第3课时

动动脑

AA

/

BB

/

将线段AB沿着所给的方向和距离, 平移到A′B′ ,构成四边形A′ABB′。想一想：这个四边形具备了怎样的特征？

你能用一句话概括你的发现吗？一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.

一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.写出:已知,求证,证明. 已知:如图,在四边形ABCD中，AB=CD,AB∥CD. 求证：四边形ABCD是平行四边形.

D以小组为单位选择合 适方法证明这个命题

C

A

B

已知:如图,在四边形ABCD中，AB=CD,AB∥CD. D 求证：四边形ABCD是平行四边形.

C B

证明： 连接DB,∵ AB∥CD, ∴∠CDB= ∠ABD. 在△CDB与△ABD中, CD=AB,(已知) ∠CDB= ∠ABD,(已证) DB=BD,(公共边)

A∴ ∠ADB= ∠CBD, ∴ AD∥BC.

∴四边形ABCD是平行四边行.

∴△CDB≌△ABD.(SAS)

定理1 一组对边平行且相等的四边形是 平行四边形

DA

C B

平行四边形的对边相等.逆命题两组对边分别相等的四边形是平行四边形.已知：四边形ABCD, AB=CD,AD=BC, 求证：四边形ABCD是平行四边形. A 证明: 连接AC, 4 1 ∵ 在△ABC与△CDA中, AB=CD,(已知) AD=BC,(已知) AC=CA,(公共边) B ∴△ABC≌△CDA.(SSS) ∴∠1=∠2,∠3=∠4. ∴ AB∥CD,AD∥BC . ∴四边形ABCD是平行四边形.

D

3 2C

平行四边形的对边相等.

定理2 两组对边分别相等的四边形 是平行四边形.A D

B

C

对角线互相平分的四边形是平行四边形已知：如图，四边形ABCD, AC、BD交 于点O且OA=OC,OB=OD 求证：四边形ABCD是平行四边形 证明：∵在△AOB与△COD中,AO = CO,(已知) ∠1 = ∠2,(已知) B C A D

3

1

O

4

2

BO = DO,(已知)

∴△AOB≌△COD.(SAS)

你还能用其他的方 法来证明吗?

∴∠3=∠4.∴AB∥CD. 同理AD∥BC.

∴四边形ABCD是平行四边形.

定理3 对角线互相平分的四边形 是平行四边形AD

OC

B

例1 已知:如图，点E、F是平行四边形 对角线AB上的两点，且AE=CF. 求证：四边形DEBF是平行四边形.E

D

CO F

证明：连接BD交AC于点O,

A

B

∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴AO=CO,BO=DO. 又∵AE=CF, ∴OE=OF。 ∴四边形DEBF是平行四边形.

2 证明:延长DE到F,使EF=DE,连接FC、DC、AF D E ∵AE=EC, ∴四边形ADCF是平行四边形. C B ∴ CF∥DA,CF=DA. A ∵ CF∥BD, CF=DA=BD. ∴四边形DBCF是平行四边形. E D F ∴DF∥BC,DF=BC. 1 又DE= 2 DF,1 ∴DE= BC. 2B C

例2 如图，点D、E分别是△ABC的边AB、 1 AC的中点，求证:DE∥BC且DE= BC.

A

中位线定义：连接三角形两边中点的线段 叫做三角形的中位线.

中位线定理：三角形的中位线平行于三 角形的第三边，并且等于第三边的一半.

1.如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O,(1)若AD=8cm,AB=4cm,那么当BC=____cm, CD=____cm时，四边形ABCD为

平行四边形； (2)若AC=10cm,BD=8cm,那么当AO=___cm, DO=___cm时，四边形ABCD为平行四边形.

2、下列条件中，不能判定四边形ABCD是 平行四边形的是( D) A.∠A=∠C,∠B=∠D B.∠A=∠B=∠C=90 ° C.∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180 ° D.∠A+∠B=180 °,∠C+∠D=180 °A D

B

C

3、下列条件中能判定一个四边形是平行四边形的条件 是( D) ①一组对边相等，且一组对角相等; ②一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线; ③一组对角相等，且这一组对角的顶点所连结的对角 线被另一条对角线平分; ④一组对角相等，且这一组对角的顶点所连结的对角 线平分这组对角. D A A.①和② B.②和③ C.②和④ B C D.只有④