排列组合常见题型总结(2015版)

排列组合问题是高考的必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握，实践证明，掌握题型和解题方法，识别模式，熟练运用，是解决排列组合应用题的有效途径；下面就谈一谈排列组合应用题的解题策略.

【知识要点】

一、分类加法原理与分布乘法计数原理

1．加法原理：完成一件事有n 类办法，在第1类办法中有m 1种不同的方法，在第2类办法中有m 2种不同的方法，……，在第n 类办法中有m n 种不同的方法，那么完成这件事一共有N=m 1+m 2+…+m n 种不同的方法。

2．乘法原理：完成一件事，完成它需要分n 个步骤，第1步有m 1种不同的方法，第2步有m 2种不同的方法，……，第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有N=m 1×m 2×…×m n 种不同的方法。

二、排列与组合

1．排列与排列数：从n 个不同元素中，任取m(m ≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列，从n 个不同元素中取出m 个(m ≤n)元素的所有排列个数，叫做从n 个

不同元素中取出m 个元素的排列数，用m n A 表示，

m n A =n(n-1)…(n-m+1)=)!

(!m n n -,其中m,n ∈N,m ≤n,注：一般地0n A =1，0！=1，n n A =n! 。 2．组合与组合数：一般地，从n 个不同元素中，任取m(m ≤n)个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合，即从n 个不同元素中不计顺序地取出m 个构成原集合的一个子集。从n 个不同元

素中取出m(m ≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用m n C 表示：

.)!

(!!!)1()1(m n m n m m n n n C m n -=+--=Λ 规定：1C 0

=n 组合数的基本性质：（1）m n n m n C C -=； （2）11--+=n n m n m n C C C ；

一、可重复的排列求幂法：

重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，则通过“住店法”可顺利解题，在这类问题使用住店处理的策略中，关键是在正确判断哪个底数，哪个是指数。

【例1】（1）有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同的报名方法？（2）有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果？

（3）将3封不同的信投入4个不同的邮筒，则有多少种不同投法？

【解析】：（1）43（2）34（3）34

【例2】把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法？

【例3】8名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有（）

A、38

B、83

C、38A

D、38C

二．相邻问题捆绑法：题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.【例4】,,,,

A B C D E五人并排站成一排，如果,A B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法种数有

【解析】：把,A B视为一人，且B固定在A的右边，则本题相当于4人的全排列，4

424

A 种

【例5】3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生必须相邻，则不同排法的种数是

真题：

【2014•嘉兴二模】甲、乙、丙、丁、戊共5人站成一排，其中甲、乙两人中间恰有1人的站法种数（）

A ． 18

B ． 24

C ． 36

D ． 48

三．相离问题插空法：元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.

【例6】七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是

【解析】除甲乙外，其余5个排列数为55A 种，再用甲乙去插6个空位有26A 种，不同的排法种数是

52563600A A 种

【例7】 书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的顺序，有 种不同的插法

【解析】：111789A A A =504

【例8】 高三（一）班学要安排毕业晚会的4各音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是

【例9】 某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，有工程丁必须在工程丙完成后立即进行。那么安排这6项工程的不同排法种数是

【例10】某市春节晚会原定10个节目，导演最后决定添加3个与“抗冰救灾”有关的节目，但是赈灾节目不排在第一个也不排在最后一个，并且已经排好的10个节目的相对顺序不变，则该晚会的节目单的编排总数为 种.

【例11】停车场划出一排12个停车位置，今有8辆车需要停放.要求空车位置连在一起，不同的停车方法有多少种？

真题：

【2014•四川模拟】我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架歼﹣15飞机准备着舰．如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有（ ）

A．12B．18C．24D．48

【2014•张掖模拟】现有3位男生和3位女生排成一行，若要求任何两位男生和任何两位女生均不能相邻，且男生甲和女生乙必须相邻，则这样的排法总数是（）

A．20B．40C．60D．80

四．元素分析法（位置分析法）：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。

【例12】2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（）

A. 36种

B. 12种

C. 18种

D. 48种

【例13】1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有多少种？【例14】有七名学生站成一排，某甲不排在首位也不排在末位的排法有多少种？

真题：

【2015高考广东，理12】某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了条毕业留言．（用数字作答）

【2014•四川】六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（）

A．192种B．216种C．240种D．288种

五．多排问题单排法：把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理。

【例15】（1）6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是（ ）

A 、36种

B 、120种

C 、720种

D 、1440种

（2）把15人分成前后三排，每排5人，不同的排法种数为( )

（A ）510515A A （B ）3355510515A A A A （C ）1515A

（D ）3355510515A A A A ÷ （3）8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个元素排在后排，有多少种不同排法？

六．定序问题缩倍法（等几率法）：在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.

