金融数学引论答案第一章__北京大学出版[1]

第一章习题答案

1.解: 把t = 0 代入得A(0) = 3 于是:a(t) =A(t)/A(0)=（t 2 + 2t + 3）/3 In = A(n) − A(n − 1)

= (n 2 + 2n + 3) − ((n − 1)2 + 2(n − 1) + 3)) = 2n + 1

2. 解:()n n-1t 11I A(n)A(t)I I I n(n 1)/2t(t 1)/2+=-=+++=+-+・・・

(2)1t 11I A(n)A(t) 22n n k k t I ++=+=-=

=-∑

3.解: 由题意得

a(0) = 1, a(3) =A(3)/A(0)= 1.72⇒ a = 0.08, b = 1 ∴ A(5) = 100

A(10) = A(0) ・ a(10) = A(5) ・ a(10)/

a(5)= 100 × 3 = 300.

4. 解：(1)i5 =(A(5) − A(4))/A(4)=5120≈ 4.17% i10 =(A(10) − A(9))/A(9)=5145≈ 3.45%

(2)i5 =(A(5) − A(4))/A(4) ()()()54

4

109109100(1 0.1)100(1 0.1) 10%100(1 0.1)100(1 0.1)100(1 0.1)i (A 10A 9)/A 9 10%100(1 0.1)+-+==++-+=-==+

5.解:A(7) = A(4)(1 + i5)(1 + i6)(1 + i7)

= 1000 × 1.05 × 1.06 × 1.07

= 1190.91

6.解: 设年单利率为i

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500(1 + 2.5i) = 615

解得i = 9.2%

设500 元需要累积t 年

500(1 + t × 7.8%) = 630 解得t = 3 年4 个月

7.解: 设经过t 年后，年利率达到2.5% t 1 4%t (1 2.5%)+⨯=+ t ≈ 36.367

8. 解:(1 + i)11 = (1 + i)5+2*3 = XY 3

9. 解: 设实利率为i

600[(1 + i)2 − 1] = 264

解得i = 20%

∴ A(3) = 2000(1 + i)3 = 3456 元

10.解: 设实利率为i

2111(1)(1)

n n i i +=++

解得(1 + i)-n

所以(1 + i)2n = 2-=11.解:由500×(1 + i)30 = 4000 ⇒ (1 + i)30 = 8 于是PV =204060

100001000010000 (1 i)(1 i)(1 i)+++++ = 1000 × 2

4

233(888)---++

= 3281.25

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12解:(1 + i)a = 2 (1)

(1 + i)b =3

2

(2)

(1 + i)c = 5 (3)

(1 + i)n =3

2

(4)

(4) ⇒n ・ln (1 + i) = ln 5 −ln 3 (3) ⇒ln 5 = c ×ln (1 + i)

(1) ×(2) ⇒ln 3 = (a + b) ・ln (1 + i) 故n = c −(a + b)

13.解: A ・i = 336

A ・d = 300

i −d = i ・d

⇒A = 2800

14.解: (1)

d5 =

()()

() a5a4

a5

-

=10%

1 510%

+⨯

= 6.67%

(2)a-1(t) = 1 −0.1t ⇒a(t) =

=1

10.1t

-

⇒d5 =

()()

() a5a4

a5

-

= 16.67%

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15.解:由

(3)

(4)

3(4)3(3)(4)4(1)(1)344[1(1)]3

i d i d --+=-⇒=⋅-+ 由

(6)

(12)

6(12)(12)(6)2(1)(1)6126[(1)1]12

i d d i --+=-⇒=⋅-- 16.解: (1) 终值为100 × (1 + i(4)/

4 )4*2 = 112.65元

(2) 终值为100 × [(1 − 4d ( 1/4 ))1/4 ]-2 = 114.71元

17.解: 利用1/d (m)− 1/i (m) = 1/m ⇒ m = 8

18. 解:a A (t) = 1 + 0.1t ⇒ δA (t) A A 1

1B A 1B a'(t)0.1a (t)10.1(a (t))'0.05a (t)10.05a (t)10.05B t

t t δ---=

=+=-⇒==-

由δA(t) = δB(t)得

t = 5

19.解: 依题意，累积函数为

a(t) = at2 + bt + 1 a(0.5) = 0.25a + 0.5b + 1 = 1.025 a(1) = a + b + 1 = 1.07

⇒a = 0.04

b = 0.03

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于是δ0.5 =a'(0.5) 0.068a(0.5)

