第十二章 静电场

课 后 作 业

1、一个细玻璃棒被弯成半径为R的半圆形，沿其上半部分均匀分布有电荷+Q，沿其下

半部分均匀分布有电荷－Q，如图所示．试求圆心O处的电场强度．

解：把所有电荷都当作正电荷处理. 在 处取微小电荷

dq =

dl = 2Qd / 它在O处产生场强

dE

dq4 0R

2

Q2 0R

Q2 0R

2

2

2

2

d 2分

按 角变化，将dE分解成二个分量：

dEx dEsin

sin d Q2 0R

2

2

dEy dEcos

cos d 3分

对各分量分别积分，积分时考虑到一半是负电荷

Ex

Q2 0R Q

2

2

/2

nd si

0

si nd ＝0 2分 /2

/2 Q

Ey 2分 cos d cos d 22 22 2 0R 0 R0 /2

Q

所以 E Exi Eyj 2j 1分 2

0R

2、如图所示，一电荷面密度为 的“无限大”平面，在距离平面a处的一点的场强大小的一半是由平面上的一个半径为R的圆面积范围内的电荷所产生的．试求该圆半径的大小．

解：电荷面密度为 的无限大均匀带电平面在任意点的场强大小为

E= / (2 0)

以图中O点为圆心，取半径为r→r＋dr的环形面积，其电量为

dq = 2 rdr

它在距离平面为a的一点处产生的场强

ardr

dE

223/2

2 0 a r 则半径为R的圆面积内的电荷在该点的场强为 aRrdr

E 3/2 2 00 a2 r2

1 2 0

aa R

2

2

由题意,令E= / (4 0)，得到R＝3a

3、图示一球形电容器，在外球壳的半径b及内外导体间的电势差U维持恒定的条件下，

内球半径a为多大时才能使内球表面附近的电场强度最小？求这个最小电场强度的大小．

4 ab球形电容器的电容 C

b a

当内外导体间电势差为U时，电容器内外球壳上带电荷 4 abU

q CU

b a

qbU

电容器内球表面处场强大小为 E 2

4 aa b a

欲求内球表面的最小场强，令dE/da=0，则

11 0 bU 2 2 daa b a a b a

dE

得到 a

b2

并有

dEda

2

a b/2

2

0

可知这时有最小电场强度 Emin

4、一球体内均匀分布着电荷体密度为 的正电荷,若保持电荷分布不变,在该球体挖去半径为r的一个小球体,球心为O ,两球心间距离OO d,如图所示. 求:

(1) 在球形空腔内,球心O 处的电场强度E0.

(2) 在球体内P点处的电场强度E.设O 、O、P

bUa b a

4Ub

三点在同一直径上，且OP d.

解：挖去电荷体密度为 的小球，以形成球腔时的求电场问题，

可在不挖时求出电场E1，而另在挖去处放

上电荷体密度为－ 的同样大小的球体，求出电场E2，并令任意点的场强为此二者的叠加，即可得

2O’=0

图(b)

E0 E1 E2 2分

在图(a)中，以O点为球心，d为半径作球面为高斯面S，则可求出O 与P处场强的大小.