【例16】,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果B 必须站在A 的右边（,A B 可以不相邻）那么不同的排法种数是（ ） 【解析】：B 在A 的右边与B 在A 的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即551602

A =种 【例17】 书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的顺序，有多少种不同的插法？

【例18】将A 、B 、C 、D 、E 、F 这6个字母排成一排，若A 、B 、C 必须按A 在前，B 居中，C 在后的原则（A 、B 、C 允许不相邻），有多少种不同的排法？

【2014•金华模拟】已知集合A={1，2，3，4，5，6}，在A 中任取三个元素，使它们的和小于余下的三个元素的和，则取法种数共有（ ）

A ． 4

B ． 10

C ． 15

D ． 20

七．标号排位问题（配对问题） 把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.

【例19】将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（ ）

A 、6种

B 、9种

C 、11种

D 、23种

【解析】：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三

个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9种填法，选B .

【例20】 编号为1、2、3、4、5的五个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位，其中有且只有两个的编号与座位号一致的坐法是（ ）

A 10种

B 20种

C 30种

D 60种 答案：B

【例21】：同室4人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，则4张贺年卡不同的分配方式共有( )

（A ）6种 （B ）9种 （C ）11种 （D ）23种

【解析】：设四个人分别为甲、乙、丙、丁，各自写的贺年卡分别为a 、b 、c 、d 。

第一步，甲取其中一张，有3种等同的方式；第二步，假设甲取b ，则乙的取法可分两类：

（1）乙取a ，则接下来丙、丁取法都是唯一的，

（2）乙取c 或d （2种方式），不管哪一种情况，接下来丙、丁的取法也都是唯一的。

根据加法原理和乘法原理，一共有3129

⨯+=()种分配方式。 故选（B ） 真题：

【2014•巴州区模拟】将A 、B 、C 、D 、E 五种不同文件随机地放入编号依次为1，2，3，4，5，6，7的七个抽屉内，每个抽屉至多放一种文件，则文件A 、B 被放在相邻抽屉内且文件C 、D 被放在不相邻的抽屉内的放法种数为（ ）

A ． 240

B ． 480

C ． 840

D ． 960

【2015届佛山市】将编号为1, 2, 3, 4, 5的五个球放入编号为1, 2, 3, 4, 5的一个盒子，每个盒内放一个球，若恰好有两个球的编号与盒子编号相同，则不同的投放方法的种数为 . 八．不同元素的分配问题（先分堆再分配）：注意平均分堆的算法

【例22】 有6本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方式？

（1） 分成1本、2本、3本三组；

（2）分给甲、乙、丙三人，其中一个人1本，一个人2本，一个人3本；

（3）分成每组都是2本的三个组；

（4）分给甲、乙、丙三人，每个人2本；

（5）分给5人每人至少1本。

【例23】将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有种

【例24】5名志愿者分到3所学校支教，每个学校至少去一名志愿者，则不同的分派方法共有（）（A）150种(B)180种(C)200种 (D)280种

【例25】将9个（含甲、乙）平均分成三组，甲、乙分在同一组，则不同分组方法的种数为（） A．70 B．140 C．280 D．840

【例26】将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则不同的分配方案有（）（A）30 （B）90 （C）180 （D）270

