【类型综述】

解直角三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根．

一般情况下，按照直角顶点或者斜边分类，然后按照三角比或勾股定理列方程．

有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便．

解直角三角形的问题，常常和相似三角形、三角比的问题联系在一起．

如果直角边与坐标轴不平行，那么过三个顶点作与坐标轴平行的直线，可以构造两个新的相似直角三角形，这样列比例方程比较简便．

【方法揭秘】

我们先看三个问题：

1．已知线段AB，以线段AB为直角边的直角三角形ABC有多少个？顶点C的轨迹是什么？

2．已知线段AB，以线段AB为斜边的直角三角形ABC有多少个？顶点C的轨迹是什么？

3．已知点A(4,0)，如果△OAB是等腰直角三角形，求符合条件的点B的坐标．

图1 图2 图3

如图1，点C在垂线上，垂足除外．如图2，点C在以AB为直径的圆上，A、B两点除外．如图3，以OA为边画两个正方形，除了O、A两点以外的顶点和正方形对角线的交点，都是符合题意的点B，共6个．

如图4，已知A(3, 0)，B(1,－4)，如果直角三角形ABC的顶点C在y轴上，求点C的坐标．

我们可以用几何的方法，作AB为直径的圆，快速找到两个符合条件的点C．

如果作BD⊥y轴于D，那么△AOC∽△CDB．

设OC ＝m ，那么．341

m m -=这个方程有两个解，分别对应图中圆与y 轴的两个交点．

【典例分析】

例1 如图1，已知抛物线E 1：y ＝x 2经过点A (1,m )，以原点为顶点的抛物线E 2经过点B (2,2)，点A 、B 关于y 轴的对称点分别为点A ′、B ′．

（1）求m 的值及抛物线E 2所表示的二次函数的表达式；

（2）如图1，在第一象限内，抛物线E 1上是否存在点Q ，使得以点Q 、B 、B ′为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）如图2，P 为第一象限内的抛物线E 1上与点A 不重合的一点，连结OP 并延长与抛物线E 2相交于点P ′，求△PAA ′与△P ′BB ′的面积之比．

图1 图2

例2如图1，二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交于A (－1, 0)、B (3, 0)两点，与y 轴交于点C ，连结

BC ．动点P 以每秒1个单位长度的速度从点A 向点B 运动，动点Q 个单位长度的速度从点B 向点C 运动，P 、Q 两点同时出发，连结PQ ，当点Q 到达点C 时，P 、Q 两点同时停止运动．设运动的时

间为t 秒．

（1）求二次函数的解析式；

（2）如图1，当△BPQ 为直角三角形时，求t 的值；

（3）如图2，当t ＜2时，延长QP 交y 轴于点M ，在抛物线上是否存在一点N ，使得PQ 的中点恰为MN 的中点，若存在，求出点N 的坐标与t 的值；若不存在，请说明理由．

图1 图2

例3 如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝13，CD //AB ，点E 为射线CD 上一动点（不与点C 重合），联结AE 交边BC 于F ，∠BAE 的平分线交BC 于点G ．

（1）当CE ＝3时，求S △CEF ∶S △CAF 的值；

（2）设CE ＝x ，AE ＝y ，当CG ＝2GB 时，求y 与x 之间的函数关系式；

（3）当AC ＝5时，联结EG ，若△AEG 为直角三角形，求BG 的长．

图1

例4如图1，二次函数y ＝a (x 2－2mx －3m 2)（其中a 、m 是常数，且a ＞0，m ＞0）的图像与x 轴分别交于A 、B （点A 位于点B 的左侧），与y 轴交于点C (0,－3)，点D 在二次函数的图像上，CD //AB ，联结AD ．过点A 作射线AE 交二次函数的图像于点E ，AB 平分∠DAE ．

（1）用含m 的式子表示a ；

（2）求证：为定值；AD AE

（3）设该二次函数的图像的顶点为F ．探索：在x 轴的负半轴上是否存在点G ，联结GF ，以线段GF 、AD 、AE 的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点G 即可，并用含m 的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由．

图1

例5如图1，抛物线与x 轴交于A 、B 两点（点B 在点A 的右侧），与y 轴交于点213442

y x x =--C ，连结BC ，以BC 为一边，点O 为对称中心作菱形BDEC ，点P 是x 轴上的一个动点，设点P 的坐标为(m , 0)，过点P 作x 轴的垂线l 交抛物线于点Q ．

（1）求点A 、B 、C 的坐标；

（2）当点P 在线段OB 上运动时，直线l 分别交BD 、BC 于点M 、N ．试探究m 为何值时，四边形CQMD 是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM 的形状，并说明理由；

（3）当点P 在线段EB 上运动时，是否存在点Q ，使△BDQ 为直角三角形，若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．

图1

例6如图1，抛物线与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点233384

y x x =--+C ．

（1）求点A 、B 的坐标；

（2）设D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD 的面积等于△ACB 的面积时，求点D 的坐标；

（3）若直线l 过点E (4, 0)，M 为直线l 上的动点，当以A 、B 、M 为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l 的解析式．

图1 【变式训练】

1. （2017黑龙江齐齐哈尔第19题）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角边在12OA A 1OA 轴的正半轴上，且，以为直角边作第二个等腰直角三角形，以为直角边y 1121OA A A ==2OA 23OA A 3OA 作第三个等腰直角三角形，则点的坐标为 ．

20172018OA A 2017A

2. （2017黑龙江绥化第21题）如图，顺次连接腰长为2 的等腰直角三角形各边中点得到第1个小三角形，再顺次连接所得的小三角形各边中点得到第2个小三角形，如此操作下去，则第个小三角形的面积n 为 ．

3. （2017内蒙古通辽第26题）在平面直角坐标系中，抛物线过点，，与xOy 22

++=bx ax y )0,2(-A 轴交于点.

y C （1）求抛物线的函数表达式；

22++=bx ax y （2）若点在抛物线的对称轴上，求的周长的最小值；D 22++=bx ax y ACD ∆

（3）在抛物线的对称轴上是否存在点，使是直角三角形？若存在，直接写出22

++=bx ax y P ACP ∆点的坐标，若不存在，请说明理由.P

4. (2017山东潍坊第25题)（本题满分13分）如图1，抛物线经过平行四边形的

c bx ax y ++=2ABCD 顶点、、，抛物线与轴的另一交点为.经过点的直线将平行四边形)30(，

A )01(，-

B )32(，D x E E l ABCD 分割为面积相等的两部分，与抛物线交于另一点.点为直线上方抛物线上一动点，设点的横坐标P P l P 为.

t （1）求抛物线的解析式；

（2）当何值时，的面积最大?并求最大值的立方根；

t PFE ∆（3）是否存在点使为直角三角形?若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

P PAE ∆t

5. (2017浙江温州第24题)（本题14分）如图，已知线段AB=2，MN ⊥AB 于点M ，且AM =BM ，P 是射