S

E1 dS E1 4 d

2

1

0

4 3

3

d 有 E1O’＝E1P=E1

3 0

d

方向分别如图所示. 3分

在图(b)中，以O 点为小球体的球心，可知在O 点E2=0. 又以O 为心，2d为半径作球面为高斯面S 可求得P点场强E2P

S

23

E2 dS E2 4 (2d) 4 r( )/ 3 0

r 12 0d

23

E2P

3分

(1) 求O 点的场强EO' . 由图(a)、(b)可得

EO’ = E1O’ =

d

3 0

， 方向如图(c)所示. 2分

(2)求P点的场强EP.由图(a)、(b)可得 EP E1P E2P

方向如(d)图所示. 2分 d 2 3 0 4d

r

3

第十三章 电势

课 后 作 业

1、一“无限大”平面，中部有一半径为R的圆孔，设平面上均匀带电，电荷面密度为

．如图所示，试求通过小孔中心O并与平面垂直的直线上各点的场强和电势(选O点的电

势为零)．

解：将题中的电荷分布看作为面密度为 的大平面和面密度为－ 的圆盘叠加的 结果．选x轴垂直于平面，坐标原点Ｏ在圆盘中心，大平面在x处产生的场强为

σx

i 2分 E1

2 0x圆盘在该处的场强为

σx 11

i  222 0 xR x

σx

∴ E E1 E2 i 4分

22

2 0R x

E2

2

2

该点电势为 U

2 0

xdxR x

2

2

x

2 0

R

R x

4分

2、图示一个均匀带电的球层，其电荷体密度为 ，球层内表面半径为R1，外表面半径为R2．设无穷远处为电势零点，求球层中半径为r处的电势．

解：r处的电势等于以r为半径的球面以内的电荷在该处产生的电势U1和球面以外的电荷产生的电势U2之和，即 U= U1 + U2 ，其中

3

31

3R1 4 /3 r R 2

r U1=qi / (4 0r) 4 0r3 0 r

4分

为计算以r为半径的球面外电荷产生的电势．在球面外取r ─→r ＋dr 的薄层．其电荷为 dq= ²4 r 2dr 它对该薄层内任一点产生的电势为

dU2 dq/ 4 0r r dr / 0

则 U2

dU2

0

R2

r

r dr

2 0

R

22

r

2

4分

于是全部电荷在半径为r处产生的电势为

U U1 U2

3R1 22

r R r2 3 0 r 2 0

2

3

2R1

3R r 2分

6 0 r

若根据电势定义直接计算同样给分．

22

2

3、在强度的大小为E，方向竖直向上的匀强电场中，有一半径为R的半球形光滑绝缘槽放在光滑水平面上(如图所示)．槽的质量为M，一质量为m带有电荷＋q的小球从槽的顶点A处由静止释放．如果忽略空气阻力且质点受到的重力大于其所受电场力，求： (1) 小球由顶点A滑至半球最低点Ｂ时相对地面的速度； (2) 小球通过B点时，槽相对地面的速度；

(3) 小球通过B点后，能不能再上升到右端最高点C？

解：设小球滑到B点时相对地的速度为v，槽相对地的速度为V．小球从A→B过程中球、槽组成的系统水平方向动量守恒，

mv＋MV＝0 ①

2分

对该系统，由动能定理 mgR－EqR＝

12

mv＋

2

12

MV ②

2

3分

①、②两式联立解出 v

2MRmg qEm M m mvM

2分

方向水平向右．

V

2mRmg qEM M m

1分

方向水平向左． 1分 小球通过B点后，可以到达C点． 1分

4、两个同心的导体球壳，半径分别为R1＝0.145 m和R2＝0.207 m，内球壳上带有负电荷q＝-6.0³10-8 C．一电子以初速度为零自内球壳逸出．设两球壳之间的区域是真空，试计算电子撞到外球壳上时的速率．(电子电荷ｅ＝-1.6³10-19 C，电子质量me＝9.1³10-31 kg， 0＝8.85³10-12 C2 / N²m2）

解：由高斯定理求得两球壳间的场强为 E

q4 0r

2

R 1 r R2

方向沿半径指向内球壳．电子在电场中受电场力的大小为 F eE

eq4 0r

2

方向沿半径指向外球壳．电子自内球壳到外球壳电场力作功为

11 eq R2 R1 2 R1 R14 0 R1R2 4 0R1R24 0r

eq R2 R1 12

由动能定理 mev

24 0R1R2

A

R2

Fdr

eq

R2

dr

eq

得到 v eqR2 R12 0R1R2me

＝1.98³10 m/s

7

第十四章

静电场中的导体

课 后 作

业

1、厚度为d的“无限大”均匀带电导体板两表面单位面积上电荷之和为 ．试求图示离左板面距离为a的一点与离右板面距离为b的一点之间的电势差．

1

解：选坐标如图．由高斯定理，平板内、外的场强分布为：

E = 0 (板内) Ex /(2 0) (板外) 2分 2

1、2两点间电势差 U1 U2

d/2

E

1

x

dx 1

b d/2

(a d/2)

2 0

dx

d/2

2 0

dx

2 0

(b a) 3分

2、半径分别为 1.0 cm与 2.0 cm的两个球形导体，各带电荷 1.0³10-8 C，两球相距很远．若用细导线将两球相连接．求(1) 每个球所带电荷；(2) 每球的电势．(

14 0

9 10

9

N m/C)

22

解：两球相距很远，可视为孤立导体，互不影响．球上电荷均匀分布．设两球半径分别为r1和r2，导线连接后的电荷分别为q1和q2，而q1 + q1 = 2q，则两球电

势分别是 U1

q14 0r1

， U2

q24 0r2

2分

两球相连后电势相等， U1 U2，则有

q1r1

q2r2

q1 q2r1 r2

2qr1 r2

9

2分

由此得到 q1 q2

r12qr1 r2r22qr1 r2

6.67 10 13.3 10q1

C 1分 C 1分

3

9

两球电势 U1 U2

4 0r1

6.0 10 V 2分

3、如图所示，一内半径为a、外半径为b的金属球壳，带有电荷Q，在球壳空腔内距离球心r处有一点电荷q．设无限远处为电势零点，试求： (1) 球壳内外表面上的电荷． (2) 球心O点处，由球壳内表面上电荷产生的电势．

