高一数学人教B版必修4课件：2-4 向量的应用

2.4 向量的应用

直线上 的 向 量 以 及 与 它 直线的方向向量：

的向量都称为直线的方向向 量.已知直线的方向向量，可以用向量平 行的条件求出过一点与方向向量平行的直 线方程. 垂直 直线的法向量：如果向量n与直线l , 则称向量 n为直线l的法向量.已知法向量， 可以由向量垂直的条件写出直线方程. (- 对于直线 Ax+By+C=0,它的方向向量为 B,A) (A,B) v= ,它的法向量为n= .平行

(1)若a=(a1,a2)平行于直线l,则l的斜率k

=, (1,k) 反之若直线l的斜率为k,则方向向量为 a2(x-x . 0)-a1(y-y0)=0 (2)过点P(x0,y0)与a=(a1,a2)平行的直线 a方程， . 1(x-x0)+a2(y-y0)=0 (3)过点P(x0,y0)与a=(a1,a2)垂直的直线 方程为 .

重点：用向量方法解决实际问题的基本方法；向量法解决几何问题的“三步曲”. 向量方法解决平面几何问题的“三步曲” ①建立平面几何与向量的联系，用向量表 示问题中涉及的几何元素，将平面几何问 题转化为向量问题. ②通过向量运算研究几何元素之间的关系 和距离、夹角等问题； ③把运算结果“翻译”成几何关系.

难点：实际问题转化为向量问题. → =CD →或 1.要证明两线段 AB=CD,可转化为证明AB → 2=CD → 2;要证明 AB∥CD,只要证明存在实数 λ,使AB → AB → ;要证明 AB⊥CD,只要证明AB →· → =0; =λCD CD →= 要证明 A、B、C 共线，只要证明存在实数 λ 使AB → ;或若OA → =a,OB → =b,OC → =c,只要证明存在实数 t, λAC 使 c=ta+(1-t)b.

2 .利用向量解决几何问题常用的两种方法 (1)基底法：选两个不共线向量作基底，然 后用基底表示有关向量，进行向量运算； (2)坐标法：建立适当的坐标系，写出相关 点的坐标，用向量的坐标进行运算.

[ 例 1] 如图，△ ABC 三边的长满足 AC2 +AB2 = 5BC2 ,且 BE 、 CF 分别为 AC 、 AB 边 上的中线， 求证：BE⊥CF.

[分析]

→· → =0. 要证 BE⊥CF,只需证BE CF

[解析]

→ +AC → =BC →, ∵BA

→ +AC → )2=BC → 2,即BA → 2+2BA →· → +AC → 2=BC → 2, ∴(BA AC → 2+AB → 2=5BC → 2, 由已知条件：AC →· → =2BC → 2, 得：AB AC 1 → → 1 → → → → BE· CF= (BA+BC)·(CA+CB) 2 2

1 → → → → → → → → = (BA· CA+BA· CB+BC· CA+BC· CB) 4 1 →2 → → → →· →] = [2BC +CB· (BA+AC)+BC CB 4 1 →2 → → → → = [2BC +CB· BC+BC· CB] 4 1 →2 → 2)=0.∴BE → ⊥CF → ,即 BE⊥CF. =4(2BC -2BC

[分析] △ABC 为直角三角形，∴考虑建立坐标系， 如图，等腰直角三角形 ABC中，AC=BC, → → D 是BC的中点

, E是 AB 上的点，且AE=2BE, 用向量的坐标法证明 CE · AD =0. 求证：AD⊥CE.

[解析]

如图，以 C 为坐标原点，以 CA、CB 所在直

线为 x 轴、y 轴建立坐标系，设 A(a,0), ∵AC=BC.∴B(0,a), ∵D 为 BC 的中点， a ∴D 0,2 .

→ =(0,a)-(a,0)=(-a,a). ∴AB 2→ → → → → CE=CA+AE=CA+3AB

a 2 2 =(a,0)+3(-a,a)= 3,3a . a a → AD= 0,2 -(a,0)= -a,2 a a 2 → → , a ∴AD· CE= -a,2 · 3 3

a a 2 a2 a2 =-a×3+2×3a=- 3 + 3 =0.∴AD⊥CE.

[点评] 在解决平面几何时多用选择基底的方法，也可以建立坐标系利用坐标运算.