= 20.解: 依题意，δA (t) =

22t 1t +, B 2(t) 1t δ=+ 由A B (t)(t)δδ>

⇒ 22t 21 t 1 t

>++ ⇒ t > 1

21．解：()4 d 8%=，设复利下月实贴现率为d ，单利下实利率为d 0。 __________全部采用复利：

38%(1d) 12

-=- 25PV 5000(1d) 4225.25=-=前两年用复利：

08%13d 12

-=- 240PV 5000(1d)(1d ) 4225.46=--=

22．解： ()446%i 6%i (1 ) 1 6.14%4

==+-=，则 设第3年初投入X,以第3年初为比较日，列价值方程

2282000(1 i) 2000(1 i) X 2000v 5000v ++++=+解得X = 504.67 元

23．解： 对两种付款方式，以第5年为比较日，列价值方程： 55200 500v 400.94v 0.40188+==解得

所以

105P 100(1 i) 120(1 i) 917.762=+++=

24．解：()()t t

10001 6% 210001 4%+=⨯+解得： t = 36 年 25．解： 列价值方程为n 2n 100v 100v 100+=解得n = 6.25

26．解：t 16t δ=，得基金B 的积累函数为

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2

B 0

s t a (t) exp(ds) exp()12t

δ=⎰=欲使A B a (t) a (t)=则 ()2

1212t 1t (1 i )exp()1212

+= 解得t = 1.4

27解： 1000(1 + i)15 = 3000

则()21i ((1 i)1) 2 7.46%2

=+-⨯= 28．解： 列价值方程为

2300(1 i) 200(1 i) 100 700++++=解得i = 11.96%

29．解： t kt δ=则积累函数为

20k a(t) exp ksds exp(t )2

t

=⎰= 由a(10) = 2 得50k e 2=

解得k = 0.0139

30．解：(1 + i)3 + (1 − i)3 = 2.0096

解得i = 0.04

31.解： 一个货币单位在第一个计息期内的利息收入j ，第二个计息期内的利息收入j + j2,故差为j2,即第一期利息产生的利息。

32.解： 设半年实利率为i '，则有：

'15(1 i') 13.65 28(1 i )++=+

解得:

i ' 0.05=故：2i (1 i') 1 0.1025=+-= 33.解： 价值方程：

正常: -1231000 100(1 j) 100(1 j) 1000(1 j)--=+++++

转让: 12960 100(1 k) 1000(1 k)--=+++

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解得：j = 6.98%, k = 7.4%

从而:j < k

34.解： 和δ等价的年利率i e 1δ=-,年利率变化： 2e e e e 1

δδδδ-=-和δ等价的年贴现率-1e d δ-=, 年贴现率变化： --2--e e e 1e

δδ

δδ-=- 35．证明：

22d 00d i 1lim lim 2

i δδδδ→→--==证： 22d 0000d 111lim lim lim lim 222e e e δδδδδδδδδδδ---→→→→--+-==== 22d 0000111lim lim lim lim 222i e e e δδδδδδδδδδδ→→→→---+-+====

36.解: 设货款为S,半年实利率为i ',则有：0.7S(1 i') 0.75S += 解得：1 i' 1.0714+=

故2i (1 i') 1 14.80%=+-=

37．解： 1)单利方式：X 1(1 + (1 − t)i) = 1

2)复利方式：X 2(1 + i)1-t = 1

3)单利方式：3(1ti)X 1i

+=+ 由Taylor 展开易证：1-t t 123(1 i) 1 (1t)i (1 i) 1 it X X X +>+-+<+<<故

38．解： 设基金A,B 的本金为A,B 10101010A(1 0.06)B(1 0.08) 1000A(1 0.06) 0.05B(1 0.08)+++=+=+

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解得：55A(1 0.06) 498.17

B(1 0.08) 907.44+=+=

从而5年底的累积值和=1405.61

39．解: 设第二年的实利率i2,由题意：i 1 = d2 =

22

i 1i + 从而：

212221 2i 1000(1 i )(1 i ) 1000()(1 i ) 12001 i +++=+=+ 解得：i2 = 0.1，进而i1 = 111

40.解： ()2-1i

1)P 1000100(1 ) 95238.095=⨯⨯+=

5(2)1012

P i =+ ()()5

dP di 222210 () (2i )⨯=-+ 3）()2(||)di

dP ()2i 10%| 4.5351104==⨯即波动范围：95238.095 ± 453.51 41．解： 1j j 1'(m) (1 )ln(1 ),j 0,m 0,'(m)0m m f f m m

=++>>> 2) 令y = ln(1 + j)/m,则原式化为：

y e 1ln(1 j) (j 0)y

-+> 由Taylor 展开可见上式关于y 增,由复合函数性质得证。

第二章习题答案

1．某家庭从子女出生时开始累积大学教育费用5万元。如果它们前十年每年底存 款1000元，后十年每年底存款1000+X 元，年利率7%。计算X 。 解：20|7%10|7%