(3) 球心O点处的总电势．

解：(1) 由静电感应，金属球壳的内表面上有感生电荷-q，外表面上带电荷q+Q．

2分

(2) 不论球壳内表面上的感生电荷是如何分布的，因为任一电荷元离O点的 距离都是a，所以由这些电荷在O点产生的电势为

U q

dq

4 0a

q4 0a

2分

(3) 球心O点处的总电势为分布在球壳内外表面上的电荷和点电荷q在O点

产生的电势的代数和 2分 UO Uq U q UQ q

q4 0r

q4 0a

Q q4 0b

q

4 0r

(

1

1a

1b

)

Q4 0b

2分

4、半径分别为R1和R2 (R2 > R1 )的两个同心导体薄球壳，分别带有电荷Q1和Q2，今将内球壳用细导线与远处半径为r的导体球相联，如图所示, 导体球原来不带电，试求相联后导体球所带电荷q．

解：设导体球带电q，取无穷远处为电势零点，则

导体球电势： U0

q4 0r

2分

内球壳电势： U1 二者等电势，即

q4 0r

Q1 q4 0R1Q1 q4 0R1

Q24 0R2

Q24 0R2

2分 2分

解得 q r(R2Q1 R1Q2)R2(R1 r)

2分

第十五章 静电场中的电解质

课 后 作 业

1. 一电容器由两个很长的同轴薄圆筒组成，内、外圆筒半径分别为R1 = 2 cm，R2 = 5

cm，其间充满相对介电常量为 r 的各向同性、均匀电介质．电容器接在电压U = 32 V的电源上，(如图所示)，试求距离轴线R = 3.5 cm处的A点的电场强度和A点与外筒间的电势差． 解：设内外圆筒沿轴向单位长度上分别带有电荷+ 和 , 根据高斯定

理可求得两

圆筒间任一点的电场强度为 E

2 0 rr

2分

则两圆筒的电势差为 U E dr

R1R2

R2

R1

2

dr r0r

R2R1

2 0 r

ln

R2R1

解得

2 0 rUln

3分

于是可求得Ａ点的电场强度为 EA

URln(R2/R1)

R2

= 998 V/m 方向沿径向向外 2分

A点与外筒间的电势差： U

R

Edr

Uln(R2/R1)U

ln

R2

R

drr

R2R

ln(R2/R1)

= 12.5 V 3分

2.一圆柱形电容器，外柱的直径为4 cm，内柱的直径可以适当选择，若其间充满各向同性的均匀电介质，该介质的击穿电场强度的大小为E0= 200 KV/cm．试求该电容器可能承受

的最高电压． (自然对数的底e = 2.7183)

解：设圆柱形电容器单位长度上带有电荷为 ，则电容器两极板之间的场强分布

为 E /(2 r) 2分

设电容器内外两极板半径分别为r0，R，则极板间电压为

U E dr

rR

R

2 r

r

dr

2

ln

Rr0

2分

电介质中场强最大处在内柱面上，当这里场强达到E0时电容器击穿，这时应有

2 r0E0

U r0E0ln

Rr0

2分

适当选择r0的值，可使U有极大值，即令

dU/dr0 E0ln(R/r0) E0 0

得 r0 R/e 2分

显然有

dUdr0

22

< 0， 故当 r0 R/e 时电容器可承受最高的电压

Umax RE0/e = 147 kV 2分

第十六章 磁场和它的源

课 后 作 业

1、已知半径为R的载流圆线圈与边长为a的载流正方形线圈的磁矩之比为

2∶1，且载流圆线圈在中心O处产生的磁感应强度为B0，求在正方形线圈中心O＇处的磁感强度的大小．

解：设圆线圈磁矩为pm1，方线圈磁矩为pm2，则

22

pm1 I1 R， pm2 I2a

∴ I2 R2I1/(2a2) 3分

正方形一边在其中心处产生的磁感强度为 B1 0I2/(2 a)

正方形各边在其中心产生的磁感强度大小相等，方向相同，因此中心O＇处总的

磁感强度的大小为 B0

22 0I2

a

2 0RI1

a

2RB0

3

2

3分

∵ B0

0I1

2R

， 得 I1

0

3

(2R/a)B0 2分 ∴ B0

2、假定地球的磁场是由地球中心的载流小环产生的，已知地极附近磁感强度B为 6.27³10-5 T，地球半径为R =6.37³106 m． 0 =4 ³10-7 H/m．试用毕奥－萨伐尔定律求该电流环的磁矩大小．

