指数函数的图像与性质(1)

基本初等函数( 第三章 基本初等函数(一)

3.1.2 指数函数五莲县院西中学 何允

指数函数的图像与性质(1)

一、情境引入

猜想：如果给你足够大的一张纸， 猜想：如果给你足够大的一张纸，让你对折51次 你能说出折叠后的厚度吗？ 51次，你能说出折叠后的厚度吗？ 用计算机可以算出来这道简单的数学题。 用计算机可以算出来这道简单的数学题。 51次方=2251799813685248, 次方=2251799813685248 2的51次方=2251799813685248,如果这张纸的 厚度按照0.07毫米计算，那么对折51 0.07毫米计算 51次后它的 厚度按照0.07毫米计算，那么对折51次后它的 结果就是1.576多亿公里，超过了地球到太阳 结果就是1.576多亿公里， 1.576多亿公里 1.496亿公里的距离 亿公里的距离！ 的1.496亿公里的距离！

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一、情境引入

次数 1次 次 2次 次 3次 次 4次 次 x次 次 …… ……

页数 2页 2×2=2 2 页 × 2 2 ×2=2 3 页 2 3×2=2 4页 2 (x-1) ×2=2x页 … …

一页纸折叠x次后，得到的纸的页数 一页纸折叠 次后，得到的纸的页数y 次后 y=2 x 与 x的函数关系式是 的函数关系式是

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一、情境引入

情景2 有一个同学喝水的时候 第一次喝掉杯中的一半, 有一个同学喝水的时候， 情景 .有一个同学喝水的时候，第一次喝掉杯中的一半 第二次喝掉剩余部分的一半,第三次喝掉第二次剩余部分 第二次喝掉剩余部分的一半 第三次喝掉第二次剩余部分 的一半,依次下去 问喝水的次数x与杯中剩余水的容量 依次下去， 与杯中剩余水的容量y 的一半 依次下去，问喝水的次数 与杯中剩余水的容量 之间的函数关系如何?(假设原来水容量为1个单位 个单位) 之间的函数关系如何 (假设原来水容量为 个单位)

1 y= 2 ……

x

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二、指数函数的定义

前面我们从两个实例抽象得到两个函数: 前面我们从两个实例抽象得到两个函数

1 y = 2 与y = 2 x

x

指数函数的定义： 函数y 叫做指数函数， 函数 = ax(a>0,且a ≠1)叫做指数函数， > , 叫做指数函数 其中x是自变量 函数的定义域是 函数的定义域是R 其中 是自变量 .函数的定义域是 . 思考:为何规定底数a>0,且a≠1? 为何规定底数 > , ≠Ο Ο

这两个函数有 这两个函数有 何特点? 何特点

0

1

a

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二、指数函数的定义

探究 1:为何规定a>0,且a≠1? 1:为何规定Ο Ο

0

1

a

当a≤0时，a ≤ 时 意义； 意义；

x有些会没有意义，如(-2) 有些会没有意义，

1 2

, 0

2

等都没有

而当a=1时，函数值y恒等于 ，没有研究的必要 时 函数值 恒等于 恒等于1,没有研究的必要. 而当

▲关于指数函数的定义域： 关于指数函数的定义域：回顾幂函数的内容， 中的x可 回顾幂函数的内容，我们发现指数式 a 中

的 可 以是有理数，也可以推广到无理数,所以 所以指数函数的 以是有理数，也可以推广到无理数 所以指数函数的 定义域是R。 定义域是 。并且可以证明以前所学的指数运算法则 仍成立。 仍成立。x

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二、指数函数的定义

是指数函数吗？ 探究2: 探究 ：函数 y = 2 3 是指数函数吗？x

不是。因为指数函数的解析式y= a 中，

x

a 的系数是1.指数函数的解析式 特点： 特点：

x

y=a

x

,

a

x

的系数是1 的系数是 ;

指数必须是单个x 必须是单个 指数必须是单个 ; 底数是常量a> , 底数是常量 >0,且a≠1. ≠

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练一练1.下列哪些是指数函数？

(1)y=2x +1 (2)y=3·4x (x∈R) (4)y=10-x (6)y= 2x+1 (3)y=3x (x∈R) (5)y=(-2)x (x∈R)

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例1 已知指数函数 f(x) = a x (a > 0, 且a ≠ 1)的图象经过点 (3, π ),求f(0), f(1), f(-3)。

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三、图像与性质

用图像法探究指数函数的图像和性质： 用图像法探究指数函数的图像和性质： 在坐标系中分别作出函数的图象. 在坐标系中分别作出函数的图象

1 y = 2 与y = 2 x

x

作图的基本步骤： 作图的基本步骤： 列表、描点、连线。 列表、描点、连线。

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三、图像与性质

在同一坐标系中分别作出如下函数的图像： 在同一坐标系中分别作出如下函数的图像： x x 1 x 与 y = (2) y=2 y=2x … -3 -2 -1 0.5 2 -0.5 0.71 1.4 0 1 1 0.5 1.4 1 2 2 4 3 8 … …

2x x 2

… 0.13 0.25 … 8 4

0.71 0.5 0.25 0.13 …

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三、图像与性质

观察李琪琪同学做的图象，回答下列问题： 观察李琪琪同学做的图象，回答下列问题： 问题一： 问题一： 图象分别在哪几个象限？ 图象分别在哪几个象限？ 答：两个图象都在第____象限 两个图象都在第____象限 ____ Ⅰ、Ⅱ 问题二： 问题二： 图象的上升、下降与底数a有联系吗 有联系吗？ 图象的上升、下降与底数 有联系吗？ 0< a<1 当底数__时图象上升；当底数____时图象下降. __时图象上升 当底数____时图象下降. ____时图象下降 答：当底数__1 a > 时图象上升；问题三： 问题三： 图象中有哪些特殊的点？ 图象中有哪些特殊的点？

(0,1) 答：两个图象都经过点____. 两个图象都经过点____.

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三、图像与性质 y

y

y

y = 2x

1 y= 3

x

y = 3x

1 y= 2

x

1 1 0

1

x

0

1

0 x

x

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三、图像与性质 y

Ο

Ο

y

y

0 1 y= 2 x

1 1 y= 3 x

ay = 3x

y = 2x

y = ax(a > 1)

y = ax

(0 < a < 1)

1 1 0

1 1 0 x

x

0

x

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三、图像与性质

指数函数

的图像及性质

图 象y=1

a>1y y=ax(a>1) (0,1)

0<a<1y=ax (0<a<1) y(0,1)

y=1 x

0

x

0

定义域: R 值 域: ( 0,+ ∞ ) 恒 过 点： 函数 y = 2 x 1 的

定义域是[1,+∞)在 R 上是单调值域是 [1,+∞)上是单调 在R

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三、图像与性质

指数函数

的图像及性质

图 象y=1

a>1y y=ax(a>1) (0,1)

0<a<1y=ax (0<a<1) y(0,1)

y=1 x

0 当 x > 0 时，y > 1.当 x < 0 时，. 0< y < 1

x

0 当 x < 0 时，y > 1;当 x > 0 时， 0< y < 1。

定义域: R 值 域: ( 0,+ ∞ ) 恒 过 点： 函数 y = 2 x 1 的定义域是[1,+∞)值域是 (0,1] 在

在 R 上是单调

R 上是单调