50000100020|7%

10|7% 1000 651.72s s s S s X X -=+==

2．价值10,000元的新车。购买者计划分期付款方式：每月底还250元，期限4年。 月结算名利率18%。计算首次付款金额。

解： 设首次付款为X ，则有

48|1.5%1000250X a =+

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解得X = 1489.36

3．设有n 年期期末年金，其中年金金额为n ，实利率i = 1

。试计算该年金的现值。

解：

22

|1( 1)1( 1)

n n n n i n v n n n PV na n n n

+-+-===+ 4．解： ]]]2(1)n

n n n a a a d =+-则1

1()n Y X d X -=- 5．已知：]]]71118 5.58238, 7.88687, 10.82760a a a ===。计算i 。

解：

]]]718711a a a v =+解得i = 6.0%

6.证明：]]]

10101 110s a v s ∞+=- 证明：

]]]10101010

10(1)111(1)11i s a i i i s v i

∞+-++==+-- 7．已知：半年结算名利率6%，计算下面10年期末年金的现值：开始4年每半 年200元，然后减为每次100元。

解：

8p]3%20]3%100100 2189.716a a PV =+=8．某人现年40岁，现在开始每年初在退休金帐号上存入1000元，共计25年。然

后，从65岁开始每年初领取一定的退休金，共计15年。设前25年的年利率为8%， 后15年的年利率7%。计算每年的退休金。

解： 设每年退休金为X ，选择65岁年初为比较日

15]7%100025]8%a s X =￢

解得X = 8101.65

9．已知贴现率为10%，计算8]a 。

解： d = 10%，则

88]111 191 (1 ) 5.6953i d v a i i =-=--=+=

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10.求证：

()()]]]]1 12? 1 (1 )n n n n n n a a v s s i =+-=-++；

并给出两等式的实际解释。

证明： (1)]111¨ 11n n n

n n v v v a v i d i

i

---===+-+ 所以]]

¨ 1n n n a a v =+- (2)]1(1)1(1)1(1)1¨ (1 )1n n n n n i i

i i i s i d i ++-+-+-===++- 所以]]¨ 1 (1 )n n n a s i =-++

12.从1980年6月7日开始，每季度年金100元，直至1991年12月7日，季结算名利 率6%，计算：1）该年金在1979年9月7日的现值；2）该年金在1992年6月7日的终 值。

解：

PV = 100a 49】1.5% − 100a 2]1.5% = 3256.88

AV = 100s 49]1.5% − 100s 2]1.5% ￢ = 6959.37

13.现有价值相等的两种期末年金A 和B 。年金A 在第1－10年和第21－30年中每 年1元，在第11－20年中每年2元；年金B 在第1－10年和第21－30年中每年付款金

额为Y ，在第11－20年中没有。已知：1012

v = ，计算Y 。

解： 因两种年金价值相等，则有

101030]30]10]?10]? ? i i i v i v a a Y a Y a +=- 所以1030

1030

32 1.812v v Y v v --==+- 14.已知年金满足：2元的2n 期期末年金与3元的n 期期末年金的现值之和为36；另 外，递延n 年的2元n 期期末年金的现值为6。计算i 。

解： 由题意知，

2]]]2 3 36

2 6n i n i n n i a a a v +==

解得i = 8.33%

15.已知

7]

3]]11]]]X Y Z a a s a a s +=+。求X ，Y 和Z 。

解： 由题意得

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73

111(1 )1(1 )X Z Y

v i v v i v -+-=-+- 解得

X = 4, Y = 7,Z = 4

16.化简153015](1 )a v v ++。

解：

153015]45](1 ) a v v a ++=

17.计算下面年金在年初的现值：首次在下一年的4月1日，然后每半年一 次2000元，半年结算名利率9%。

解： 年金在4月1日的价值为P = (1+4.5%)/4.5%

× 2000 = 46444.44 ，则

232 41300.657(1 )P

PV i +==+

18.某递延永久年金的买价为P ，实利率i ，写出递延时间的表达式。 解： 设递延时间为t ，有

1t P v i =解得ln ln(1)

iP t i =-+ 19.从现在开始每年初存入1000元，一直进行20年。从第三十年底开始每年领取一

定的金额X ，直至永远。计算X 。

解： 设年实利率为i ，由两年金的现值相等，有

2920]1000i X a v i

= 解得3010 1000((1 )(1 ))X i i =+-+

20.某人将遗产以永久年金的方式留给后代A 、B 、C 、和D ：前n 年，A 、B 和C 三人 平分每年的年金，n 年后所有年金由D 一人继承。如果四人的遗产份额的现值相 同。计算(1 )n i +。