Idl r

解：毕奥─萨伐尔定律： dB 0 2分 34 r

如图示，dBz dB sin ，sin a/r (a为电流环的半径)．

∵ r >> a ∴ r

Bz

z a

22

z dl

l

0I

4

az

3

0IS

2 z

3

3分

l

小电流环的磁矩 pm IS

∴ pm 2 Bzz3/ 0 2分

在极地附近z≈R，并可以认为磁感强度的轴向分量Bz就是极地的磁感强度B，因而有：

pm 2 BR

3

/ 0≈8.10³10 A²m 3分

222

3、真空中有一边长为l的正三角形导体框架．另有相互平行并与三角形的bc边平行的长直导线1和2分别在a点和b点与三角形导体框架相连(如图)．已知直导线中的电流为I，

三角形框的每一边长为l，求正三角形中心点O处的磁感强度B．

解：令B1、B2、Bab和Bacb分别代表长直导线1、2和通电三角框

的 ab、ac和cb边在O点产生的磁感强度．则

B B1 B2 Bacb Bab

B1：对O点，直导线1为半无限长通电导线，有

B1

0I4 (Oa)

， B1的方向垂直纸面向

里． 2分

B2：由毕奥－萨伐尔定律，有 B2

0I4 (Oe)

(sin90 sin60 )

方向垂直纸面向里． 2分

Bab和Bacb：由于ab和acb并联，有 Iab ab Iacb (ac cb)

所以  B B1 B2 1分

根据毕奥－萨伐尔定律可求得 Bab=Bacb且方向相反． 2分

3l/3，Oe

3l/6代入B1、B2，

把Oa

3 0I6 0I3 0I3

(1 ) (3 1) 则B的大小为 B

24 l4 3l4 3l

B的方向：垂直纸面向里． 1分

4、在一半径R =1.0 cm的无限长半圆筒形金属薄片中，沿长度方向有横截面上均匀分布的电流I = 5.0 A通过．试求圆柱轴线任一点的磁感强度．

( 0 =4 ³10 N/A)

解：选坐标如图．无限长半圆筒形载流金属薄片可看作许多平行的无限长载流直导线组成．宽

-7

2

为dl的无限长窄条直导线中的电流为

dI

I R

dl

I R

Rd

I

d 2分

它在O点产生的磁感强度

0dI 0IdB d

2分 2 R2 R

0

dBx dBsin sin d 1分 2

2 R 0

dBy dBcoscos d 1分 2

2 R

对所有窄条电流取积分得

Bx

0

0I

2 R

2

sin d

0I

2 R

2

cos

0

0

0I

R

2

2分

By

2

0I

2

R

cos d

0

2 R

2

sin = 0 2分

0I 5

O点的磁感强度 B Bxi Byj 2i 6.37 10i T 2分

R

第十七章 磁力

课 后 作 业

径为r，电子的电荷为e，质量为me．将此系统置于磁感强度为B0的均匀外磁场中，设B0的

方向与轨道平面平行，求此系统所受的力矩M．

1、假设把氢原子看成是一个电子绕核作匀速圆周运动的带电系统．已知平面轨道的半

解:电子在xz平面内作速率为v的圆周运动(如图)， 则

e

2

2

4 0r

me

v

2

r

e4 0rme

∴ v

电子运动的周期 T

2 rv

2 r4 0rme

e

则原子的轨道磁矩 pm IS

eT

r

2

e

2

r 0me

4

pm的方向与y轴正向相反．

设B0方向与x轴正向平行，则系统所受力矩

2

eB0

M pm B0

4

r 0me

k

2、有一闭合回路由半径为a和b的两个同心共面半圆连接而成，如图．其上均匀分布线密度为 的电荷，当回路以匀角速度 绕过O点垂直于回路平面的轴转动时，求圆心O点处的磁感强度的大小．

B B1 B2 B3

b

B1、B别为带电的大半圆线圈和小半圆线圈转动产生的磁感强度，B3O为沿直径的带电线段转动产生的磁感强度．

I b 0 b

I1 ， B1 01 0

2 2b2b 2 4

I a 0 a

I2 ， B2 02 0

2 2a2a 2 4

dI3 2 dr/(2 )

b

B3 B

a

0

2

drr

ba

0

2

ln

ba

0

2

( ln)

3、图所示为两条穿过y轴且垂直于x－y平面的平行长直导线的正视图，两条导线皆通有电流I，但方向相反，它们到x轴的距离皆为a．

(1) 推导出x轴上P点处的磁感强度B(x)的表达式.

