计算方法与实习(第五版)期末复习资料

《计算机在材料科学中的应用》习题课

第一章 误差等概念

1. 误差来源：模型误差、观测误差、截断误差、舍入误差 2. 绝对误差（限）：e=x*-x，|e|＝|x*-x|≤ε

3. 相对误差（限）：er＝(x*-x)/x，|er|＝|x*-x|/|x|≤εr

1

4. 有效数字：|e|≤ 10m-n

2

5. 防止误差的危害：避免两相近数相减，多数作乘数或小数作除数，大数“吃”

小数

第二章 方程求根

1. 根的存在及隔离 2. 二分法：误差是

1

b-a k+1 2

|xk 1 xk| 3. 迭代法：x (x)， | '(x)| 1，

xk 1＝ (xk) '

4. 加速法：取 (x) L， L

xk 1 xk） xk 1＝xk 1

1 L5. 牛顿迭代法：

f(xk) ''

x＝x , 选取x时使得f(x) f(x0) 0k 1k00' f(xk) f(xk)'简化牛顿法: f(x)=c， x＝x k 1k c

f(x)-f(x)f(x)(x x)k 1k 1 拟牛顿法（割线法）: f'(xk)=k， xk 1＝xk kk

xk xk 1f(xk)-f(xk 1)

牛顿下山法: xk 1＝xk f(xk), 选取 下山因子 使得|f(xk 1)|<|f(xk)| f'(xk)

第三章 方程组求解

1. 消去法：高斯消去法，列主元消去法，高斯-约当法，

(k)aik

消元因子 lik (k)

akk

(k+1)(k)(k) a=a-la ijijikkj (i,j=k+1,k+2,...,n)

消元公式 (k+1) (k)(k)

bi=bi-likbk (i=k+1,k+2,...,n)

n

b- a(k)xj

kj

(k)k

回代公式 xk=

j=k+1(k)kk

a

(k=n,...,1)

2. 矩阵直接分解：紧凑格式 3. 追赶法

4. 迭代法：收敛条件 |aii

| |aij|

j 1j i

n

bi- aijx(k)

j

①雅可比法迭代格式：xi

②高斯-赛德尔法迭代格式：

(k 1)

n

=

j=1j i

aii

(i=1,2,...,n)

x(ik 1)=

bi- aijxj

j=1

i-1

(k+1)

- aijx(k)

j

j=i+1

n

aii

(i=1,2,...,n)

第四章 插值法

1. 插值多项式

f(x) P(x) a0 a1x a2x2 ... anxn , 插值条件 P(xj)= f( xj)= yj (j=0,1,...,n) ，插值节点 xj ， 插值区间 [a,b],

f(n 1)( )插值余项 Rn(x)=f(x)-P(x) = n+1(x)

(n+1)!

nx xn

1 i jj

2. 拉格朗日插值： 插值基函数 li(xj) ， Ln(x) ( ) yi

i 0j 0xi xj 0 i j

j i

3. 差商：

一阶差商 f[x0,x1]=

f(x1)-f(x0)

x1-x0

f[x0,x2]-f[x0,x1]

x2-x1

f[x0,x1,...,xk-2,xk]-f[x0,x1,...,xk-2,xk-1]

xk-xk-1

二阶差商 f[x0,x1,x2]=

k阶差商 f[x0,x1,...,xk]=

4. 牛顿插值公式

f(x)=f(x0)+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+ +f[x0,x1, ,xn](x-x0)(x-x1) (x-xn-1) 5. 差分（等间距节点）

等距节点时，xk x0 kh （k=0,1,...,n）,h=xk+1 xk记fk= f(xk) ,则

f(x)在 xk处以h为步长的向前差分： fk fk 1-fkf(x)在 xk处以h为步长的向后差分： fk fk-fk 1f(x)在 xk处以h为步长的中心差分： fk f同样也有各自的m阶差分 mfk m 1fk 1- m 1fk mfk m 1fk- m 1fk 1 mfk m 1f

1k 2

k 12

- f

k

12

- m 1f

k

12

6. 牛顿前插公式

f0 2f0 nf0

f(x)=f(x0)+(x-x0) (x x0)(x x1) .... (x x0)...(x xn 1) Rn(x)

h2!h2n!hn

7. 样条插值：三次样条插值，要求光滑、连续

第五章 曲线拟合

最小二乘原理

有n对数据(xj,yj) (j=1,2,...,n),在[x1,xn]上求一个m次多项式

p(x) a0 a1x a2x2 ... amxm

适当选取ai(i=0,1,..., m), 使得 (a0,a1,...,am)= [P(xj) - yj]2 为最小值，

j=1n

则称p(x)为最小二乘拟合多项式(是x,y间的经验公式)。有正规方程组

nnn

a02m

nx x ... x jjj

j 0j 0j 0

nn m 1

xj ... xj a1

j 0 j 0

................................................. ....

n nn ammm 12m

x x ... x j j j j 0j 0j 0

n

yj j 0 n

xjyj j 0 .... n m

x jyj

j 0

列表计算累加和如下

从正规方程组中解得拟合多项式的各个系数值ai (i=0,1, ,m)。

第六章 数值积分、微分

1. 积分的有限过程

b

a

f(x)dx Akf(xk) ，其中Ak是求积系数，xk是求积节点

k 0

n

a) 插值型求积公式

用插值多项式代替被积函数，

b

a

f(x)dx Ln(x)dx

aba

b

bn

a

fx）l(x)dx （fx）fx）A （ l(x)dx （

k

k

k

k 0

k 0

ak

k

k 0

n

b

n

k

所以 Ak lk(x)dx

从而在有两个求积节点时得到梯形公式 f(x)dx T(f)

ab

b-a

f(a)+f(b) 2

有三个等距求积节点时得到Simpson公式 f(x)dx S(f)=

ab

b-a

f(a)+4f(a+b)+f(b)

6 2

2. 柯特斯公式（等距节点情况）：

①柯特斯系数 C

(n)

k

1( 1)(n k)nn (t j)dt nk!(n k)! 0j 0

j k

②柯特斯求积公式（有五个等距求积节点时） f(x)dx C(f)=I4

ab

b-a90

7f(x0)+32f(x1)+12f(x2)+32f(x3)+12f(x4)

3. 复化求积

将求积区间[a,b]作n等分,并记步长值h

b a

，则xk＝a+kh (k=0,1,...,n)。

n

①复化梯形公式

b

n-1

h

f(x)dx Tn(f)= Ik f(a)+2 f(xk)+f(b)

2 k=1k=1

n-1

a

②复化Simpson公式

b

n-1n-1h

f(x)dx Sn(f)= Ik f(a)+4 f(xk+)+2 f(xk) f(b)

6 k=1k=0k=1

n-1

a

③复化柯特斯公式

b