解： 设遗产为１，则永久年金每年的年金为i ，那么A,B,C 得到的遗产的现值 为]3

n i i a ，而D 得到遗产的现值为vn 。由题意得 13

n

n v v -=所以(1 ) 4n i += 21.永久期末年金有A 、B 、C 、和D 四人分摊，A 接受第一个n 年，B 接受第二

个n 年，C 接受第三个n 年，D 接受所有剩余的。已知：C 与A 的份额之比为0.49， 求B 与D 的份额之比。

解： 由题意知

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2]]

0.49n n C A n a v PV PV a == 那么]31 0.61n n B n D i a v PV PV v

== 22.1000元年利率4.5%的贷款从第五年底开始每年还贷100元，直至还清，如果最 后一次的还款大于100元。计算最后一次还款的数量和时间。

解：

4]4.5%41]4.5%1001000

1001000n n a v a v +<>解得n = 17

列价值方程

216]4.5%100 1 1000a Xv +=解得X = 146.07

23.36年的期末年金每次4元，另有18年的期末年金每次5元；两者现值相等。如果

以同样的年利率计算货币的价值在n 年内将增加一倍，计算n 。

解： 两年金现值相等，则36]4 518i a ⨯=⨯，可知18 0.25v =

由题意，(1 ) 2n i += 解得n = 9

24.某借款人可以选择以下两种还贷方式：每月底还100元，5年还清；k 个月后一 次还6000元。已知月结算名利率为12%，计算k 。

解： 由题意可得方程

100a 60p1% ￢ = 6000(1 + i )−k

解得k = 29

25.已知2] 1.75i a =，求i 。

解： 由题意得

21 1.75v i -=解得i = 9.38%

26.某人得到一万元人寿保险赔付。如果购买10年期末年金可以每年得到1538元，20年

的期末年金为每年1072元。计算年利率。

解：

27.某人在银行中存入一万元10年定期存款，年利率4%，如果前5年半内提前支 取，银行将扣留提款的5% 作为惩罚。已知：在第4、5、6和7年底分别取出K 元， 且第十年底的余额为一万元，计算K 。

解： 由题意可得价值方程

310

2]4%2]4%10

352]4%2]4%10000 105 100001000010000 979.94105Ka v Ka v v K a v a v =++-==+则

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28.贷款P 从第六个月开始分十年逐年还清。第一次的还款额为后面还款的一半， 前四年半的年利率为i ，后面的利率为j 。计算首次付款金额X 的表达式。 解： 选取第一次还款日为比较日，有价值方程

1214

24]5]44]5](1 ) 2 2(1 )(1 )1 22(1 )a i j i j P i X X Xa i P i X a a i --+=++++=+++所以

29.已知半年名利率为7%，计算下面年金在首次付款8年后的终值：每两年付 款2000元，共计8次。

解：

30.计算下面十年年金的现值：前5年每季度初支付400元，然后增为600元。已知 年利率为12%。（缺命令）

解：

5 4400 4600 11466.14PV v =⨯+⨯=

31.已知半年结算的名贴现率为9%，计算每半年付款600元的十年期初年金的现 值表达式。

解：

32.给出下面年金的现值：在第7、11、15、19、23和27年底支付一个货币单位。 解：

2428]4]324]2744]3]1]

1(1 )1(1 )[(1 )1]i i a a i PV a v s i i s s -+-===++-+ 33.750元的永久年金和每20年付款750元的永久年金可以用每次R 元的30年期末 年金代替，半年换算名利率4%，求R 的表达式。

