为3个组, 第一组每人植树5棵, 第二组每人植树4棵,

第三组每人植树3棵. 已知第二组人数是第一、三两组人数之和的三分之一, 植树棵数比第一、三两组棵数之和少72棵, 则该班级至少有_______人. 7. 11 101 1001 10001 1000001 111的末8位数字依次是_______.

8. 在银行ATM机取钱时需要输入银行卡密码后才能进入下一步操作, 密码是

000000到999999中某一个6位数码. 某人取钱时忘记了密码, 只记得密码中

有1, 3, 5, 7, 9并且没有别的数字. 如果不限制输错密码的次数, 某人最多输入_______次不同的密码就能进入下一步操作.

二、解答下列各题（每题10分, 共40分, 要求写出简要过程）

9. 在右面的加法竖式中, 不同的汉字可以代

表相同的数字, 使得算式成立. 在所有满足要求的算式中, 四位数华杯决赛的最大值是多少?

10. 如图所示, AB//CE, AC//DE, 且AB AC 5,

CE DE 10. 若三角形COD的面积为10, 求四边形

ABDE的面积.

11. 老师为自己班级的50名学生做了50张分别写着1到50的数字卡片, 每张

卡片都是一面红色, 另一面蓝色, 两面都写着相同的数字. 老师把这50张卡片都蓝色朝上地摆在桌上, 对同学们说:“请你们按顺序逐个到前面来翻卡片, 规则是: 只要卡片上的数字是你自己序号的倍数, 你就把它们都翻过来, 蓝的就翻成红的, 红的就翻成蓝的.” 那么, 当全体学生都按老师的要求翻完以后, 红色朝上的卡片有多少张?

12. 设半径为10厘米的球中有一个棱长为整数（厘米）的正方体, 则该正方体

的棱长最大等于多少？

三、解答下列各题（每小题 15分, 共30分, 要求写出详细过程）

13. 2011年4月16日是星期六. 求二十一世纪中二月份有五个星期日的年份. 14. 两个最简分数, 较大的减去较小的差是

5

, 两个分子的最大公约数等于两6

个分子的差, 两个分子的最小公倍数是1050. 求这两个最简分数.

第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛

决赛试题D参考答案（小学组）

一、 填空题 (每小题 10分，共80分)

二、解答下列各题 (每题10分，共40分, 要求写出简要过程)

9. 答案: 1901

解答. 因为华杯决赛是四位数, 十六届是三位数, 兔年是两位数, 所以等式成立时有

华杯决赛=2011 十六届 兔年 2011 100 10 1901.

当

华杯决赛=1901, 十六届=100, 兔年=10

时题目要求的等式成立. 10. 答案: 52.5.

解答：因为AC//DE，所以S AOE S COD.

OCS CODOES AOES COD

，， CES CDECES EACS EAC

又

所以

OCS EAC

. OES CDE

因为三角形EAC在边AC上的高和三角形CDE在边DE上的高相等，

所以

OCS EACAC1

. OES CDEDE2

S CODOC1

, 所以S DOE 2S COD 20. S DOEOE2

S AOCOC111

, 所以S AOC S AOE S COD 5. S AOEOE222

因为

因为

所以S ACE S AOC S AOE 15.

S ABCAB1

， S ACECE2

因为AB//CE，所以

即S ABC

1

S ACE 7.5. 2

所以SABCDE S ABC S ACE S COD S DOE 52.5.

11. 答案: 7.

解答. 每张卡片, 所写数字有几个约数就被翻过几次. 被翻了奇数次的卡片红色面朝上, 而只有完全平方数才能有奇数个约数, 所以本题也就是求写有完全平方数的卡片有几张, 而

1 12 22 32 42 52 62 72 50,

所以红色朝上的卡片共有7张. 12. 答案： 11厘米. 解答. 如图,

球的内接正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点在球面上, 它的（体）对角线AC1就是球的直径, 即

AC1 2 10 20(厘米).

由图形的对称性, 可知 AAC A1B1C1 90 . 设正方体的棱长为a即11 90 ,

AA1 A1B1 B1C1 a, 连续用勾股定理两次, 得到

22

AC11 2a,

22

AC12 AA12 AC11 3a,

则

3a2 202 400,

a2

4001

133. 33

显然, 只要一个正方体的棱长a为整数, 满足a2 133, 那么这个正方体一定可以放入球中, 因为 112 121 133 144 122. 故所求的棱长为整数的正方体的最大棱长等于11厘米.

三、解答下列各题 (每小题 15分，共30分，要求写出详细过程)

13. 答案: 2004, 2032, 2060, 2088.

解答. 根据题意, 符合题意的年份必定是闰年(二月有29天), 并且二月一日恰好是星期日, 所以得先找到二十一世纪第一个二月一日是星期日的年份.

根据题意, 2011年4月16日是星期六, 可倒推得2004年2月1日是星期日.这样可按每隔4 7(28)年为一个周期推算, 二十一世纪符合题意的年份有2004, 2032, 2060和2088年, 共有4个. 14. 答案:

7570

3451

amcm和, 其中: bkdk

解答. 设这两个最简分数为

b,d 1； （1） a,c 1； （2） am,bk 1； cm,dk 1. （3）

既然m am cm, 所以有

a c 1. 又因为 am,cm 1050 1 2 3 5 5 7，并结合（4），可得到: ① c 14， a 15，m 5，此时，

75bk 70dk 56，或 15bk 14dk 1

6

； ② c 6， a 7，m 5 5，此时，

7 56 bk 5dk 1

6

； ③ c 5， a 6，m 5 7，此时，

6 7bk 5 7dk 1

6

； ④ c 2， a 3，m 5 5 7，此时，

3 5 72 5 bk 7dk 1

6

； ⑤ c 1， a 2，m 3 5 5 7，此时，

2 3 5 73 5 bk 7dk 1

6

. 上面第（6）式中，

7 5bk 6 5dk 5 76 1 bk dk 6

， 4）

5） 6） 7） 8） 9） （（（（（（

结合条件（1），必有5k，即k有约数5，和（3）矛盾. 即

15141

无解. bkdk6

同样，(7) ，(8) 和 (9) 中，必有7k, 均和（3）矛盾，即都无解. 仅考虑（5），

15141151415d 1bk dk 6，bk

14b

kbd kbd 1

dk

6， 15d 14b

根据（1），（2）和（3），应当有

b,15d 14b 1, d,15d 14b 1，

此即意味着：

k (15d 14b) n， 并且（10）变形为

11

nbd

1 2 3

，即n,b,d只能取1，2，3，6. 由（3）和（11），可知： n,15 1, n,14 1，因此得n 1. 同样， d,14 1，因此可得：b 2,d 3. 所以

bk 2 15d 14b 34，dk 3 15d 14b 51. 这两个分数是7534和70

51

.

（10)

（11） b,15 1，