第28课

圆的弧长和图形

面积的计算

基础知识

自主学习

要点梳理 1.弧长及扇形的面积： (1)半径为r,弧为n°的圆心角所对的弧长公式：nπr l= 180

(2) 半径为r,孤为n°的圆心角所对的扇形面积公式：nπr2 1 S= = lr 360 2

2.圆锥的侧面积和全面积： 圆锥的侧面展开图是一个扇形，若设圆锥的母线长为 l,底面 半径为 r,那么这个扇形的半径为 l,扇形的弧长为 2πr. (1)圆锥侧面积公式： S 圆锥侧=πrl; (2)圆锥全面积公式： S 圆锥全=πrl+πr2; (3)圆锥侧面展开图扇形圆心角公式： r θ= l · . 360°

3.求阴影部分面积的几种常见方法：

(1)公式法；(2)割补法； (3)拼凑法；

(4)等积变形构造方程法；(5)去重法.

[ 难点正本

疑点清源]

1.有关弧长公式、扇形面积公式的应用 在弧长公式和扇形面积公式中，都涉及了三个变量，弧长(或面积)、 圆心角的度数、弧(或扇形)的半径，知道其中的两个量，就可以求第三个 量.要熟悉各个公式的变形. nπr2 1 扇形面积两公式之间的联系：S= = lr.根据题目的条件，应灵活 360 2 选用，但无论利用哪个公式计算扇形的面积，半径 r 必须已知.

2.理解圆锥与其展开图之间的关系 在求圆锥侧面积或全面积的时候，常需要借助于它的展 开图进行分析，因此理清圆锥与它的展开图中各量的关系非 常重要，下面图示可以帮助我们进一步理解它们之间的关 系.

基础自测1.(2011· 滨州)如图，在△ABC 中，∠B=90° ∠A=30° , ,AC=4 cm, 将△ABC 绕顶点 C 顺时针方向旋转至△A′B′C 的位置，且 A、C、 B′三点在同一条直线上，则点 A 所经过的最短路线的长为( A.4 3cm 16 C. π cm 3 答案 D解析

)

B.8 cm 8 D. π cm 3

在 Rt△ABC 中，∠ACB=90° -∠A=60° .

∵△A′B′C≌△ABC, ∴∠A′CB′=∠ACB=60° . ∵∠ACB′=180° ,∴∠ACA′=120° . 120 8 ∴点 A 所经过的路线 AA′ 的长为 π×4= π. 180 3

2.(2011· 潍坊)如图，半径为 1 的小圆在半径为 9 的大圆内滚动， 且始终与大圆相切，则小圆扫过的阴影部分的面积为( A.17π B.32π C.49π D.80π )

答案

B

解析

如图，可知外圆的半径为 9,

内圆的半径为 7,S 圆环=S 外圆-S 内圆 =π×92-π×72=81π-49π=32π.

3.(2011· 宁波)如图，Rt△ABC 中，∠ACB=90° ,AC=BC=2 2, 若把 Rt△ABC 绕边 AB 所在直线旋转一周，则所得几何体的表 面积为( A.4π ) B.4 2π C.8π D.8 2π

答案

D

解析

如图，可知几何体是两个圆锥复合，

l=2 2,r=2,∴S 圆锥侧=πrl=π×2×2 2=4 2π, ∴S 表面积=2×(4 2π)=8 2π.

4.(2011· 衢州)如图，一张半径为 1 的圆形纸片在边长为 a(a≥3)的 正方形内任意移

动，则该正方形内，这张圆形纸片“不能接触 到的部分”的面积是( A.a2-π C.π答案 D

)

B.(4-π)a2 D.4-π

解析

如图，可知圆形纸片不能接触到的

部分为四个这样的阴影部分的面积，而 1 1 2 S 阴影=1 - ×π×1 =1- π, 4 42

π 1- =4-π. ∴4× 4

5.(2011· 台州)如图，图 2 是一个组合烟花(图 1)的横截面， 其中 16 个圆的半径相同，点 O1、O2、O3、O4 是分布在 四个角上的圆的圆心，且四边形 O1O2O3O4 正方形.若圆 的半径为 r,组合烟花的高度为 h,则组合烟花侧面包装 纸的面积至少需要(接缝面积不计)( A.26πrh C.12rh-2πrh )

B.24rh+πrh D.24rh+2πrh

解析

1 因为侧面包装纸的周长= 6r+4·2πr ×4=24r+2πr,

高度为 h,所以其面积为(24r+2πr)h=24rh+2πrh.答案 D

题型分类题型一 弧长公式的应用 【例 1】 径长.

深度剖析

如图所示，扇形OAB从图①无滑动旋转到图②,

再由图②到图③,∠O=60°,OA=1.求O点所运动的路

解

90π×1 1 60π×1 1 点 O 运动路径第一段弧长为 = π;第二段路径的弧长为 = π; 180 2 180 3 90π×1 1 1 1 1 4 = π. 即点 O 所运动的路径长为 π+ π+ π= π. 180 2 2 3 2 3

第三段路径的弧长为

探究提高

本题中所求点O经过的路线是由三条不同的弧组

合而成的，在求每段弧长时，要注意确定每段弧的半径及所对圆心角的度数.

知能迁移1

(1)已知矩形ABCD的长AB=4,宽AD=3,按如

图放置在直线AP上，然后不滑动地转动，当它转动一周时(A→A′),顶点A所经过的路线长等于________.

解析答案 6π

90 π(3+4+5)=6π. 180

(2) (2011· 广州)如图，AB 切⊙O 于点 B,OA=2 弦 BC∥OA,则劣弧 BC 的弧长为( A. 3 π 3 B. 3 π 2 C.π ) D. 3 π 2

3,AB=3,

解析

连接 OB、OC,则 OB⊥AB,

在 Rt△AOB 中，OA=2 3,AB=3, 则 OB= 3,∠AOB=60° . ∵BC∥OA,∴∠OBC=60° . ∴△OBC 是等边三角形. ∴∠COB=60° BC 的长是 .∴ 60 3 π× 3= π. 180 3