导数及其应用测试题一

一、选择题

1．若函数y f(x)在区间(a,b)内可导，且x0 (a,b)则

lim

f(x0 h) f(x0 h)

h

h 0

的值为（ ）

A．f'(x0) B．2f'(x0) C． 2f'(x0) D．0 2．一个物体的运动方程为s 1 t t2其中s的单位是米，t的单位是秒， 那么物体在3秒末的瞬时速度是（ ） A．7米/秒 B．6米/秒

C．5米/秒 D．8米/秒 3．函数y=x3+x的递增区间是（ ）

A．(0, ) B．( ,1) C．( , ) D．(1, )

4．f(x) ax3 3x2 2,若f'( 1) 4,则a的值等于（ ）

193133

163103

A． B．

C． D．

5．函数y f(x)在一点的导数值为0是函数y f(x)在这点取极值的（ ）

A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．必要非充分条件

6．函数y x 4x 3在区间 2,3 上的最小值为（ ）

4

A．72 B．36 C．12 D．0

7．函数y=x-3x-9x(-2<x<2)有（ ）

A．极大值5，极小值 27 B．极大值5，极小值 11 C．极大值5，无极小值 D．极小值 27，无极大值 8．若f'(x0) 3，则lim

f(x0 h) f(x0 3h)

h

（ ）

32

h 0

A． 3 B． 6 C． 9 D． 12

9．曲线f(x)=x3+x-2在p0处的切线平行于直线y=4x-1，则p0点的坐标为（ ）

A．(1,0) B．(2,8)

C．(1,0)和( 1, 4) D．(2,8)和( 1, 4)

10．f(x)与g(x)是定义在R上的两个可导函数，若f(x),g(x)满足

f(x) g(x),则

'

'

f(x)与g(x)满足（ ）

A．f(x) g(x) B．f(x) g(x)为常数函数

C．f(x) g(x) 0 D．f(x) g(x)为常数函数 11．函数y 4x

2

1x

单调递增区间是（ ）

1

A．(0, ) B．( ,1) C．(, ) D．(1, )

2

12．函数y

A．e

1

lnxx

的最大值为（ ）

2

B．e C．e D．

103

二、填空题

13．曲线y x3 4x在点(1, 3) 处的切线倾斜角为__________；

sinxx

14．函数y 的导数为_________________；

15．曲线y lnx在点M(e,1)处的切线的斜率是_________，切线的方程为___________；

16．函数f(x) x3 ax2 bx a2,在x 1时有极值10，那么a,b的值分别为________。

17．函数y x 2cosx在区间[0,

2

]上的最大值是 。

18、如果函数y=f(x)

(1) 函数y=f(x)在区间（3，5）内单调递增； (2) 函数y=f(x)在区间（－

12

12

，3）内单调递减；

(3) 函数y=f(x)在区间（-2，2）内单调递增； (4) 当x= －

时，函数y=f(x)有极大值;

(5) 当x=2时，函数y=f(x)有极大值;

则上述判断中正确的是 .

三、解答题

23

19.已知曲线y x 1与y 1 x在x x0处的切线互相垂直，求x0

的值。

20．一矩形铁皮的长为8cm，宽为5cm，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，问小正方形的边长为多少时，盒子容积最大？

21、求函数f(x) x3 3x 1在[ 3,0]上的最大值，最小值。

22、已知函数f(x) ax3 bx2 3x在x 1处取得极值。⑴讨论f(1)和

f( 1)是函数f(x)的极大值还是极小值；⑵过点A(0,16)作曲线y f(x)的切线，求此切线方程。

导数及其应用测试题一答案

一、选择题 1．B lim

f(x0 h) f(x0 h)

h

h 0h 0

lim2[

h 0

f(x0 h) f(x0 h)

2h

'

]

2lim

f(x0 h) f(x0 h)

2h

2f(x0)

2．C s'(t) 2t 1,s'(3) 2 3 1 5 3．C y'=3x2+1>0对于任何实数都恒成立 4．D f(x) 3ax 6x,f( 1) 3a 6 4,a

'

2

'

103

5．D 对于f(x) x3,f'(x) 3x2,f'(0) 0,不能推出f(x)在x 0取极值，反之成立 6

'

