2015年全国高考理科数学试题及答案-上海卷

2015年普通高等学校招生全国统一考试 上海 数学试卷（理工农医类）

一、填空题（本大题共有14题，满分56分．）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4分，否则一律得零分．

1．设全集U R．若集合 1,2,3,4 ， x2 x 3，则 ðU ． 2．若复数z满足3z 1 i，其中i为虚数单位，则z ．

23c1 x 33．若线性方程组的增广矩阵为 ，则c1 c2 、解为 01cy 5 2

4．若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为a ．

5．抛物线y2 2px（p 0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p ． 6．若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2 ，则其母线与轴的夹角的大小为 ．

x 1x 1

7. 方程log29 5 log23 2 2的解为．

8. 在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的

选取方式的种数为 （结果用数值表示）．

9. 已知点 和Q的横坐标相同， 的纵坐标是Q的纵坐标的2倍， 和Q的轨迹分别为双曲线C1

和C2．若C1的渐近线方程为y ，则C2的渐近线方程为． 10.设f

1

x 为f x 2x 2

10

x 1

，x 0,2 的反函数，则y f x f x 的最大值2

为 ．

1 2

11. 在 1 x 2015 的展开式中，x项的系数为（结果用数值表示）．

x

12. 赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随机摸取一

张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）．若随机变量 1和 2分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则 1 2 ．

13. 已知函数f

x sinx．若存在x1，x2， ，xm满足0 x1 x2 xm 6

3

，且

f x1 f x2 f x2 f x

最小值为 ．

14. 在锐角三角形 C中，tan

，则m的 f xn 1 f xn 12（m 2，m ）

1

，D为边 C上的点， D与 CD的面积分别为2和2

4．过D作D 于 ，DF C于F，则D DF ．

二、选择题（本大题共有4题，满分20分．）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．

15．设z1，z2 C，则“z1、z2中至少有一个数是虚数”是“z1 z2是虚数”的（ ）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 16．已知点 的坐标为，将 绕坐标原点 逆时针旋转

（ ） A

至 ，则点 的纵坐标为3

1113 C． D．

2217．记方程①：x2 a1x 1 0，方程②：x2 a2x 2 0，方程③：x2 a3x 4 0，其中a1，

a2，a3是正实数．当a1，a2，a3成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（ ）A．方程①有实根，且②有实根 B．方程①有实根，且②无实根 C．方程①无实根，且②有实根 D．方程①无实根，且②无实根 18．设 n xn,yn 是直线2x y

n 22

（n ）与圆x y 2在第一象限的交点，则极限n 1

lim

n

yn 1

（ ） xn 1

1

C．1 D．2 2

A． 1 B．

三、解答题（本大题共有5题，满分74分．）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．

19.（本题满分12分）如图，在长方体 CD 1 1C1D1中，

1 1， D 2， 、F分别是 、 C的中点．证明 1、C1、F、 四点共面，并求直线CD1与平面 1C1F 所成的

角的大小.

20.（本题满分14分）本题共有2小题，第小题满分6分，第小题满分8分

如图， ， ，C三地有直道相通， 5千米， C 3千米，

C 4千米.现甲、乙两警员同时从 地出发匀速前往 地，经过t小

时，他们之间的距离为f t （单位：千米）.甲的路线是 ，速度为

5千米/小时，乙的路线是 C ，速度为8千米/小时.乙到达 地后原地等待.设t t1时乙到达C

地.

（1）求t1与f t1 的值；

（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米.当t1 t 1时，求f t 的表达式，并判断

f t 在 t1,1 上得最大值是否超过3？说明理由.

21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分.

已知椭圆x 2y 1，过原点的两条直线l1和l2分别于椭圆交于 、 和C、D，记得到的平行四边形 CD的面积为S.

（1）设 x1,y1 ，C x2,y2 ，用 、C的坐标表示点C到直线l1的距离，并证明

2

2

S 2x1y1 x2y1；

（2）设l1与l2的斜率之积为

1

，求面积

S

的值. 2

22.（本题满分16分）本题共有3个小题.第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6

分.

已知数列 an 与 bn 满足an 1 an 2 bn 1 bn ，n .

（1）若bn 3n 5，且a1 1，求数列 an 的通项公式；

（2）设 an 的第n0项是最大项，即an0 an（n ），求证：数列 bn 的第n0项是最大项；

（3）设a1 0，bn n（n ），求 的取值范围，使得 an 有最大值 与最小值m，

且

2,2 . m

23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分

8分.

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