中南大学概率论课件_简tl第2章_随机变量及其分布

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第二章 随机变量及其分布

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第二章

随机变量及其分布

随机变量 离散型随机变量的概率分布 随机变量的分布函数 连续型随机变量的概率密度 随机变量函数的分布

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在第一章中, 我们用样本空间的子集, 即 基本事件的集合来表示随机试验的各种结果 , 这种表示方式对全面讨论随机试验的统计 规律性及数学工具的运用都有较大的局限. 在本章中, 我们将用实数来表示随机试 验的各种结果, 即引入随机变量的概念. 这样 , 不仅可以更全面揭示随机试验的客观存在 的统计规律性, 而且可使我们用(数学分析) 微积分的方法来讨论随机试验.机动 目录 上页 下页 返回 结束

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2.1 随机变量 随机变量概念的产生 在实际问题中，随机试验的结果可以用 数量来表示，由此就产生了随机变量的概念.

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1、有些试验结果本身与数值有关(本身就 是一个数).例如，掷一颗骰子面上出现的点数; 每天从长沙下火车的人数; 昆虫的产卵数;

七月长沙的最高温度；

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2、在有些试验中, 试验结果看来与数值无 关, 但我们可以引进一个变量来表示它的 各种结果. 也就是说, 把试验结果数值化. 正如裁判员在运 动场上不叫运动 员的名字而叫号 码一样, 二者建立 了一种对应关系.

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在随机试验中, 如果把试验中观察的对 象与实数对应起来, 即建立对应关系X, 使其 对试验的每个结果e, 都有一个实数X(e)与之 对应, e. X(e)

R 则X的取值随着试验的重复而不同, X是一个 变量, 且在每次试验中, 究竟取什么值事先无 法预知, 也就是说X是一个随机取值的变量. 由此, 我们很自然地称X为随机变量.机动 目录 上页 下页 返回 结束

s

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这种对应关系在数学上理解为定义了 一种实值函数.

e.

X(e)

s

R

这种实值函数与在高等数学中大家接 触到的函数一样吗?机动 目录 上页 下页 返回 结束

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(1) 它随试验结果的不同而取不同的值, 因 而在试验之前只知道它可能取值的范围, 而不能预先肯定它将取哪个值.

(2) 由于试验结果的出现具有一定的概率, 于是这种实值函数取每个值和每个确定范 围内的值也有一定的概率.称这种定义在样本空间上的实值函数为

简记为 r.v.机动 目录 上页 下页 返回 结束

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有关随机变量定义的几点说明: (1) 随机变量X不是自变量的函数而是样本点 e的函数; (2) 随机变量X随着试验结果而取不同的值, 因而在试验结束之前, 只知道其可能的取值 范围, 而事先不能预知它取什么值, 对任意 实数区间(a, b), “a<X<b”的概率是确定的; (3

) 随机变量X(e)的值域即为其一切可能取值 的全体构成的集合; (4) 引入随机变量后, 就可以用随机变量描述 事件, 而且事件的讨论, 可以纳入随机变量 的讨论中.机动 目录 上页 下页 返回 结束

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随机变量通常用大写字母 X, Y, Z或希腊字母 , , 等表示

而表示随机变量所取的值时, 一般采用小写字母x, y, z等.

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例如, 从某一学校随 机选一学生, 测量他的身 高. 我们可以把可能的身 高看作随机变量X,然后我们可以提出关于X的各种问题. 如 P{X 1.7} ? P{ X 1.5} ?

P{1.5 X 1.7} ?机动 目录 上页 下页 返回 结束

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一旦我们实际选定了 一个学生并量了他的身高 之后, 我们就得到X的一个 具体的值, 记作x. 这时, 要么 x 1.7 米, 要么x<1.7米, 再 去求 P{x 1.7} 就没有什么意义了.

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引入随机变量的意义有了随机变量, 随机试验中的各种事件, 就可以通过随机变量的关系式表达出来. 如: 单位时间内某电话交换台收到的呼 叫次数用X表示, 它是一个随机变量. 事件{收到不少于1次呼叫} { X 1} {没有收到呼叫} { X

0}

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可见, 随机事件这个概念实际上是包容 在随机变量这个更广的概念内. 也可以说, 随机事件是从静态的观点来研究随机现象, 而随机变量则是一种动态的观点, 就象数学 分析中常量与变量的区别那样.

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随机变量概念的产生是概率论发展史 上的重大事件. 引入随机变量后, 对随机现 象统计规律的研究, 就由对事件及事件概率 的研究扩大为对随机 …… 此处隐藏：167字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……