2.1.2求曲线的方程(2)
时间：2026-01-14
数学选修2-1
求曲线的方程-2
数学选修2-1
求曲线的方程(轨迹方程)的一般步骤: 一、建立适当的坐标系，设曲线上任一点的坐 标，及相关点的坐标; 二、(限)找条件，由条件(代)列方程; 三、化简方程. 证明所得方程(可以省略)为所求的曲线方程.
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例1、两个定点的距离为6,点M到这两个定点 的距离的平方和为26,求点M的轨迹方程.解:如图以直线 AB 为 x 轴,AB 的中点为原点建立坐标系(3,0) 则 A、B 的坐标分别为 ( 3,0) 、
y
设 M 的坐标分别为 ( x, y ) 2 2 依题意得 MA MB 26∴ ( x 3) y ( x 3) y 262 2 2 2
化简整理得 x y 42 22 2
∴点 M 的轨迹方程为 x y 4 .
A
0
M ( x, y )
B
x3
注:这种求轨迹方程的方法叫做直接法.
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例 2 、 △ ABC 的 顶 点 B 、 C 的 坐 标 分 别 为 (0,0)、 (4,0),AB边上的中线的长为3,求顶点A的轨迹方程.法二:设 A 的坐标分别为 ( x, y ) ,AB 的中点 D 的坐标为 ( x1 , y1 ) x x1 2 由中点坐标公式可知 A y y ∵AB 边上的中线 CD=3 1 2 D 2 2
y
( x, y )
∴ ( x1 4) y1 9
B
化简整理得 ( x 8)2 y 2 36 0 ∴点 A 的轨迹方程为 ( x 8)2 y 2 36 . y 0 注:这种求轨迹方程的方法叫做坐标转移法
Mx C4
法三: 添辅助线 MA,巧用图形性质
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求曲线的方程一、直接法 二、坐标转移法
三、几何法
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例 3 、 经 过 原 点 的 直 线 l 与 2 2 圆 x y 6x 4 y 9 0 相交于 两 个 不同点A、B,求线段AB的中点M的轨迹 方程. y lM
B0
O
C
A
x6
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例3、经过原点的直线l与圆 x2 y2 6x 4 y 9 0 相交于 两个不同点A、B,求线段AB的中点M的轨迹方程.
解:设 M ( x, y )2 2
yM
3 ∴OC 的中点 O ' 的坐标为 ( ,1) 2 且 OC 13
设 x y 6x 4 y 9 0 的 圆 心 为 C,则 C 的坐标为(3,2).
B0
∵M 为 AB 的中点, ∴由圆的性质可知 MC⊥OM ∴点 M 在以 OC 为直径的圆 O 上.
O
C
A
l
x
3 2 13 2 ∵圆 O 的方程为 ( x ) ( y 1) 在已知圆内的部分 7 2 4
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例3、经过原点的直线l与圆 x2 y2 6x 4 y 9 0 相交于 两个不同点A、B,求线段AB的中点M的轨迹方程.
解:设 M ( x, y ) ,A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 )x x2 x 1 2 则 y y1 y2 2
yM
设直线 l 的方程为 y kx
0 消去 y 得 (1 k ) x (6 4k ) x 9 02 2
y kx 由方程组 2 2 x y 6 x 4 y 10 0
B
C
A
l
x
消参法 3 2k x 1 k 2 消去参数 k 得 x2 y 2 3x 2 y 0 ∴ y k 3 2k 然后由△>0 得参数 k 的范围,再确定 x 的范围 8 2 1 k
6 4k 9 x1 x2 , x1 x2 2 1 k 1
k 2
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求曲线的方程一、直接法 二、坐标转移法
三、几何法 四、消参法
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例4、已知直角坐标平面上点Q(2,0) 和圆O: x y 1.2 2
动点M到圆O的切线长与|MQ|的比等于常数
( 0),
求动点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线？y
M
N 0 Q
x
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课外拓展高考真题： 如图，圆O1与圆O2的半径 都是1,O1O2=4,过动点P分别作圆O1、 圆O2的切线PM、PN(M、N分别为切 PM 2试建立适当的 PN . 点),使得 坐标系，并求动点P的轨迹方程.yP
M O1
N
o
O2
x11
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课堂小结求曲线的方程(轨迹方程)的一般步骤: 一、建立适当的坐标系，设曲线上任一点的坐 标，; 二、找条件，由条件列出方程; 三、化简方程. 说明所得方程(可以省略)为所求的曲线方程.12
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求曲线方程的过程中:
1、直接根据条件，列出方程化简即得。(直接法)
2、充分利用图形特点来挖掘几何条件列方程可 以使过程变得简洁.(数形结合!) 3、有时直接找曲线上的点的坐标满足的关系 是相当困难的,这时我们要巧妙地借助与它相关 的点来分析,会更容易发现问题中的代数关系, 从而列出方程.(相关点坐标分析法,代入法)4、可以增设参数，利用参数确定等量关系，最后消参。 (消参法)13
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作业(选做题):1. 动点在圆 x 2 y 2 1 上移动时，它与 定点 B(3,0) 连线的中点的轨迹方程是( C ) (A) ( x 3) 2 y 2 4 (B) ( x 3) 2 y 2 1 3 2 1 2 2 2 (C) (2 x 3) 4 y 1 (D) ( x ) y 2 2 2.点 M ( x, y ) 与定点 F (1, 0) 距离和它到直线 x 8 的距离 1 的比为 ,则动点 M 的轨迹方程为( D ) 2x2 y 2 (A) 1 4 3x2 y2 (C) 1 16 12
x2 y 2 (B) 1 8 7
(D) 3x 4 y 8x 60 =02 214
作业:课本 P A 第 4 题
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例3、经过原点的直线l与圆 x2 y2 6x 4 y 9 0 相交于 两个不同点A、B,求线段AB的中点M的轨迹方程.
解:设 M ( x, y ) ,A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 )x1 x2 x 2 则 y y1 y2 22 1 2 1
x y 6 x1 4 y1 9 0 ① 且 2 x2 y2 2 6 x2 4 y2 9 0 ②
yM
由①─②得 ( x1 x2 )( x1 x2 ) ( y1 y2 )( y1 y2 )
B
6( x1 x2 ) 4( y1 y2 ) 0 y y1 y2 0 ∵ kOM k AB 即 (易知 x1 x2 ) x x1 x2 y y ∴ 2 x 2 y 6 4 0 ∴化简得 x2 y 2 3x 2 y 0x x
C
A
l
x
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