专题三

排列、组合、二项式 定理、概率与统计

1.计数原理 分类计数原理：完成一件事，有n类办法，在第1类办 法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同 的方法， ,在第n类办法中有mn 种不同的方法，那么 完成这件事共有N m1 m2 mn 种不同的方法. 分步计数原理：完成一件事，需要n个步骤，做 第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法， ,做第n步有mn 种不同的方法，那么完成这件事共有 N m1 m2 mn 种不同的方法.

2.排列

1 排列的定义：一般地，从n个不同元素中取出m(m n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个 不同元素中取出m个元素的一个排列.

2 排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出 m个元素的排列数，用符号A m 表示. nm 3 排列数公式：A m n n 1 n m 1 ,A n n

n! ,规定： 1;A 0 无意义. 0 ! n n m !

3.组合

1 组合的定义：一般地，从n个不同元素中，任意取出m(m n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中任 取m个元素的一个组合.

2 组合数的定义：从n个不同元素取出m(m n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个 元素的组合数，用符号C m 表示. n

3 组合数公式：

m An n n 1 n 2 n m 1 n ! m Cn m . Am m ! m n m ! !

4 组合数性质：①Cm Cn m (m n);②Cm 1 Cm Cm 1 n n n n n(m n);③规定：C0 0. n

4.二项式定理k 1 二项展开式：a b C0 a n C1 a n 1b C n a n k b k n n n

2 二项式系数的性质

C n b n,通项为Tk 1 C k a n k b k (n N* ). n n

①对称性：在二项展开式中，与首末两端“等距离” 的两项的二项式系数相等，即C r C n r ( n N* ). n n

n 1 ②增减性与最大值：当k< (n N* )时，二项式系 2 数逐渐增大，后半部分逐渐减小，二项式系数最大的 项在中间.如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的 二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间 两项的二项式系数最大且相等. ③各二项式系数的和：C0 C1 C n 2n,且奇数 n n n 项的二项式系数的和与偶数项的二项式系数的和相等， 均为2n 1,即C0 C2 C1 C3 C5 2n 1 (n N* ). n n n n n

考点1 排列与组合的应用例1.将A、B、C、D、E排成一列，要求A、B、C 在排列中顺序为“A、B、C”或“C、B、A”可以 ( 不相邻),这样的排列数有( )

A. 种 12 C. 种 40 B. 种 20 D. 种 60

分析：分两步完成，即首先排A,B,C三个字母，

然后排余下的两个字母D,E

解析：五个字母排成一列，①先从中选三个位置 给A、B、C且A、B、C有两种排法，即C3 2,② 5 然后让D、E排在剩余两个位置上，有A 2种排法； 2 由分步乘法计数原理所求排列数为C3 2 A 2 40, 5 2 故选C.

【思维启迪】本题解答实际上是利用“特 殊元素(位置)特殊处理”的原理处理的， 其“A,B,C”就是特殊元素.

变试题：某班学生参加植树节活动，苗圃中有 甲、乙、丙3种不同的树苗，从中取出5棵分别 种植在排成一排的5个树坑内，同种树苗不能 相邻，且第1个树坑和第5个树坑只能种甲种树 苗的种法共有( ) A. 种 15 B. 种 12 C. 9种 D.种 6

解析：根据第2个树坑和第4个树坑为特殊元素， 可将问题分两类： 第2个树坑和第4个树坑种 1 相同的树苗，有2C 种； 第2个树坑和第4个 21 2

树坑种不同的树苗，有A 种，则共有2 2

A 2 2C1 6种，故选D. 2 2

考点2 二项式定理的应用

1 8 例2. 1 2x ( x ) 的展开式中常数项为 _____ . x (用数字表示)2

分析： 以第一个括号的两项为准，分别考虑第二

个括号中如何取项才是常数项，而第二个括号产生的项可用二项展开式的通项公式来处理.

解析：第二个括号的通项为Tr 1 C x

r 8 r 8

1 r ( ) x

1

r

r C8 x8 2r,则当第一个括号中取1时，则第二

个括号必取常数项，由通项易知当r 4时，取4 得常数1 1 C8 70; 4

1 当第一个括号中取2x 时，则第二个括号必取 2 x2 5 项，由通项易知当r 5时，取得常数2 1 C8 5

112,所以展开式中常数项为 112 70 42.

【思维启迪】本题主要考查二项式定理的通项 公式及分类讨论的思想方法.解答两个因式 积的展开式问题主要有两种途径：

1 通过变形转化为一个二项式的形式求解； 2 利用组合的知识，寻求产生指定项的各种可能的情况，然后求它们的和，即为所求.

1 n 变式题：若( x ) 展开式的二项式系数之和为64, x 则展开式的常数项为( ) A. 10 C. 30 B. 20 D. 120

解析：由条件知2n 64,则n 6, 1 6 而在( x ) 展开式的通项为 x 1 r r 6 r r Tr 1 C6 x ( ) C6 x 6 2r . x 令6 2r 0,得r 3,故展开式的常数项为C3 20. 6

备选例题:

5名志愿者分别到三个不同国家展

览馆进行世博会知识宣传，每个地方至少去一 名志愿者，则不同的分派方法共有 A. 种 150 B. 种 180 C. 种 200 D. 种 280

分析：首先根据题意须将5名志愿者分成三

组， 再分配到三个不同国家展览馆去，而分组有 1,1,3与2, 2,1两种.

解析：将5名志愿者的人数按1,1,3与2, 2,1分成三组 C52C32 的分法有C3 种， 5 2 A2 将每组分配到三个不同国家展览馆的分法有A 3种， 3 根据分类计算原理知不同的分派方法共有(C 3 5

C52C32 2 ) A 3 150种，故选A. 2 A2