(2) 求P点在x轴上何处时，该点的B取得最大值．

解：(1) 利用安培环路定理可求得1导线在P点产生的磁感强度的大小为：

I I1 0 2 B1 0

21/2

2 (a x)2 r

2导线在P点产生的磁感强度的大小为： I I1 0 2 B2 0 21/22 (a x)2 r

B1、B2的方向如图所示． P 点总场

B2cos Bx B1x B2x B1cos

By B1y B2y 0 B(x) (2) 当

0Ia (a x)

2

2

2

，B(x)

0Ia (a x)

2

2

i

dB(x)dx

0，

dB(x)dx

2

0时，B(x)最大．

由此可得：x = 0处，B有最大值．

4、在真空中有两根相互平行的无限长直导线L1和L2，相距10 cm，通有方向相反的电流，I1 =20 A，I2 =10 A，试求与两根导线在同一平面内且在导线L2两侧并与导线L2的距离均为 5.0 cm的两点的磁感强度的大小．

( 0 =4 ³10-7 H²m-1)

解：(1) L1中电流在两导线间的a点所产生的磁感强度

I 5

B1a 01 8.0 10 T

2 r1aL2中电流在a点所产生的磁感强度 B2a

0I22 r2a

4.0 10

5

T

由于B1a、B2a的方向相同，所以a点的合磁感强度的大小

Ba B1a B2a 1.2 10

4

T

(2) L中电流在两导线外侧b点所产生的磁感强度

0I1 5

B 2.7 10 T 1b

2 r1bL2中电流在b点所产生的磁感强度 B2b

0

由于和B1b和B2b的方向相反，所以b点的合磁感强度的大小

5

Bb B1b B2b 1.3 10 T

2 r2b

I2

4.0 10

5

T

第十八章 磁场中的磁介质

课 后 作 业

1、一根同轴线由半径为R1的长导线和套在它外面的内半径为R2、外半径为R3的同轴导体圆筒组成．中间充满磁导率为 的各向同性均匀非铁磁绝缘材料，如图．传导电流I沿导线向上流去，由圆筒向下流回，在它们的截面上电流都是均匀分布的．求同轴线内外的磁感强度大小B的分布．

解：由安培环路定理： H dl

I

i



0< r <R1区域： 2 rH Ir2/R12 H

， B 0Ir 22

I2 R12 R1

3分

R1< r <R2区域： 2 rH I I I

H ， B

2 r

2

2 r

3分

R2< r <R3区域： 2 rH I H

I2 r

I(r R2)(R3 R2)r R2R R

2

32

222

2

2

2

(1 )

r R2

22

22

B 0H

0I

2 r

(1

R3 R2

) 3分

r >R3区域： H = 0，B = 0 3分

2、螺绕环中心周长l = 10 cm，环上均匀密绕线圈N = 200匝，线圈中通有电流I = 0.1 A．管内充满相对磁导率 r = 4200的磁介质．求管内磁场强度和磁感强度的大小．

解： H nI NI/l 200 A/m 3分 B H 0 rH 1.06 T 2分

第十九章 电磁感应

课 后 作 业

1、如图所示，一半径为r2电荷线密度为 的均匀带电圆环，里边有一半径为r1总电阻为R的导体环，两环共面同心(r2 >> r1)，当大环以变角速度 t)绕垂直于环面的中心轴旋转时，求小环中的感应电流．其方向如何？

解：大环中相当于有电流 I (t) r2

这电流在O点处产生的磁感应强度大小 B 0I/(2r2)

12

0 (t) 以逆时针方向为小环回路的正方向，

12

2

0 (t) r1

d dt

12 0 r1

2

2

∴ i i

d (t)dt

i

R2Rdt

方向：d (t) /dt >0时，i为负值，即i为顺时针方向． d (t) /dt <0时，i为正值，即i为逆时针方向．

0 r1

d (t)

2、如图所示，真空中一长直导线通有电流I (t) =I0e- t (式中I0、 为常量，t为时间)，有一带滑动边的矩形导线框与长直导线平行共面，二者相距a．矩形线框的滑动边与长直导线垂直，它的长度为b，并且以匀速v(方向平行长直导线)滑动．若忽略线框中的自感电动势，并设开始时滑动边与对边重合，试求任意时刻t在矩形线框内的感应电动势 i 并讨论其方向．

解：线框内既有感生又有动生电动势．设顺时针绕向为 i的正方向．由 i = d /dt出发，先求任意时刻t的 (t)

(t) B dS

a b

a

0I(t)

2 y

x(t)dy

0

2

I(t)x(t)ln

a ba