人教版2016第一轮复习理科数学课件 热点专题突破系列(五)圆锥曲线的综合问题

热点专题突破系列(五) 圆锥曲线的综合问题

考点一

圆锥曲线中的定点问题

【考情分析】以直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线为背景,通过巧妙 设计和整合命题,常与一元二次方程、向量、斜率、距离等知识交汇 考查.2 2 y x 【典例1】(2015·西安模拟)已知椭圆C: 2 2 =1(a>b>0)经过点 a b 3 ( ,1), 一个焦点是F(0,-1). 2

(1)求椭圆C的方程. (2)设椭圆C与y轴的两个交点为A1,A2,点P在直线y=a2上,直线PA1,PA2 分别与椭圆C交于M,N两点.试问:当点P在直线y=a2上运动时,直线MN是 否恒过定点Q?证明你的结论.

【解题提示】(1)由点 ( 3 ,1) 在椭圆C上及F(0,-1)可求椭圆C的方程.2

(2)先利用P的特殊位置,即P在y轴上时,确定若直线MN恒过定点,则 该定点一定在y轴上,然后利用三点共线的条件解决.

【规范解答】(1)由题意知c=1,y2 x2 可设椭圆方程为 2 1, 2 1 b b 3 因为 ( ,1) 在椭圆上, 2 1 9 所以 1, 解得b2=3, 2 2 1 b 4b 2 2 y x 所以椭圆的方程为 1. 4 3

(2)假设存在定点Q.当点P在y轴上时,M,N分别与A1,A2重合,若直线MN经过定点Q,

则Q必在y轴上,设Q(0,m),当点P不在y轴上时,

设P(t,4),M(x1,y1),N(x2,y2),因为A1(0,2),A2(0,-2), 所以直线PA1的方程为 y 2 x 2, 直线PA2的方程为 y x 2,t

6 t

2 2 2 y x 将 y x 2 代入 1, t 4 3

得(3+t2)x2+6tx=0,6t 2 2t 2 6 解得 x1 , y1 x1 2 , 2 2 3 t t 3 t2 所以 QM ( 6t , (2 m)t 6 3m ), 2 2

3 t 2 6 y x 将 y x 2 代入 1 , t 4 32

3 t

得(27+t2)x2-18tx=0,18t 6 54 2t 2 解得 x 2 , y2 x 2 2 , 2 2 27 t t 27 t

2 18t 54 27m (2 m)t 所以 QN ( , ), 2 2 27 t 27 t

因为 QM ∥ QN,6t 54 27m (2 m)t 2 18t (2 m)t 2 6 3m 所以 0, 2 2 2 2 3 t 27 t 27 t 3 t

所以(1-m)(9+t2)=0,所以m=1, 所以当点P在直线y=a2上运动时,直线MN恒经过定点Q(0,1).

【规律方法】圆锥曲线中定点问题的两种解法 (1)引进参数法:引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量,再 研究变化的量与参数何时没有关系,找到定点. (2)特殊到一般法:根据动点或动线的特殊情况探索出定点,再证明该 定点与变量无关.

2 x 【变式训练】(2015·南京模拟)如图,已知椭圆C: 2 +y2=1(a>1)的 a

上顶点为A,右焦点为F,直线AF与圆M:x2+y2-6x-2y+7=0相切.

(1)求椭圆C的方程.

(2)若不过点A的动直线l与椭圆C相交于P,Q两点,且 AP AQ 0,求证:直线l过定点,并求出该定点N的坐标.

【解析】(1)将圆M的一般方程x2+y2-6x-2y+7=0化为标准方程 (x-3)2+(y-1)2=3, 圆M的圆心为M(3,1),半径 r 3. 由A(0,1),F(c,0) (c a 2 1)

得直线AF: x y 1, 即x+cy-c=0,c

由直线AF与圆M相切,得c 2或c 2 (舍去).

3 c

c c 12

3,

当c= 2 时,a2=c2+1=3,x2 y 2 1. 故椭圆C的方程为C: 3

(2)由 AP AQ 0, 知AP⊥AQ,

从而直线AP与坐标轴不垂直,由A(0,1)可设直线AP的方程为y=kx+1,

直线AQ的方程为 y 1 x 1 k 0 .x2 将y=kx+1代入椭圆C的方程 y 2 1 并整理得: 3k

(1+3k2)x2+6kx=0,解得x=0或 x 6k 2 ,1 3k

6k 6k 2 因此P的坐标为 ( , 1), 2 2 1 3k 1 3k2 6k 1 3k 即 ( , ). 2 2 1 3k 1 3k 2 1 6k k 将上式中的k换成 , 得 Q( 2 , 2 3 ). k k 3 k 3 k 2 3 1 3k 2 2 直线l的方程为 y k 2 3 1 3k 2 (x 6k ) k 3 , 2 2 6k 6k k 3 k 3 k 2 3 1 3k 2 2 k 化简得直线l的方程为 y 1 x 1 , 4k 2

因此直线l过定点 N(0, 1 ).2

2 2 x y 【加固训练】(2015·保定模拟)设椭圆E: 2 2 =1(a>b>0)的离心 a b 率为 e 2 , 且过点 ( 1, 6 ). 2 2

(1)求椭圆E的方程. (2)设椭圆E的左顶点是A,若直线l:x-my-t=0与椭圆E相交于不同的两 点M,N(M,N与A均不重合),若以MN为直径的圆过点A,试判定直线l是否 过定点,若过定点,求出该定点的坐标.