解： 设年实利率为i ，则(1 + 2%)2 = 1 + i 。有题意得

30]20]p 750750a i i R i s i

+= 解得R = 1114.77

34.已知每三年付款一元的永久期末年金的现值为125/91，计算年利率。 解： 由题意知

3]112591

i is =解得i = 20% 35.已知：1元永久期初年金的现值为20，它等价于每两年付款R 元的永久期初年 金，计算R 。

解： 由题意得

2]120 i R d a i

==解得R = 1.95 36.已知每半年付款500元的递延期初年金价格为10000元。试用贴现率表示递延 时间。

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解： 设贴现率为d ，则()122

11 2(1)i d +=- 设递延时间为t ，由题意得

()2]10000 2500t v a ∞=⨯解得12

ln 20 ln(1(1))ln(1)d t d +--=- 37. 计算：()()()222]2]1]32 45n n a a s ==，

计算i 。 解：

()]]1]22

23 2 45n i n i i i

i i a a s i i i ⨯=⨯=⨯解得：11, 230n v i == 39.已知：11t t

δ=

+。求]a n ˉ的表达式。 解：0]0 ln(1 )t s ds n

a e dt n δ-⎰=⎰=+n ˉ

40.已知一年内的连续年金函数为常数1，计算时刻t ，使得只要在该时刻一次性支

付一个货币单位，则两种年金的现值相等。

解： 第一种年金的现值为101t e v dt δδ--⎰=

第二种年金的现值为t e δ-，则

1t e e δ

δδ---=所以1 1 ln t i δ

δ=+

41.已知：δ = 0.08。计算从现在开始每个季度初存入100元的20年期初年金的现

值。（结果和李凌飞的不同）

解： 设季度实利率为i 。因() t a t e δ=，则14 (1 )e

i δ=+所以 8080]1 100 100(1 ) 4030.53i v PV a i i

-==+= 42.现有金额为40,000元的基金以4%的速度连续累积。同时每年以2400元的固定 速连续地从基金中取钱，该基金可以维持多少时间？

解： 设年实利率为i ，则1i e δ=-设基金可维持t 年，由两现值相等得 ]40000 2400t i a =解得t = 28

43.已知某永久期末年金的金额为：1，3，5，. . . 。另外，第6次和第7次付款

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的现值

相等，计算该永久年金的现值。

解： 由题意：

211671113(1)(1)

i i i =⇒=++ 22 3 (21)? ? ?

[1 2()](1 2)1n PV v v n v v PV v v v v PV v

=+++-+=++++

=++- 解得:PV = 66

44.给出现值表达式||()n n Aa B Da +所代表的年金序列。用这种表达式给出如 下25年递减年金的现值：首次100元，然后每次减少3元。

解： 年金序列：A + nB,A + (n − 1)B, . . . ,A + 2B,A + B 所求为25|25|25 3()a Da +

45. 某期末年金（半年一次）为：800, 750, 700, . . . , 350。已知半年结算名利率

为16％。若记：A a = ，试用A 表示这个年金的现值。

解： 考虑把此年金分割成300元的固定年金和500元的递减，故有： ()10|8%10|8%22(10)300 500()300 6250325A a Da A A i

⨯-+=+=- 47. 已知永久年金的方式为：第5、6年底各100元；第7、8年底各200元，第9、10年底各300元，依此类推。证明其现值为:

4

100v i vd

- 解： 把年金分解成：从第5年开始的100元永久年金，从第7年开始的100元永久 年金. . .。从而

4

4

421001111 100 10012|v PV v v i i i v i vd a i ===-- 48. 十年期年金：每年的1月1日100元；4月1日200元；7月1日300元；10月1日400元。 证明其现值为：()()4410|1|1600()a I a 元

证： 首先把一年四次的付款折到年初：2 4, 1, 100 1600m n R m ==== 从而每年初当年的年金现值：()()441|1600()I a 元

金融数学引论答案第一章__北京大学出版[1]

再贴现到开始时：()()4410|1|1600()a I a 元

49. 从现在开始的永久年金：首次一元，然后每半年一次，每次增加3％，年利 率8％，计算现值。

解： 半年的实利率：()12 1 8% 1 3.923%j =+-= 2

211.031.03 1 1 (1 )

1.03 (1)1 11

2.59PV j

j j

-=+++++=-+= 50. 某人为其子女提供如下的大学费用：每年的前9个月每月初500元，共计4年。 证明当前的准备金为：

(12)4|9/12|

6000a a 证： 首先把9个月的支付贴现到年初：m = 12, n = 9/12,R = 500m = 6000 从而 每年初当年的年金现值：

()129/12|6000a 贴现到当前：(12)4|9/12|6000a a

51. 现有如下的永久年金：第一个k 年每年底还；第二个k 年每年底还2R ；第三

个k 年每年底还3R ；依此类推。给出现值表达式。

解： 把此年金看成从第nk 年开始的每年为R 的永久年金(n = 0, 1, 2, · · · ): 每个年金的值为

Ra ∞在分散在每个k 年的区段里：

||Ra ak ∞ 再按标准永久年金求现值：2

||

()R a a ∞v 52.X 表示首次付款从第二年底开始的标准永久年金的现值，20X 表示首次付款 从第三年底开始的永久年金：1, 2,

3,

· ·

· 的现值。计算贴现率。 解： 由题意：

2211

111120 ()(1)X i i X i i i =

+=++ 解得：i = 0.05

即： 0.047621i d i

==+ 53. 四年一次的永久年金：首次1元，每次增加5元，v 4 = 0.75，计算现值。与