4.1不定积分的概念与基本公式

经济数学

4.1.1 原函数与不定积分的概念 1.原函数 (1)两个引例已知某产品的边际成本MC=0.2 x +1,其中x为产 量，求总成本函数。 设所求成本函数为： C C ( x) 由导数经济意义可知： C ( x) 0.2 x 1 根据导数公式进行逆向思维得：C( x) 0.1x 即： 求？,使得2

?4.1不定积分的概念 与基本公式

x

(?) 已知函数

经济数学 4.1.1 原函数与不定积分的概念

1.原函数 (1) 两个引例已知曲线上任意一点p(x,y)处的切线斜率为k=2x, 求此曲线方程. 设所求函数方程为： y f ( x) 由导数几何意义可知： y f ( x) 2 x 根据导数公式进行逆向思维得： 即： 求？,使得

?4.1不定积分的概 念与基本公式

y x2

(?) 已知函数

经济数学 4.1.1 原函数与不定积分的概念 1.原函数 (2)原函数的定义

由上述两个实例，我们了解到： 前面我们研究了一元函数微分学的基本问题，即已知一个 可导函数F(x),求它的导数.

但在实际问题中，常会遇到与此相反的另一类问题：即已知某函 (?) 已知函数) ,求原函数(即： ? ).这就是我们将 数的导数 (即：要学习的原函数与不定积分问题。 4.1不定积分的概念 与基本公式

经济数学

4.1.1 原函数与不定积分的概念1.原函数 (2) 原函数的定义 定义4· 1设f(x)是定义在区间I内的已知函数.如果存在可导 函数F(x),使对于任意的 x I ,都有

F ( x) f ( x) 或

dF ( x) f ( x)dxf ( x) x 2

则称F(x)是函数f(x)在I上的一个原函数. 在引例1中，我们知 ( x 2 ) 2 x ,于是有2

在引例2中，我们知 (0.1x x) 0.2 x 1 ,于是有 C( x) 0.1x 2 x 4.1不定积分的概 念与基本公式

经济数学 4.1.1 原函数与不定积分的概念 1.原函数 (2) 原函数的定义例1 指出下列函数的一个原函数

(1) f ( x) cos x解：

(2) f ( x) 3x

2

(3) f ( x) a x

(1) (sin x) cos x cos x的一个原函数是sin x同理可得： (2) 3x2的一个原函数是x3.ax (3) a 的一个原函数是 . ln ax

4.1不定积分的概 念与基本公式

经济数学 4.1.1 原函数与不定积分的概念 1.原函数 (3) 原函数的个数

一个函数有原函数存在，那它的原函数有几个

从引例1不难看出， x

2

, x 2 1, , x 2 c 都是2x的原函数

?

由此可以看出：如果函数f(x)有一个原函数，则就有无穷多个原函 数，而这些原函数之间仅差一个常数. 4.1不定积分的概念 与基本公式

经济数学

4.1.1 原函数与不定积分的概念1.原函数 (3) 原函数的个数如果函数F (x)是f (x)的一个原函数，则F (x)+C也是 f (x)的原函数，且f (x)的所有原函数都具有F (x)+C 的形式(C为任意常数)。  若 F ( x) 是 f ( x ) 的一个原函数，则 证明

: F ( x) C F ' ( x) f ( x)( C 为任意常数).

定理4· 1

所以 F ( x ) C 也是

f ( x) 的原函数.

另一方面，如果 F ( x)和 G ( x ) 都是

f ( x) 的原函数，即 F ( x) G ( x) f ( x)

则由中值定理的推论可知，F ( x ) 和 G ( x) 仅差一常数，即存在常 数 C ,使得 4.1不定积分的概念 G ( x ) F ( x) C 与基本公式

经济数学 4.1.1 原函数与不定积分的概念 1.原函数 (4) 原函数的存在性

?

什么样的函数有原函数存在呢

结论：如果函数 f ( x)在某区间上连续，则其原函数必存在

4.1不定积分的概 念与基本公式

经济数学

4.1.1 原函数与不定积分的概念1.原函数 (4) 原函数的存在性例2求下列函数的全体原函数

(1) f ( x) 2 x解：

(2) f ( x) e

x

1 (3) f ( x ) x

2 x2 +C (1) ( x 2 ) 2x x 的全体原函数是

(2) 同理可得e x的全体原函数是 e x+C 1 (3) 当 x 0 时， (ln x ) ln x , x当

1 所以 的全体原函数是 ln x +C x

x 0 时，(ln x ) [ ln( x ] 1 , x4.1不定积分的概 念与基本公式

经济数学 4.1.1 原函数与不定积分的概念

2.不定积分 (1)不定积分的概念定义4· 2如果函数F ( x)是f ( x )一个原函数，则称 f ( x ) 的全体原函数 F ( x) C ( C 为任意常数)为 f ( x) 的不定积分，记作

f ( x )dx F ( x ) C积 分 号 被 积 函 数 被 积 表 达 式 积 分 变 量

任 意 常 数 4.1不定积分的概 念与基本公式

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4.1.1 原函数与不定积分的概念2.不定积分 (1)不定积分的概念例3 计算下列不定积分

(1) f ( x) cos x解(1)

(2) f ( x) 3x2

(3) f ( x) a x

sin x cos x, f ( x)dx cos xdx sin x C.

解(2)

x解(3)

3

2 3 f ( x ) dx 3 x dx x C 3x , 2

a x a , ln a x

x a f ( x)dx a x dx C ln a

4.1不定积分的概 念与基本公式

经济数学

4.1.1 原函数与不定积分的概念2.不定积分 (1)不定积分的概念例3 计算下列不定积分

(4) f ( x) 2 x解 由例2可得

(5) f ( x) e

x

(6) f ( x)

1 x

(4) f ( x)dx 2 xdx x 2 C.

(5) f ( x)dx

x x e dx e C

dx (6) f ( x)dx ln x C x

4.1不定积分的概 念与基本公式

经济数学 4.1.1 原函数与不定积分的概念

2.不定积分 (1)不定积分的概念训练题一 求下列不定积分

(1)

3 4 x dx

x4 Cxdx

( 2)

csc

2

cot x C

(3)

2

x

dx

2x C ln 24.1不定积分的概 念与基本公式

经济数学

4.1.1 原函数与不定积分的 …… 此处隐藏：1223字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……