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§7.3 区间估计置信区间的定义 置信区间的求法 小结 练习

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点估计不能反映估计的精度 这里引入区间估计 点估计不能反映估计的精度, 这里引入区间估计 区间估计. 不能反映估计的精度

对于未知参数θ , 除了求出它的点估计θ 外, 我们还希望估计出一个范围, 并期望知道这个 范 围 包 含 θ 真 值 的 可 信 程 度.这 样 的 范 围 通 常 以 区 间 的 形 式 给 出, 同 时 还 给 出 了 此 区 间 包 含 参 数 θ 真 值 的 可 信 程 度.

这 种 形 式 的估 计 称 为 区 间估 计 . 这样的区间即所谓的置信区间.

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1. 置信区间的定义设 总 体 X 的 分 布 函 数 F ( x ;θ ) 含 有 一 个 未 知 参 数 θ , 对 于 给 定 值 α (0 < α < 1), 若 由 样 本 X 1 , X 2 , L , X n 确 定 的 两 个 统 计 量 θ = θ ( X 1 , X 2 ,L , X n ) 和

θ = θ ( X 1 , X 2 ,L , X n ) , 对 于 任 意 的 θ ∈ Θ 满 足

P{ θ( X1 , X2 ,L, Xn ) < θ < θ( X1 , X2 ,L, Xn ) } = 1 α,则 称 随 机 区 间 (θ , θ ) 是 θ 的 置 信 水 平 为 1 α 的 置 信 区 间, θ 和 θ 分 别 称 为 置 信 水 平 为 1 α 的 双 侧 置 信 区 间 的 置 信 下限 和 置 信 上 限 , 1 α 为 置 信 水 平.

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说明

, 被估计的参数θ 虽然未知 但它是一个常数, ( . 没有随机性, 而区间θ , θ )是随机的因此定义中下表达式 P{θ ( X 1 , X 2 ,L, X n ) < θ < θ ( X 1 , X 2 ,L, X n )} = 1 α 的本质是 :随机区间 (θ , θ ) 以 1 α 的概率包含着参数θ 的真值, 而不能说参数θ 以 1 α 的概率落入随机区间 (θ , θ ).

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另外定义中的表达式 P{θ ( X1 , X2 ,L, Xn ) < θ < θ ( X1 , X2 ,L, Xn )} = 1 α 还可以描述为:各次得到的样本容量相等, 若反复抽样多次 (各次得到的样本容量相等 都是 ) 各次得到的样本容量相等 都是n

每 个 样 本 值 确 定 一 个 区 间 (θ , θ ),

每个这样的区间或包含 θ 的真值或不包含 θ 的真值,按伯努利大数定理, 在这样多的区间中 伯努利大数定理 在这样多的区间中,

包含 θ 真值的约占 100 (1 α )%, 不包含的约占 100α % .

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例如 若 α = 0.01, 反复抽样 1000 次, 则得到的 1000 个区间中不包含 θ 真值的约为 10 个 .

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2. 置信区间的求法求置信区间的一般步骤 (共3步) 步(1) 构造枢轴量W即寻求一个样本 X 1 , X 2 ,L , X n 的函数: W = W ( X 1 , X 2 ,L , X n ; θ ) 其中 仅 包含 待估 参 数 θ , 并且 Z 的分 布已 知 且不依赖于任何未知参数 (包括 θ ).

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(2) 确定常数a, b 即对于 给定 的置信 水平 1 α , 定 出两个 常数a , b, 使 P { a < W ( X 1 , X 2 ,L , X n ; θ ) < b } = 1 α .(3) 求出置信区间(θ , θ )不 等式 θ < θ < θ , 则 P{ θ < θ < θ } = 1 α , 其中 θ = θ ( X 1 , X 2 ,L , X n ), θ = θ ( X 1 , X 2 ,L , X n ) 都是统计量, 那么 (θ , θ ) 就

是 θ 的一个置信水平 为 1 α 的置信区间. 即从 a < W ( X 1 , X 2 ,L , X n ; θ ) < b 得到 等价 的

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注意 样本容量 样本容量 n 固定 , 置信水平 1 α 增大 , 置信区 间长度增大 , 可信程度增大 , 区间估计精度降低 . 置信水平 1 α 固定 , 样本容量 n 增大 , 置信区 置信水平 间长度减小 , 可信程度不变 , 区间估计精度提高 .

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例1

设 X 1 , X 2 ,L , X n 是来自正态总体 N ( µ , σ 2 )

的样本 , 其中σ 2 为已知 , µ 为未知 , 求 µ 的置信水平 为 1 α 的置信区间 .解

因为 X 是 µ 的无偏估计,

X µ ~ N (0,1), 且 Z= σ/ n X µ ~ N (0,1) 是不依赖于任何未知参数的, σ/ n

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由标准正态分布的上 α 分位点的定义知

X µ P < zα / 2 = 1 α , σ / n σ σ zα / 2 < µ < X + zα / 2 = 1 α , 即 P X n n

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于是得 µ 的一个置信水平为 1 α 的置信区间

σ σ zα / 2 , X + zα / 2 . X n n

σ zα / 2 . 这样的置信区间常写成 X ± n 其置信区间的长度为 2×

σn

zα / 2 .

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如 果 在 例1中 取 n = 16, σ = 1, α = 0.05,查表可得 zα / 2 = z0.025 = 1.96,

1 得一个置信水平为0.95的置信区间 X ± ×1.96 . 16 由一个样本值算得样本均值的观察值 x = 5.20, 则置信区间为 (5.20 ± 0.49), 即 (4.71, 5.69).

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. 注意: 置信水平为1 α的置信区间是不唯一的

在例1中如果给定 α = 0.05, X µ < z0.01 = 0.95, 则又有 P z0.04 < σ/ n σ σ z0.01 < µ < X + z0.04 } = 0.95, 即 P{ X n n σ σ z0.01 , X + z0.04 也是µ 的置信水平 故 X n n . 为0.95的置信区间 σ其置信区间的 …… 此处隐藏：1319字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……