离散傅里叶变换( 第三章 离散傅里叶变换(DFT) )3.1 离散傅里叶变换的定义及物理意义 3.2 离散傅里叶变换的基本性质 3.3 频率域采样 3.4 DFT的应用举例 的应用举例

3.1 离散傅里叶变换的定义 3.1.1 DFT的定义 的定义当n=0 ~ M-1 ,x(n)有值 有值 为其它时， 当n为其它时，x(n)=0 为其它时

是一个长度为M的有限长序列 设x(n)是一个长度为 的有限长序列，则定义 是一个长度为 的有限长序列，则定义x(n) 的N点离散傅里叶变换为 点离散傅里叶变换为kn X ( k ) = DFT [ x( n)] = ∑ x ( n)W N , k=0, 1, L , N-1 (3.1.1) n= 0 N 1

X(k)的离散傅里叶逆变换为 X(k)的离散傅里叶逆变换为1 x( n) = IDFT [ X ( k )] = N j 2π N

∑k =0

N 1

X ( k )W N kn , n=0, 1, , N-1 (3.1.2)

式中， N = e ,N称为 式中， 称为DFT变换区间长度 变换区间长度N≥M, 通常称 ， 称为 变换区间长度 W (3.1.1)式和 式和(3.1.2)式为离散傅里叶变换对。 式为离散傅里叶变换对。 式和 式为离散傅里叶变换对

3.1 离散傅里叶变换的定义 DFT的矩阵表示形式： 的矩阵表示形式： 的矩阵表示形式N 1 n= 0

kn X ( k ) = DFT [ x ( n)] = ∑ x ( n)W N , k=0, 1, L , N-10 X [0] WN X [1] 0 = WN M M 0 X [ N 1] WN 0 WN 1 WN×1 0 WN

L

0 WN 1 WN×( N 1)

1 WN×2 L

MM M1 2 ( WN×( N 1) WN ×( N 1) L WNN 1)×( N 1)

x [0] x [1] M x [ N 1]

X = WN xW4

1 1 = 1 1

1 1 - j -1 -1 j

1 j 1 -1 -1 -j

3.1 离散傅里叶变换的定义 [例 3.1.1] x(n)=R4(n) ,求x(n)的4点和8点DFT 例 的 点和8 设变换区间N=4 设变换区间 4, 则 X (0) 1 1 1 1 1 4 X (1) 1 -j -1 j 1 0 = = X (2) 1 -1 1 -1 1 0 X (3) 1 j -1 -j 1 0 X ( k ) = 4δ ( k ) 0≤k ≤3

3.1 离散傅里叶变换的定义 x(n)=R4(n),设变换区间 8, 则 ，设变换区间N=8

X ( k ) = ∑ x ( n)W8kn = ∑ en= 0 n= 0

7

3

j

2π kn 8

=∑ en= 0

3

j kn 4

π

=

1 e jπ k 1-e j k 4

π

=e

3 j kπ 8

sin( k ) 2 , k = 0,1, , 7 π sin( k ) 8

π

3.1 离散傅里叶变换的定义 3.1.2 DFT的物理意义 的物理意义 (1)DFT 与ZT、FT的关系 、 的关系设序列x(n)的长度为 ，则 的长度为N, 设序列 的长度为

X ( z ) = ZT [ x ( n )] =

∑

N 1 n=0

x(n) z n x ( n )W Nkn 0 ≤ k ≤ N-1

X ( k ) = DFT [ x ( n )] =比较上面二式可得关系式

∑

N 1 n=0

X (k ) = X ( z )z =e

j

2π k N

, ,

0 ≤ k ≤ N 1 0 ≤ k ≤ N 1

X ( k ) = X (e jω )

2π ω= k N

3.1 离散傅里叶变换的定义

结论： 结论： X(k)(x(n)的N点DFT)是序列 的 点 )是序列x(n)的Z变换在单位圆 的 变换在单位圆 ( 上的N点等间隔采样。 上的 点等间隔采样。 点等间隔采样 的N点等间隔采样。即对序列频谱的离散化， ω k = 2π k 点等间隔采样。 点等间隔采样 即对序列频谱的离散化，N

X(k)是序列 是序列x(n)的傅里叶变换 的傅里叶变换X(e jω)在区间 ，2π]上 在区间[0, 上 是序列 的傅里叶变换 在区间

3.1 离散傅里叶变换的定义

图 3.1.1 X(k)与X(e jω)的关系 与 的关系

3.1 离散傅里叶变换的定义 (2)DFT 与DFS的关系 的关系 有限长序列x(n) (以N为周期 的周期延拓序列 为周期)的周期延拓序列 有限长序列 以 为周期∞

% x ( n) =

m = ∞

∑

x(n + mN )

% x(n) = x(n) RN (n)为了以后叙述方便， 用如下形式表示： 为了以后叙述方便， 用如下形式表示：

% x(n) = x((n)) N % x(n) = x(n) RN (n)

3.1 离散傅里叶变换的定义

图 3.1.2 有限长序列及其周期延拓 (N=8) )

3.1 离散傅里叶变换的定义 式中x((n))N 表示 表示x(n)以 N为周期的周期延拓序列 ， 为周期的周期延拓序列， 式中 以 为周期的周期延拓序列 ((n))N表示n对N求余， 即如果 求余， 表示 对 求余 例如， 例如，~