3

'

3

．

'

'

D

y 4x 4,令y 0,4x 4 0,x 1,当x 1时,y 0;当x 1时,y 0

得y极小值 y|x 1 0,而端点的函数值y|x 2 27,y|x 3 72，得

ym

in

0

'2'

7．C y 3x 6x 9 0,x 1,得x 3，当x 1时，y 0；当

x 1时，y' 0

当x 1时，y极大值 5；x取不到3，无极小值 8

lim

f(x0 h) f(x0 3h)

h

h 0

．

4lim

f(x0 h) f(x0 3h)

4h

'

h 0

D

4f(x0) 12

9

．

C

设

切

点

为

P0(a,b)

，

f(x) 3x 1,k f(a) 3a 1 4,a 1，

'2'2

把a 1，代入到f(x)=x3+x-2得b 4；把a 1，代入到

3

f(x)=x+x-2得b 0，所以P0(1,0)和( 1, 4)

10．B f(x),g(x)的常数项可以任意

1x

2

11．C 令y 8x

'

8x 1x

2

3

0,(2x 1)(4x 2x 1) 0,x

2

12

12．A 令y

'

'

(lnx)x lnx x

x

2

''

1 lnxx

2

0,x e，当x e时，

1e

y 0；当x e时，y 0，y极大值 f(e)

'

，在定义域

内只有一个极值，所以ymax

二、填空题 13．

34

1e

y 3x 4,k yx |1 1,t an 1

4

'2'

3

14．

xcosx sinx

x1e

2

y

'

'

(sinx)x sinx (x)

x

'

''

2

1e

xcosx sinx

x

2

x

15．,x ey 0 y 16

f(x) 3x 2ax

'

2

1x

,k y|x e

1e

,y 1 (x e),y

1e

．

b,f(1 )

'

4, 11

b

3

0,f

( 1)a

2

2a a b 110

2a b 3 a 3

, ,或 2

a a b 9 b 3 a 4

，当a 3时，x 1不

b 11

是极值点

'

n 17． 3 y 1 2six

6

0x,，比较066

处的函数值，得

2

ymax

6

18.③⑤； 三、解答题

19．解：y 2x,k1 y|x x0 2x0;y 3x,k2 y|x x0 3x0

'''2'2

k1k2 1,6x30

1,x 0

6

。

20．解：设小正方形的边长为x厘米，则盒子底面长为8 2x，宽为5 2x V (8 2x)(5 2x)x 4x3 26x2 40x V 12x 52x 40,令V 0,得x 1,或x 去）

8 V极大值 V(1) 1，在定义域内仅有一个极大值，

'

2

'

103

，x

103

（舍

V最大值 18

21、解：f'(x)＝3x－3，当f'(x)＝0时，x＝±1， 1不属于［－3,0］，而

f（－3）＝－27＋9＋1＝－17， f（－1）＝－1＋3＋1＝3 f（0）＝0－0＋1＝1，

所以函数f(x) x 3x 1在[ 3,0]上的最大值为3，最小值为－17。

2

22．解：⑴f (x) 3ax 2bx 3，依题意，f (1) f ( 1) 0，即

3

2

3a 2b 3 0, 3a 2b 3 0.

解得a 1,b 0。

∴

32

f(x) x 3x,f (x) 3x 3 3(x 1)(x 1)

。 令

f (x) 0，得x 1,x 1。

若x ( , 1) (1, )，则f (x) 0，故

f(x)在( , 1)上是增函数，f(x)在(1, )上是增函数。

若x ( 1,1)，则f (x) 0，故f(x)在( 1,1)上是减函数。 所以，f( 1) 2是极大值；f(1) 2是极小值。 ⑵曲线方程为y x3 3x，点A(0,16)不在曲线上。

3

设切点为M(x0,y0)，则点M的坐标满足y0 x0 3x0。

22因f (x0) 3(x0 1)，故切线的方程为y y0 3(x0 1)(x x0)

32

3x0) 3(x0 1)(0 x0) 注意到点A（0，16）在切线上，有16 (x0

3

化简得x0 8，解得x0 2。

所以，切点为M( 2, 2)，切线方程为9x y 16 0。