初等数学研究答案 李长明 周焕山编习题4(1)答案

x2y2

12 yx24. 111 xy3

解：方程组的定义域 x,yx 0,y 0

原方程组变形为：

x3 y3

12 x3 y3 12xy.....................(1) xy 即 x y1 .................(2) 3 x y xy.......... 3 xy

x3 y3 x y 3xy(x y) 3

x y 3 3xy(x y) 12xy.....................(3) ...............................(2) 3(x y) xy..........

令x+y=u,xy=v,有：

u3 3u2v 12v...........................(4) 3u v......................................(5)

由（5）代入（4）得：

u3 9u2 36 0

uu2 9u 36 0

u 0或u2 9u-36 0，即u 12，u 3

将u=0代入（5），得v=0

x 0 x y 0 解得 不在定义域内 y 0xy 0

将U=-12代入（5）得：v=36

x y 1222,解得：x 12x 36 0,(x 6) 0,x 6 xy 36

x 6 y 6

将u=-3代入（5）得。v=-9

33x x y 3 22 ,解得： xy 9 y 3 35

22

y 9 x 335x 22 y 3 3 22

故原方程的解为：

33 - 6,6 ， 2 33 3333 ， -- -- 222 2222 5

x2 y2 x y 32（3）

12 x y 7xy

x y 2 2xy x y 32......................(1)原方程可化为： ...........................（2） 12 x y 7xy..........

令x+y=u,xy=v,代入上方程组，有：

u2 2v u 32..........................(3) ..........................(4) 12u 7v..........

12u 代入(3),并整理得：7u2-17u-224 0..............................(5) 7

32解(5)的得：u1 7,u2 7由（4)得：v

x 3 x 4 x y 7将u=7代入(4),得v=12,故 解得 或 y 4y 3xy 12

32384代入（4)得：v 749

32 x y - 7 得：49x2 224x 384 0 故 384 xy 49 将u

224 2242 4 49 384 224 50176 75264x 解： 9898

224 224 28 10 72

9898

224 24 7 98

224 98

168 77

故解得：

8 2x 7 8 y 2 7 8 2x 7 8 y 2 7

故原方程组的解为： 3,4 ，4,3 8

788 8 -2 - 2 , 2 -2 777

642x 642y 12...........................(1)26.（1） X y 42..............................（2） 64

解：令64x u,64y v，则原方程组可化为：

u2 v2 12........................(3) ...............（4） uv 42..........

（3）+2（4），得：

u2 v2 2uv 12 82

即 u v 2 222 2

u v 2 22

u 22 u 2 或 v 22 v 2

64x 22 64x 2或 II I yy 64 2 64 22

11 x x 6 解（II）得： 4 解（I)得： 11 y y 64

故原方程组的解为： 或 1,1

64 1,1 46

1 .......(1) log0.5 y x log2 y 2..........(2) x2 y2 25....................（.2）

解：方程（1）左边取以2为底的对数，得：

1 log2 y log2 y x 2即： log20.5log22

-log2 y x log2y 2

log2 y x .y 2

y-x y 4即y2 xy 4........................（3）

解(2)，(3)联立方程组得：

y2 xy 4......................(3)令y=tx,分别代入（2），（3）得： 22............(2) x y 25..........

x2t t 1 4.........................(4） 22x1 t 25...............................(5）

由（4），（5）解出x的表达式得：2425 2..............................(6) tt 1t 1

t 25t 4 0 由（6）变形整理得：212

3t-4 7t 1 0

41t1 ,t2 37

44由t ，有y x，代入(3)得：x 3 33

1t 172 7，有y x，代入（3）得：x 由72

72-72x x x 3 x 3 2 ， （舍）， （舍）， y 4 y 4 y 2 y 2

22

-所以原方程组的根为 3,4 ， 72,2 22

3 22sinx siny ..................................(1) 427.（1） 5 x y .....................................(2)12

1-cos2x1 cos2y3 解：利用降次公式，（1)即：224

1cos2x cos2y 2

12cos x y 2

12cos x y cos x y ........................(3) 2

（2）代入（3），化简得：2cos 1 5 .cos x y 2 12

cos x y 1 2 46 2

5 2 cos cos 124 46

x y acrcos6 2 2k ........(4) 4

51 2x acrcos k ,k 2424（2）（4）联立解得： 516 2 y acrcos k ,k 2424

4.（1）x11 .................(1) 2x 1x 2x 2x 3x 3x 1解：方程定义域为M xx R,且x 1,2,3

将（1）式左边通分，

x x 3 2 x 1 1 2x 1x 2x 3x 3x 1x2 x 21即 2x 1x 2x 3x 3x 1左边分子因式分解： x-2 x 1 1 2x 1x 2x 3x-3x 1

左边约分x 11 ..........................(2) 2x 1x 3x 3x 1x 1 1,x 1 2,x 1 2两边同乘以（x-1)(x-3)得：

但x=1不在定义域内，为增根，原方程无解

解法2：方程定义域为M xx R,且x 1,2,3 将方程右边的分式移到左边：

x11 0 2x 1x 2x 2x 3x 3x 1

左边通分整理得：

x x 3 2 x 1 2 x 2 0 2x 1x 2x 3 x 2 x 1 0 x2 3x 2即： 0,2x-1x 2x 32x 1x 2x 3约去公因式 x-1 x 2 0,将方程左边化成最简因式：

1 0 2x 3上式的分子为非零常数，显然无解。因为各个步骤都是同解变形，所以原方程无解。

（5）解：令x 7x u，则原方程变形为： 2

1111 0 uu 6u 18u 12

左边通分得：

u 6 u 18 u 12 u u 18 u 12 u u 6 u 12 u u 6 u 12 0 uu 6u 18u 12即：144 u 9 0 uu 6u 18u 12 u 9

x2 7x 9 0 x 7 2

x3 2x2 3x 4x2 5x 6 2.....................(1) 5.（1）32x 2x 3x 4x 5x 6

解：原方程的定义域为：M xx R,且x 2,3

利用合分比性质对（1)变形得：

2x3 6x2x2 12 4x2 810x

x3 3xx2 6 即2 2x 45x

5x4 15x 2x4 12x2 4x2 24 0

3x4 x2 24 0

3x2 8x2 3 0

88 3x2 8 0,x2 ,x i 33

x2 3 0,x 3

6.（2）x 5 x 3 2x 7.................................(1) 解：方程定义域为：xx 3

（1）可变形为：x 5 2x 7 x 3...................(2)

（2）式两边平方并整理得：

22x 7x 3 2x 5.......................(3)

（3）式两边平方，并整理得：4x 32x 59 0 2

解之得：x …… 此处隐藏：4190字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……