N = 5, x(n) = x((n))5 ,

则有

x (5) = x ((5))5 = x (0) x (6) = x ((6))5 = x (1)所得结果附合图3.1.2所示的周期延拓规律。 所示的周期延拓规律。 所得结果附合图 所示的周期延拓规律~

~

3.1 离散傅里叶变换的定义 的长度为N,% 若x(n)的长度为 ，x( n) = x(( n)) N , 则有 的长度为kn % % X (k ) = DFS[ x(n)] = ∑ x(n)WNkn = ∑ x(n)WN n =0 n=0N 1 n= n =0

~

N 1

N 1

而

X (k ) = DFT [ x(n)] = ∑ x(n)WNkn 0 ≤ k ≤ N 1

% 比较二式可得： 比较二式可得：X (k ) = X (k ) RN (k )

% x(n) = x(n) RN (n)结论： 变换X(k)就是 就是x(n)周期延拓序列的 结论：x(n)的N点DFT 变换 的 点 就是 周期延拓序列的 % % DFS变换的主值序列。 x(n)、X(k) 分别对应 x( n)、X ( k ) 变换的主值序列。 变换的主值序列 的主值序列。 的主值序列。

3.1 离散傅里叶变换的定义

图 3.1.3 DFT与DFS的关系 (N=8) 与 的关系 )

3.1 离散傅里叶变换的定义 3.1.3 DFT的隐含周期性 的隐含周期性 前面定义的DFT变换对中 ， x(n)与 X(k)均为有限长 变换对中， 前面定义的 变换对中 与 均为有限长 序列， 但由于W 的周期性， 式和(3.1.2)式中 序列 ， 但由于 Nkn 的周期性 ， 使 (3.1.1)式和 式和 式中 隐含周期性， 的 X(k)隐含周期性 ， 且周期均为 。 对任意整数 ， 总 隐含周期性 且周期均为N。 对任意整数m,k ( 有 WN = WNk +mN ) , k , m, N 均为整数 所以(3.1.1)式中， X(k)满足 式中， 所以 式中 满足( X ( k + mN ) = ∑ x ( n )WN k +mN ) n

n =0 kn = ∑ x ( n )WN = X ( k ) n =0 N 1 N 1

同理可证明(3.1.2)式中 同理可证明 式中 x(n+mN)=x(n)

3.1 离散傅里叶变换的定义 3.1.4 用MATLAB计算序列的 计算序列的DFT 计算序列的 MATLAB提供计算 提供计算DFT的函数，格式如下： 的函数， 提供计算 的函数 格式如下： Xk=fft(xn, N) xn=ifft(Xk, N)

[例 3.1.2]设 x(n)=R4(n), X(ejω)=FT[x(n)],分别计算 例 分别计算X(ejω)在 [0, 设 分别计算 在 ， 2π]上的 点和 点等间隔采样，并画采样的幅频图。 上的16点和 点等间隔采样， 上的 点和32点等间隔采样 并画采样的幅频图。 解：%DFT的MATLAB计算 ep312.m 的 计算 xn=[1 1 1 1]; Xk16=fft(xn,16); Xk32=fft(xn,32);

3.1 离散傅里叶变换的定义 % 绘图部分 n=0:3; subplot(3,1,1);stem(n,xn,’.’); xlabel(‘n’);ylabel(‘x(n)’); N=16; k=0:N-1; wk=2/N*k; subplot(3,1,2);stem(wk,abs(Xk16),’.’); xlabel(‘ω/π’);ylabel(‘|X(ejw)|’);

3.1 离散傅里叶变换的定义1 xn () 0.5 0

0

1 n

2

3

4 | ( jw Xe ) | 2 0

0

0.5

1 ω/ π

1.5

2

4 | ( jw Xe ) |

2

0

0

0.5

1 ω/ π

1.5

2

图 3.1.4

程序ep312运行结果 运行结果 程序

3.2 离散傅里叶变换的基本性质3.2.1 线性性质 如果x1(n)和x2(n)是两个有限长序列， 长度分别为N1和 如果 和 是两个有限长序列， 长度分别为 是两个有限长序列 N2。 y(n)=ax1(n)+bx2(n) 式中a、 为常数 为常数， 式中 、 b为常数 ， 即 N=max[ N1, N2 ] , 则 y(n)的 N点 [ 的 点 DFT为: 为 Y(k)=DFT[y(n)]=aX1(k)+bX2(k), 0≤k≤N-1 (3.2.1) [ ] 其中X 分别为x 其中 1(k)和X2(k)分别为 1(n)和x2(n)的N点DFT。 和 分别为 和 的 点 。

3.2 离散傅里叶变换的基本性质 3.2.2 循环移位性质 1. 序列的循环移位(圆周移位) 序列的循环移位(圆周移位) 为有限长序列， 设 x(n)为有限长序列 ， 长度为 ， 则 x(n)的循环移 为有限长序列 长度为N, 的循环移 位序列定义为

y(n)=x((n+m))NRN(n)

(3.2.2)

3.2 离散傅里叶变换的基本性质

图 3.2.1

循环移位过程示意图

3.2 离散傅里叶变换的基本性质 2. 时域循环移位定理 是长度为N的有限长序列 设x(n)是长度为 的有限长序列， y(n)为x(n)的循 是长度为 的有限长序列， 为 的循 环移位， 环移位，即 y(n)=x((n+m))NRN(n) 则 Y(k)=DFT[y(n)] [ ] =WN-km X(k) 其中X(k)=DFT[x(n)], 0≤k≤N-1。 [ 其中 ] 。 (3.2.3)