高三总复习.数学(文)

第六章 第2课时

不等式与推理证明

一元二次不等式及其解法

考 点

考点一 一元二次不等式解法 考点二 有关一元二次不等式求参数问题■方法探究 系列 ■应考迷津 展示

考纲·展示

1.求解一元二次不等式. 2.结合二次函数求解不等式恒成立问题. 3.结合一元二次不等式解集求解参数.

教材梳理 基础自测

一、一元二次不等式的解法

1.将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式 ax2+ bx+c>0(a>0)或 ax2+bx+c<0(a>0).2.求出相应的一元二次方程的根.

3.利用二次函数的图象与 x 轴的交点确定一元二次不等式的解集.

教材梳理 基础自测

二、三个“二次”间的关系

判别式 Δ=b2-4ac 二次函数 y=ax2+bx +c (a>0)的图象

Δ>0

Δ=0

Δ<0

一元二次方程 ax2+bx 有两相异实根 +c=0 (a>0)的根 x1,x2(x1<x2) ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 ax2+bx+c<0 (a>0)的解集(-∞,x1) ∪(x2,+∞)

有两相等实根 b 没有实数根 x1=x2=-2a b x|x≠-2a

R

(x1,x2)

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二、三个“二次”间的关系

[自测 1]

(教材改编)不等式 x2-3x+2<0 的解集为( B.(-2,-1) D.(1,2)

)

A.(-∞,-2)∪(-1,+∞) C.(-∞,1)∪(2,+∞)

D

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二、三个“二次”间的关系

[自测 2] 不等式 9x2+6x+1≤0 的解集是( 1 A. x|x≠-3 1 1 C. x|-3≤x≤3 B 1 B. -3

)

D.R

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二、三个“二次”间的关系

x-3 [自测 3] 不等式 ≥0 的解集为__________. x+1(-∞,-1)∪[3,+∞)

教材梳理 基础自测

二、三个“二次”间的关系

[自测 4] (课本精选)已知不等式 x2-2x+k2-1>0 对一切实数 x 恒成立， 则实数 k 的取值范围为________.

(-∞,- 2)∪( 2,+∞)

考点突破 题型透析

考点一 一元二次不等式解法

{关键点} 结合一元二次函数图象的特征求解 对于形如 ax2+bx+c≥0(或≤0)(a>0)的不等式，求出方程 ax2+bx+c=0 的根后，结合 y=ax2+bx+c 图象在 x 轴上方(下方)的位置求对应 x 的范 围.

考点突破 题型透析

考点一 一元二次不等式解法

x x+2 >0, 1.(2014· 高考大纲全国卷)不等式组 的解集为( |x|<1 A. x|-2<x<-1 C. x|0<x<1 B. x|-1<x<0 D. x|x>1

)

选 C.由 x(x+2)>0 得 x>0 或 x<-2;由|x|<1 得-1<x<1,所以不等式组的 解集为 x|0<x<1 ,故选 C.

考点突破 题型透析

考点一 一元二次不等式解法

1

-x 2.(2015· 惠州模拟)不等式 ≥0 的解集为( 2+x A.[-2,1] B.(-2,1] C.(-∞,-2)∪(1,+∞) D.(-∞,-2]∪(1,+∞) 1-x 2+x ≥0, 1-x 选 B. ≥0 -2<x≤1. 2+x 2+x≠0

)

考点突破 题型透析

考点一 一元二次不等式解法

3.求解不等式 x2-4ax-5a2>0(a≠0).由 x2-4ax-5a2>0 知(x-5a)(x+a)>0. 由于 a≠0 故分 a>0 与 a<0 讨论. 当 a<0 时，x<5a 或 x>-a; 当 a>0 时，x<-a 或 x>5a. 综上，a<0 时，解集为 x|x<5a或x>-a ; a>0 时，解集为 x|x>5a或x<-a .

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考点一 一元二次不等式解法

解一元二次不等式的一般步骤是： 1 化为标准形式； 2 确定判别式Δ的符号； 3 若Δ≥0,则求出该不等式对应的二次方程的根，若 Δ<0,则对应的二次方程无根； 4 结合二次函数的图象得出不等式的解集.特别地，若 一元二次不等式的左边的二次三项式能分解因式，则可 f x 立即写出不等式的解集.对于形如 ≥0的分式不等 g x f x · g x ≥0

考点突破 题型透析

考点一 一元二次不等式解法

解一元二次不等式的一般步骤是： 1 化为标准形式； 2 确定判别式Δ的符号； 3 若Δ≥0,则求出该不等式对应的二次方程的根，若 Δ<0,则对应的二次方程无根； 4 结合二次函数的图象得出不等式的解集.特别地，若 一元二次不等式的左边的二次三项式能分解因式，则可 f x 立即写出不等式的解集.对于形如 ≥0的分式不等 g x f x · g x ≥0 式转化为 求解. g x ≠ 0

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考点二 有关一元二次不等式求参数问题

{突破点1} 抓住不等式解集与方程根之间的关系 一元二次不等式 ax2+bx+c≥0(≤0)解集为(-∞,x1]∪[x2,+∞)(或[x1, x2]),则说明 x1,x2 为方程 ax2+bx+c=0 的两根(x1<x2).

考点突破 题型透析

考点二 有关一元二次不等式求参数问题

1.(2013· 高考重庆卷)关于 x 的不等式 x2-2ax-8a2<0(a>0)的解集为(x1, x2),且 x2-x1=15,则 a=( 5 A.2 7 B.2 15 C. 4 ) 15 D. 2