动量矩定理习题课

第十二章一、基本概念

动量矩定理习题课

1.动量矩：物体某瞬时机械运动强弱的一种度量。 .动量矩：物体某瞬时机械运动强弱的一种度量。 2.质点的动量矩： MO(mv) = r × mv .质点的动量矩： 3.质点系的动量矩：LO = ∑MO(mivi) =∑ri× mivi .质点系的动量矩： 4.转动惯量：物体转动时惯性的度量。 .转动惯量：物体转动时惯性的度量。 对于均匀直杆，薄圆盘(圆柱) 对于均匀直杆，薄圆盘(圆柱)对过质心垂直于质量对称 平面的转轴的转动惯量要熟记。 平面的转轴的转动惯量要熟记。

5.刚体动量矩计算 . 平移： 平移： L = ∑m r ×v =r ×mv O i C C C C 定轴转动： 定轴转动： L = J ω z z 平面运动： 平面运动： L = r × mv + LO C C C

LO = rC × mvC + LrCL = ∑ (ri '×mi v ir )r C n i =1

L c = ∑ ri′ × m i v ia

二、质点系的动量矩定理及守恒 1.质点系的动量矩定理 .

dLO = MO dt2.质点系的动量矩守恒 .

若∑MO (Fi(e) ) ≡ 0 ,则 LO = 常矢量。 常矢量。 若 ∑M (F(e)) ≡ 0 ,则 Lz = 常量z

dLx ( e) = ∑ Mx (Fi ) ≡ M x dt dLy ( e) = ∑ M y (Fi ) ≡ M y dt dLz ( e) = ∑ M z (Fi ) ≡ M z dt

三、质点系相对质心的动量矩定理

dLC (e ) = ∑MC (Fi ) = MC dt

dLCz' = MCz ' dt

四、刚体定轴转动微分方程和刚体平面运动微分方程 1.刚体定轴转动微分方程 .

J zα = ∑ M z ( F )2.刚体平面运动微分方程 .

m a C = ∑ F (e)

J C α = ∑ M C ( F (e) )

mxC = ∑ Fx (e) && &&C = ∑ Fy (e) my && = ∑ M C ( F (e) ) J C

五、动量矩定理的应用 应用动量矩定理，一般可以处理下列一些问题： 应用动量矩定理，一般可以处理下列一些问题： (对单轴传动系统尤为方便) 对单轴传动系统尤为方便) 1.已知质点系的转动运动，求系统所受的外力或外力矩。 .已知质点系的转动运动，求系统所受的外力或外力矩。 2.已知质点系所受的外力矩是常力矩或时间的函数，求刚 .已知质点系所受的外力矩是常力矩或时间的函数， 体的角加速度或角速度的改变。 体的角加速度或角速度的改变。 3.已知质点所受到的外力主矩或外力矩在某轴上的投影代 . 数和等于零，应用动量矩守恒定理求角速度或角位移。 数和等于零，应用动量矩守恒定理求角速度或角位移。

六、应用举例 [例1] 均质圆柱，半径为 ，重量为 ，置圆柱于墙角。初始角 例 均质圆柱，半径为r,重量为Q,置圆柱于墙角。 速度ω0,墙面地面与圆柱接触处的动滑动摩擦系数均为 f ',滚 ， 阻不计，求使圆柱停止转动所需要的时间。 阻不计，求使圆柱停止转动所需要的时间。 解：选取圆柱为研究对象。(注意只是一个 选取圆柱为研究对象。

注意只是一个 刚体)受力分析如图示。 刚体 受力分析如图示。 受力分析如图示 运动分析：质心 不动 刚体绕质心转动。 不动， 运动分析：质心C不动，刚体绕质心转动。 根据刚体平面运动微分方程 ( aCx = 0, aCy = 0) ① 0 = N A FB0 = FA + N B Q 1 Q 2 dω r = FA r FB r 2 g dt

② ③ ④

补充方程： 补充方程： FA = f ' N A , FB = f ' N B

1 Q 2 dω r = FA r FB r ③ 2 g dt 补充方程： 补充方程： FA = f ' N A , FB = f ' N B2 两式， 将④式代入①、 ② 两式，有 ( f ' +1) N B Q = 0 式代入①

0 = N A FB 0 = FA + N B Q

① ②

④

Q f 'Q f 'Q f '2 Q ∴N B = 2 , FB = 2 , N A = 2 , FA = 2 f ' +1 f ' +1 f ' +1 f ' +1

将上述结果代入④ 将上述结果代入④式，有 dω 1+ f ' 2gdt = 1+ f '2

f '

r

2 gf ' 1 + f ' , ∫ dω = ω0 r 1 + f '20

∫

t 0

dt

(1+ f '2 )rω0 解得：t = 解得： 2gf '(1+ f ')

[例2]两根质量各为 kg的均质细杆固连成 字型，可绕通过 例 两根质量各为 两根质量各为8 的均质细杆固连成 字型，可绕通过O 的均质细杆固连成T 点的水平轴转动， 处于水平位置时, 点的水平轴转动，当OA处于水平位置时 T 形杆具有角速度ω 处于水平位置时 =4rad/s 。求该瞬时轴承 的约束力。 求该瞬时轴承O的约束力 的约束力。 字型杆为研究对象。 解：选T 字型杆为研究对象。 受力分析如图示。 受力分析如图示。 由定轴转动微分方程J Oε = mg 0.25 + mg 0.51 1 17 J O = ml 2 + ml 2 + ml 2 = ml 2 3 12 12

17 ×8× 0.52 ε = 8×9.8× 0.25 + 8×9.8× 0.5 12 ε = 20.75 rad/s2

根据质心运动微分方程， 根据质心运动微分方程，得 maC1x maC 2 x = X O maC1 y maC 2 y =YO mg mg

∴ XO = m (aC1x + aC2x ) = 8 (42 × 0.25 + 42 × 0.5 ) = 96 N

YO = 2×8×9.8 8 ( 20.75× 0.25 + 20.75× 0.5 ) = 32.3 N

[例3] 均质圆柱体 和B的重量均为 ，半径均为 ，一绳缠在 例 均质圆柱体A和 的重量均为 的重量均为P,半径均为r, 绕固定轴O转动的圆柱 转动的圆柱A上 绳的另一端绕在圆柱B上 绕固定轴 转动的圆柱 上，绳的另一端绕在圆柱 上，绳重 不计且不可伸长，不计轴O处摩擦。 不计且不可伸长，不计轴 处摩擦。 下落时质心的加速度。 求：1.圆柱 下落时质心的加速度。 .圆柱B下落时质心的加速度 2.若在圆柱体 上作用一逆时针转向的转矩 ，试问在什 上作用一逆时针转向的转矩M, .若在圆柱体A上作用一逆时针转向的转矩 么条件下圆柱B的质心将上升 的质心将上升。 么条件下圆柱 的质心将上升。 解：选圆柱A为研究对象 选圆柱 为研究对象1P 2 r ε A = Tr 2g1P 2 r ε …… 此处隐藏：2801字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……