3.2《立体几何中的向 量方法》

教学 目标 向量运算在几何证明与计算中的应用，掌 握利用向量运算解几何题的方法，并能解 简单的立体几何问题。 教学重点：向量运算在几何证明与计算中 的应用。 教学难点：向量运算在几何证明与计算中 的应用；

立体几何中的向量方法(三)引入方法的分析

上一节的课 外思考题

练习巩固

自学课本例 2

课外练习

立体几何中的向量方法 ( 三 ) 课本第114页例1的思考(3)晶体中相对的两个平面之间的距离是多少?(设棱长为1)分析：面面距离转化为点面距离来求D1 A1 B1 H A C B C1

尝试：过 A1点作 A1 H 平面 AC 于点 H .则 A1 H 为所求相对两个面之间 的距离 .由 A1 AB A1 AD BAD 且 AB AD AA1

D

可证得 H 在 AC上.

AC ( AB BC )2 1 1 2cos 60 3 AC 3

2

AA1 AC AA1 ( AB BC ) AA1 AB AA1 BC cos60 cos60 1. AA1 AC 1 6 几何分析 cos A1 AC sin A1 AC 3 加向量运算 | AA1 | | AC | 3

6 6 ∴所求的距离是 . 妙!妙!妙! A1 H AA1 sin A1 AC 3 3

能否用法向量运算求解呢?

几何法较难,如何用向量知识求点到平面的距离?

如何用向量法求点到平面的距离：如图 A , 空间一点 P 到平面 的距离为 d,已知平面 的 一个法向量为 n ,且 AP 与 n 不共线,能否用 AP 与 n 表示 d ?

分析:过 P 作 PO⊥ 于 O,连结 OA.

Pn

则 d=| PO |= | PA | cos APO. ∵ PO ⊥ , n , ∴ PO ∥ n . ∴cos∠APO=|cos PA, n |.∴d=| PA ||cos PA, n |=| n|

A =

O

| PA | | n | | cos PA, n |

| PA n | |n|

.

这个结论说明,平面外一点到平面的距离等于连结此点与平面 上的任一点(常选择一个特殊点)的向量在平面的法向量上的射影的 绝对值.

思考题分析

思考题: 如图，已知正方形 ABCD 的边长为 4,E、F 分别是 AB、 AD 的中点， GC⊥平面 ABCD, 且 GC=2, 求点 B 到平面 EFG 的距离. z G 分析:用几何法做 相当 困难 , 注 意到坐标 系建立后各点坐标容易 D C 得出 , 又因为 求点到平 x 面的距离可以用法向量 F 来计 算 , 而法 向量总是 可以快速算出. A B E y 果断地用坐标法处理.

思考题: 如图，已知正方形 ABCD 的边长为 4,E、F 分别是 AB、 AD 的中点， GC⊥平面 ABCD, 且 GC=2, z 求点 B 到平面 EFG 的距离. G 解：如图，建立空间直角坐标系 C-xyz. 由题设 C(0,0,0),A(4,4,0),B(0,4,0), D(4,0,0),E(2,4,0),F(4,2,0),G(0,0,2). EF (2, 2,0), EG ( 2, 4, 2), D C

x 设平面 EFG 的一个法向量为 n ( x, y, z )1 1 n ( , ,1) ,BE (2,0,0) 3 3 | n BE| 2 11 d . 11 n

2 x 2 y 0 F n EF, n

EG 2 x 4 y 2 0

A

E

y

B

2 11 答:点 B 到平面 EFG 的距离为 . 11

练习(用向量法求距离): 1.如图, ABCD 是矩形, PD 平面 ABCD , PD DC a , AD 2a , M 、N 分别是 AD 、PB 的中点,求点 A 到平面 MNC 的距离.P N

D M

C B

A

2.(课本第116页练习2)如图，60°的二面角的棱上有A、B两点， 直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直AB,已

知AB=4,AC=6,BD=8,求CD的长.

CA

B D

解：如图,以D为原点建立空间直角坐标系D-xyz a ,0),C(0, a ,0),P(0,0, a) 则D(0,0,0),A(2a ,0,0),B( 2a ,

2 2 1 1 ∵ M 、N 分别是 AD 、PB 的中点,∴ M ( a , 0, 0) N ( a , a, a ) 2 2 2 2 1 1 2 2 z ∴ MC ( a , a , 0) , MN (0, a , a ) , MA ( a , 0, 0) P 2 2 2 2 设 n ( x, y, z ) 为平面 MNC 的一个法向量, ∴ n MN , n MC 2 N ∴ n MC ax ay 0 且 C D y 2 a a M n MN y z 0 2 2 2 A 解得 x y z , B 2 x ∴可取 m ( 2,1, 1)∴ MA 在 n 上的射影长 d MA n n a a 即点 A 到平面 MNC 的距离为 . 2 2

2.如图，60°的二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直AB,

已知AB=4,AC=6,BD=8,求CD的长.解: CA 6 , AB 4 , BD 8 且 CA AB, BD AB , CA, BD 120 CA D B

∵ CD CA AB BD∴ CD CA AB BD 2CA AB 2 AB BD 2CA BD2 2 2 2

∴ CD 2 17

1 6 4 8 0 0 2 6 8 = 68 22 2 2

答: CD 的长为 2 17 .

注: 利用本题中的向量关系我们还可以倒过来求二 面角的大小.例如课本第 115 页例 2(自学)

例2:如图3,甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B 处。从A,B到直线 l(库底与水坝的交线)的距离AC和BD分别为 a 和 b ,CD的长为 c, AB的长为 d。求库底与水坝所成二面角的余弦值。 解：如图，AC a , BD b, CD c , AB d . B 化为向量问题 C 根据向量的加法法则 AB AC CD DB D A 进行向量运算 2 2 d AB ( AC CD DB )2 图3 AB CD BD 2( AC CD AC DB CD DB )2 2 2

a 2 c 2 b2 2 AC DB于是，得 2CA DB a 2 b2 c 2 d 2 设向量 CA 与 DB的夹角为 , 就是库底与水坝所成的二面角。 因此 回到图形问题 库底与水坝所成二面角的余弦值为2 2 2 2

a 2 c 2 b2 2CA DB

2ab cos a b c da 2. b 2 c 2 d 22ab

.

课外练习: 正三棱柱 ABC A1 B1C1 中，D是AC的中点, 当 AB1 BC1时，求二面角 D BC1 C 的余弦值.C1 A1 B1

2 2

CD A

B

解:如图，以C为原点建立空间直角坐标系 C-xyz.设 底面三角形的边长为a,侧棱长为b 则 C(0,0,0), A( 3 a , 1 a , 0), B(0, a , 0)

, C1 (0,0, b), 故 AB1 ( a , a , b), BC1 (0, a, b), 2 2 1 2 2 由于AB1 BC1 ,所以AB1 BC1 a b 02 2 B1 (0, a, b), D( 3 a , 1 a , 0) 4 3 1 4C1z A1

B1

2 a ∴ b 2 C ∵ CC1 B 在坐标平面yoz中 D x的法向量 ∴ 可取 n =(1,0,0)为面 CC1 B

2

B

y

A

设面 C1 BD 的一个法向量为 m ( x, y, z)6 2 2 可求出一个 m ( . , ,1) ∴所求的余弦值为 2 2 2