概率论与数理统计B教案第六、七章

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第六章 参数估计

在实际问题中, 当所研究的总体分布类型已知, 但分布中含有一个或多个未知参数时, 如何根据样本来估计未知参数，这就是参数估计问题.

参数估计问题分为点估计问题与区间估计问题两类. 所谓点估计就是用某一个函数值作为总体未知参数的估计值；区间估计就是对于未知参数给出一个范围，并且在一定的可靠度下使这个范围包含未知参数.

例如, 灯泡的寿命X是一个总体, 根据实际经验知道, X服从N( , 2), 但对每一批灯泡而言, 参数 , 2是未知的,要写出具体的分布函数, 就必须确定出参数. 此类问题就属于参数估计问题.

参数估计问题的一般提法:

设有一个统计总体, 总体的分布函数为F(x, ), 其中 为未知参数( 可以是向量). 现从该总体中随机地抽样, 得一样本

X1,X2, ,Xn,

再依据该样本对参数 作出估计, 或估计参数 的某已知函数g( ).

第一节 点估计问题概述

内容要点：

一、点估计的概念

设X1,X2, ,Xn是取自总体X的一个样本, x1,x2, ,xn是相应的一个样本值. 是总体分布中的未知参数, 为估计未知参数 , 需构造一个适当的统计量

(X,X, ,X),

1

2

n

然后用其观察值

(x,x, ,x) 12n

来估计 的值.

(x,x, ,x)为 的估计值. 在不致混淆的情况下, (X,X, ,X)为 的估计量. 称 称 12n12n

估计量与估计值统称为点估计,简称为估计, 并简记为 .

(X,X, ,X)是一个随机变量, 是样本的函数，即是一个统计量, 对不同注: 估计量 12n

的样本值, 的估计值 一般是不同的.

二、评价估计量的标准

从例1可见,参数点估计的概念相当宽松, 对同一参数,可用不同的方法来估计, 因而得到不同的估计量, 故有必要建立一些评价估计量好坏的标准.

估计量的评价一般有三条标准:

1. 无偏性; 2. 有效性;

3. 相合性（一致性）.

在本节的后面将逐一介绍之.

在具体介绍估计量的评价标准之前, 需指出: 评价一个估计量的好坏, 不能仅仅依据一次试验的结果, 而必须由多次试验结果来衡量. 因为估计量是样本的函数, 是随机变量. 故由不同的观测结果, 就会求得不同的参数估计值. 因此一个好的估计, 应在多次重复试验中体现出其优良性.

1．无偏性

估计量是随机变量, 对于不同的样本值会得到不同的估计值. 一个自然的要求是希望估

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计值在未知参数真值的附近, 不要偏高也不要偏低. 由此引入无偏性标准.

(X, ,X)是未知参数 的估计量, 若 定义1 设

1

n

) , E(

则称 为 的无偏估计量.

注: 无偏性是对估计量的一个常见而重要的要求, 其实际意义是指估计量没有系统偏差，只有随机偏差. 在科学技术中, 称

) E( 为用 估计 而产生的系统误差.

例如, 用样本均值作为总体均值的估计时, 虽无法说明一次估计所产生的偏差, 但这种偏差随机地在0的周围波动,对同一统计问题大量重要使用不会产生系统偏差. 对一般总体而言，我们有

定理1 设X1, ,Xn为取自总体X的样本,总体X的均值为 , 方差为 2.则

(1) 样本均值是 的无偏估计量;

(2) 样本方差S2是 2的无偏估计量;

1n

(3) 样本二阶中心矩 (Xi )2是 2的有偏估计量.

ni 1

2．有效性

一个参数 常有多个无偏估计量,在这些估计量中,自然应选用对 的偏离程度较小的为好,即一个较好的估计量的方差应该较小.由此引入评选估计量的另一标准—有效性.

(X, ,X)和 (X, ,X)都是参数 的无偏估计量, 若 定义2 设 111n221n

) D( ), D(

1

2

则称 1较 2有效.

注: 在数理统计中常用到最小方差无偏估计, 其定义如下:

(X, ,X)是未知参数 的一个估计量, 若 设X1, ,Xn是取自总体X的一个样本, 1n

满足:

) ,即 为 的无偏估计; (1) E(

是 的任一无偏估计. ) ( ), (2) E( 则称 为 的最小方差无偏估计(也称最佳无偏估计).

3．相合性(一致性)

我们不仅希望一个估计量是无偏的, 并且具有较小的方差, 还希望当样本容量无限增大时, 估计量能在某种意义下任意接近未知参数的真值, 由此引入相合性(一致性)的评价标准.

(X, ,X)为未知参数 的估计量, 若 依概率收敛于 , 即对任意定义3 设 1n

0, 有

| } 1, limP{|

n

或

n

| } 0, limP{|

则称 为 的(弱)相合估计量.

例题选讲：

点估计的概念

例1 （讲义例1）设X表示某种型号的电子元件的寿命(以小时计)，它服从指数分布：

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1 x/ e,x 0

X~f(x, )

x 0. 0,

为未知参数, 0. 现得样本值为

168, 130, 169, 143, 174, 198, 108, 212, 252,

试估计未知参数 .

评价估计量的标准

例2（讲义例2）设总体X~N(0, 2),x1,x2, ,xn是来自这一总体的样本. 1n2

xi是 2的无偏估计; (1) 证明

ni 1

2

2). (2) 求D(

例3（讲义例3）设X1,X2, ,Xn是总体N( , 2)的一个简单随机样本. 求k使

k |Xi Xj|

i 1j 1n

n

为 的无偏估计.

例4（讲义例4）设X1,X2, ,Xn为来自总体X的样本, X,Xi(i 1,2, ,n)均为总体均值E(X) 的无偏估计量, 问哪一个估计量有效?

例5（讲义例5）设总体X在区间[0, ]上 …… 此处隐藏：14897字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……