第二讲

数列的通项与求和

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【考情快报】 高考对本节知识主要以解答题的形式考查以下两个问题： (1)以递推公式或图、表形式给出条件，求通项公式，考 查学生用等差、等比数列知识分析问题和探究创新的能力，属

中档题.(2)通过分组、错位相减等转化为等差或等比数列的求和

问题，考查等差、等比数列求和公式及转化与化归思想的应用，属中档题.

【核心自查】一、主干构建

二、重要公式

1.“基本数列”的通项公式n (1)数列-1,1,-1,1, 的通项公式是an= (-1) _____.

n (2)数列1,2,3,4, 的通项公式是an=__.2n+1 (3)数列3,5,7,9, 的通项公式是an=_____. 2n (4)数列2,4,6,8, 的通项公式是an=___.

2n-1 (5)数列1,2,4,8, 的通项公式是an=____. n2 (6)数列1,4,9,16, 的通项公式是an=__. (7)数列1,3,6,10, 的通项公式是an=________. 21 1 1 1 1 (8)数列 , , , , 的通项公式是an=___. n 1 2 3 4

n n 1

2.常用的拆项公式1 n(n 1) 1 (2) n(n k)

(1)

1 1 ; ____________ n n 1

1 1 1 ( ) ; k n n k 1 1 1 1 ( ) ________________ (3) 2 2n 1 2n 1 ; (2n 1)(2n 1)

(4) 若等差数列{an}的公差为d,则1 1 1 1 ( ); a n a n 2 2d a n a n 2

1 1 1 1 ( ); a n a n 1 d a n a n 1

(5)(6) (7)

1 1 1 1 [ ]; n(n 1)(n 2) 2 n(n 1) (n 1)(n 2)1 n n 1 1 n 1 n;

1 ( n k n ); n n k k

提醒：实际应用中，注意验证所拆项是否正确 .

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求数列的通项公式

【典例】1.(2012·长春模拟)已知数列{an}满足a1=36,an+1an=2n,则an 的最小值为____________. n

2na n 1 a n 1 2n 2 (n≥2),则数列{an}的通项公式为an=________________.

2.(2012·临沂模拟)已知数列{an}满足a1=2, a n

3.(2012·合肥模拟)已知数列{an}与{bn}的前n项和分别为 Sn,Tn,a1=1,b1=2,且对任意n∈N*,都有 Sn n 2 ,Tn 2bn 2 成 an 立，求数列{an},{bn}的通项公式.

【解题指导】1.利用累加法先求an再求解. 2.由递推关系，构造新等差数列{n }求解. an

3.先由和与项的递推关系，利用an= S1,(n=1) Sn-Sn-1,(n≥2)

转化为项与项的递推关系再求通项公式.

【解析】1.由an+1-an=2n,得 a2-a1=2, a3-a2=4,

a4-a3=6,

an-an-1=2(n-1).将以上n-1个式子累加得a n a1 (n 1) 2(n 1) 2 2 n 2 n.

又∵a1=36,∴an=n2-n+36,a n n 2 n 36 36 ∴ n 1, n n n a 当n=6时， n 有最小值11. n

答案：11

2.∵ a n

2na n 1 , a n 1 2n 2

a 2 n 1 ∴ 1 n 1 , an 2na n 1

∴ n a n 1 2(n 1) 1 n 1 ,

an 2a n 1 2 a n 1 即 n n 1 1 n 2 , a n a n 1 2 n 1 1 1 ∴数列{ }构成以 为首项， 为公

差的等差数列， 2 an a1 2

∴ n 1 n 1 1 n , ∴an=2.an 2 2 2

答案：2

3.(1)由 Sn n 2 , 知Sn=n2an, an Sn-1=(n-1)2an-1(n≥2), 两式相减得an=n2an-(n-1)2an-1, 即(n2-1)an=(n-1)2an-1,an n 1 n 2 , a n 1 n 1 a 2 a3 an 1 2 3 n 3 n 2 n 1 a a 1 ∴ n 1 a1 a 2 a n 1 3 4 5 n 1 n n 1

∴

2 n 2 , n n 1

又a1=1也适合上式，因此 a n

2 . n n 1

(2)由Tn=2bn-2,∴Tn-1=2bn-1-2(n≥2), 两式相减得bn=2bn-2bn-1,即bn=2bn-1, ∴数列{bn}构成以b1=2为首项，2为公比的等比数列，∴bn=2n.

【拓展提升】 求数列通项公式的常见类型及方法 (1)归纳猜想法：已知数列的前几项，求数列的通项公式，可采

用归纳猜想法.

S1 (n 1), (2)已知Sn与an的关系，利用 a n 求a n. Sn Sn 1 (n 2), (3)累加法：数列递推关系形如an+1=an+f(n),其中数列{f(n)}前n项和可求，这种类型的数列求通项公式时，常用累加法(叠 加法).

(4)累乘法：数列递推关系如an+1=g(n)an,其中数列{g(n)}前n

项可求积，此数列求通项公式一般采用累乘法(叠乘法).(5)构造法：递推关系形如： ①an+1=pan+q(p,q为常数),可化为 a n 1 的形式，利用{ a n q p 1

q q p(a n )(p 1) p 1 p 1 }是以p为公比的等比数列求解；

②递推关系形如 a n 1 1 a n 1 1 1 的形式. an p

pa n (p为非零常数) 可化为 an p

提醒：注意对n分类讨论.