微分方程 第一章1.7 几种可降阶的高阶微分方程

第二章 电路的过渡过程

2.3 一阶电路的零输入响应

1.7 几种可降阶的高阶方程一、 二、 三、 型的微分方程 型的微分方程 型的微分方程

一、 y ( n ) f ( x ) 令 z y( n 1)

型的微分方程 因此

,z f ( x ) d x C1

即 同理可得 y ( n 2)

d x C 2

d x

C1 x C 22

依次通过n 次积分, 可得含n个任意常数的通解 .

例1.2x y e 解: cos x d x C1 1 2x e sin x C1 2 1 2 x cos x C x C y e 1 2 4 1 2x y e sin x C1 x 2 C 2 x C3 8

例2. 质量为 m 的质点受力F 的作用沿 ox 轴作直线 运动, 设力 F 仅是时间 t 的函数: F = F (t) . 在开始时刻 t=0时 随着时间的增大 , 此力 F 均匀地减 如果开始时质点在原点, 且

小, 直到 t = T 时 F(T) = 0 .

初初速度为0, 求质点的运动规律. 解: 据题意有

t F0 (1 ) T

F0

F

F t F0 (1 ) T

o对方程两边积分, 得

T t4

d x F0 t2 (t ) C1 dt m 2T利用初始条件2

得 C1 0, 于是

d x F0 t (t ) dt m 2T F0 t 2 t 3 两边再积分得 x ( ) C2 m 2 6T再利用

得 C 2 0,F0 2 t x (t ) 2m 3T3

故所求质点运动规律为

二、

y f ( x, y ) p ( x) ,

型的微分方程 原方程化为一阶方程

设y

设其通解为 则得

p ( x, C1 ) y ( x, C1 )

再一次积分, 得原方程的通解

y ( x, C1 ) d x C 26

例3. 求解 解:

(1 x 2 ) y 2x y y2x 0

1 , y

x 0

3

代入方程得

(1 x ) p 2x p积分得 ln

分离变量

p ln (1 x 2 ) ln C1 , 3 , 得 C1 3, 于是有 y 3 (1 x 2 )

利用 y x 0

两端再积分得 利用 yx 0

y x 3 3 x C27

1 , 得 C 2 1, 因此所求特解为 y x3 3 x 1

三、y f ( y , y ) 型的微分方程 d p d p dy 令 y p ( y ), 则 y dx d y dx 故方程化为 设其通解为 p ( y , C1 ),即得

分离变量后积分, 得原方程的通解

例5. 求解 解: 代入方程得

d p d p dy dp 则 y p dx d y dx dy

两端积分得ln p ln y ln C1 , 即 p C1 y ,(一阶线性齐次方程) 故所求通解为9

例6. 一个离地面很高的物体, 受地球引力的作用由

静止开始落向地面, 求它落到地面时的速度和所需时间(不计空气阻力). 解: 如图所示选取坐标系. 则有定解问题:

k mM d2 y m 2 y2 dt y t 0 l , y t 0 0

M : 地球质量 m : 物体质量

y l

R

dy d y dv 设v ,则 2 dt dt dt代入方程得 积分得

2

o

利用 v2

t 0

y

t 0

0, y

t 0

2k M l , 得 C1 l

1 1 v 2k M , y l l y dy dy v , dt

2k M l y dt两端积分得2

注意“-”号

y l y y l arccos l

利用 y

t 0

l , 得 C 2 0,11

因此有

k mM d y , m 2 2 y dt

2

y l

R

o由于 y = R 时 由原方程可得

因此落到地面( y = R )时的速度和所需时间分别为

t

y R

1 l ( l R R 2 l arccos R 2g

R ) l

说明: 若此例改为如图所示的坐标系, 则定解问题为 2 d y o m 2 dt

y

t 0

0 , y t 0 0

Rl

dy 令v , dt 解方程可得问: 此时开方根号前应取什么符号? 说明道理 .

y

内容小结 可降阶微分方程的解法 —— 降阶法 逐次积分

令 y p( x) ,

令 y p( y) ,16