【例27】有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是（）

A、1260种

B、2025种

C、2520种

D、5040种

【例28】四个不同球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种？

真题：

【2014•宜宾一模】已知5名医生和3名护士被分配到甲、乙两所学校为学生体检，每校至少要分配2名医生和1名护士，则不同的分配方案共有（）

A．30种B．60种C．90种D．120种

【2014•广西】有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（）

A ． 60种

B ． 70种

C ． 75种

D ． 150种

【2014•蓟县一模】从星期一到星期六安排甲、乙、丙三人值班，每人值2天班，如果甲不安排在星期一，乙不安排在星期六，那么值班方案种数为（ ）

A ． 42

B ． 30

C ． 72

D ． 60

【2014•唐山二模】将6名男生，4名女生分成两组，每组5人，参加两项不同的活动，每组3名男生和2名女生，则不同的分配方法有（ ）

A ． 240种

B ． 120种

C ． 60种

D ． 180种

九．相同元素的分配问题隔板法：

【例29】：把20个相同的球全放入编号分别为1，2，3的三个盒子中，要求每个盒子中的球数不少于其编号数，则有多少种不同的放法？

【解析】：向1，2，3号三个盒子中分别放入0，1，2个球后还余下17个球，然后再把这17个球分成3份，每份至少一球，运用隔板法，共有120216=C 种。

【例30】10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？

【解析】：10个名额分到7个班级，就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆，每堆至少一个，可以在10个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种分配方案，故共有不同的分配方

案为6984C =种.

变式1：7个相同的小球，任意放入四个不同的盒子，问每个盒子都不空的放法有

变式2：马路上有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的9盏路灯，为节约用电，可以把其中的三盏路灯关掉，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，也不能关掉两端的路灯，满足条件的关灯办法有 种

【例31】：将4个相同的白球、5个相同的黑球、6个相同的红球放入4各不同的盒子中的3个中，使

得有一个空盒且其他盒子中球的颜色齐全的不同放法有多少种？

【解析】： 1、先从4个盒子中选三个放置小球有种方法。2、注意到小球都是相同的，我们可以采用隔板法。为了保证三个盒子中球的颜色齐全，可以在4个相同的白球、5个相同的黑球、6个相同的红球所产生的3个、4个5个空挡中分别插入两个板。各有、、种方法。3、由分步计数原理可得=720种

十．数字排数问题（注意数字“0”）

【例33】由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（）A、210种 B、300种 C、464种 D、600种

【例34】用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的数。

（1）能组成多少个六位数？（2）能组成多少个六位奇数？

（3）能组成多少个被5整除的六位数？（4）能组成多少个比240135大的数？

真题：

【2015高考四川，理6】用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（）

（A）144个（B）120个（C）96个（D）72个

【2014•黄冈模拟】用5，6，7，8，9组成没有重复数字的五位数，其中有且仅有一个偶数夹在两个奇数之间的五位数的个数为（）

A．36B．48C．72D．120

【2014•漳州模拟】用1，2，3，4，5，6组成数字不重复的六位数，满足1不在左右两端，2，4，6三个偶数中，有且只有两个偶数相邻，则这样的六位数的个数为（）

A．432B．288C．216D．144

【2014•达州一模】由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字，且3与4相邻，1与2不相邻的五位数的个数为（ ）

A ． 1120

B ． 48

C ． 24

D ． 12

【2015届深圳市】从1，2，2，3，3，3这六个数字中任取五个，组成五位数，则不同的五位数共有

A ．50个

B ．60个

C ．100个

D ．120个

5（2015届湛江市）已知全集}8,7,6,5,4,3,2,1{=U ，在U 中任取四个元素组成的集合记为},,,{4321a a a a A =，余下的四个元素组成的集合记为},,,{4321b b b b A C U =，43214321b b b b a a a a +++<+++，则集合A 的取法共有____________种．

十一．“至多”“至少”问题用间接法或分类:

【例35】从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，其中至少要甲、乙各一台，则不同的取法有多少种？

【解析】不分条件有C 39种，全是甲C 34种，全是乙C 35种，共有C 39-C 34-C 35

=70种

真题：

【2015高考上海，理8】在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）．

【2014•邢台二模】身穿兰、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿红色衣服的有一人，现将这五人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法共有（ ）

A ． 48种

B ． 72种

C ． 78种

D ． 84种 解：由题意知先使五个人的全排列，共有A 55种结果．

去掉相同颜色衣服的人相邻的情况，穿蓝色相邻和穿黄色相邻两种情况∴穿相同颜色衣服的人不能相邻的排法是A55﹣A22A22A33﹣2A22A22A32=48