【数学】1.1.4《投影与直观图》课件(人教B版必修2)

1.1.4投影与直观图 投影与直观图

一、投影法 物体在光线的照射下， 物体在光线的照射下，就会在地面或 墙壁上产生影子。 墙壁上产生影子。人们将这种自然现象 加以科学的抽象，总结其中的规律， 加以科学的抽象，总结其中的规律，提 出了投影的方法。 出了投影的方法。 太阳光线可以把一个矩形的窗框投射 到地板上，影子是平行四边形， 到地板上，影子是平行四边形，在影子 中，框边的长度以及框边之间的夹角有 所改变，但框边的平行性没有改变。 所改变，但框边的平行性没有改变。

在立体几何中， 在立体几何中，一般都 是根据平行投影的性质， 是根据平行投影的性质， 用平面图形来表示空间图 形。 二、投影法分类 1.中心投影法 中心投影法 投影线均通过投影中心的投影法称为 中心投影法。 中心投影法。其投影的大小随物体与投 影中心间距离的变化而变化， 影中心间距离的变化而变化，所以其投 影不能反映物体的实形。 影不能反映物体的实形。

2.平行投影法 平行投影法 投影线相互平行的投影法称为平行投影 投影线相互平行的投影法称为平行投影 其中， 法。其中，投影线倾斜于投影面叫平行斜 投影法；投影线垂直于投影面叫平行正投 投影法；投影线垂直于投影面叫平行正投 影法简称 简称正投影法 影法简称正投影法

平行斜投影 平行正投影 应用正投影法， 应用正投影法，能在投影面上反映物体 某些面的真实形状及大小 真实形状及大小， 某些面的真实形状及大小，且与物体到投 影面的距离无关，因而作图方便， 影面的距离无关，因而作图方便，故在工 程中得到广泛的应用。 程中得到广泛的应用。工程图样就是用正 投影法绘制的。 投影法绘制的。

(1) 点的平行投影：已知 ) 点的平行投影： 图形F,直线l与平面 相交， 与平面α相交 图形 ，直线 与平面 相交， 上任一点M作直线 过F上任一点 作直线 平 上任一点 作直线l’平 行于l,交平面α于点 于点M’, 行于 ，交平面 于点 ，则 M’叫做点 在平面 内关于 叫做点M在平面 叫做点 在平面α内关于 直线l的平行投影 的平行投影. 直线 的平行投影 (2)图形的平行投影：如果图形 上的所 )图形的平行投影：如果图形F上的所 有点在平面α内关于直线 内关于直线l的平行投影构成 有点在平面 内关于直线 的平行投影构成 图形F’, 叫做图形F在 内关于直线 内关于直线l 图形 ，则F’叫做图形 在α内关于直线 叫做图形 的平行投影，平面α叫做投射面 叫做投 叫做投射面， 的平行投影，平面 叫做投射面，l叫做投 射线。 射线。

平行投影的性质： 三. 平行投影

的性质： 当图形中的直线或线段不平行于投射线时， 当图形中的直线或线段不平行于投射线时， 平行投影都具有以下性质： 平行投影都具有以下性质： 1.直线或线段的平行投影仍是直线或线段 直线或线段; .直线或线段的平行投影仍是直线或线段 2. 平行直线的平行投影是平行或重合的直 平行直线的平行投影是平行或重合 平行或重合的直 线； 3.平行于投射面的线段，它的投影与这条 .平行于投射面的线段， 线段平行且等长； 线段平行且等长；

4.与投射面平行的平面图形，它的投影 .与投射面平行的平面图形， 与这个图形全等； 与这个图形全等； 5.在同一直线或平行直线上，两条线段 .在同一直线或平行直线上， 平行投影长度的比等于这两条线段长度 的比。 的比。

当投射线和投射面成适当的角度或改 当投射线和投射面成适当的角度或改 适当的角度 变图形相对于投射面的位置 相对于投射面的位置时 变图形相对于投射面的位置时，一个空 间图形在投射面上的平行投影 平行投影( 间图形在投射面上的平行投影(平面图 可以形象地表示这个空间图形 形象地表示这个空间图形。 形)可以形象地表示这个空间图形。像 这样用来表示空间图形的平面图形，叫 这样用来表示空间图形的平面图形， 做空间图形的直观图 直观图。 做空间图形的直观图。 依据平行投影的性质画直观图的方法， 依据平行投影的性质画直观图的方法， 国家规定了统一的标准， 国家规定了统一的标准，一种较为简单 的画图标准是斜二侧画法 斜二侧画法。 的画图标准是斜二侧画法。

先观察一个正方形，如何把它画成水平 先观察一个正方形，如何把它画成水平 放置的直观图呢？我们用一个平行四边形 放置的直观图呢 我们用一个平行四边形 来表示它。那么这个平行四边形有什么要 来表示它。 求呢？ y 求呢？Y’

x oO’

X’

斜二测画法： 四. 斜二测画法：斜二测画法是国家规定的统一的画直观 斜二测画法是国家规定的统一的画直观 国家规定的统一的 的一种方法，它的规则是： 图的一种方法，它的规则是： (1)在已知图形所在的 ) 空间中取水平平面，作互 空间中取水平平面， 相垂直的轴Ox, , 相垂直的轴 ，Oy,再作 Oz轴，使∠xOz=90°,且 轴 ° ∠yOz=90°. °D x A (O) B D' z A' y C B' C'

(2)画直观图时，把Ox、Oy、Oz画成对 )画直观图时， 、 、 画成对 应的轴O’x’、O’y’、O’z’,使∠x’O’y’=45° 应的轴 、 、 , ° (或135°),∠x’O’z’=90°,x’O’y’所确 °),∠ ° 所确 定的平面表示水平平面; 定的平面表示水平平面