微积分答案(上册)(刘迎东版)第四章答案合集

微积分答案(上册)(刘迎东版)北京交大同学必用

4.1定积分的概念和性质习题4.1

1.利用定积分定义计算由抛物线y x 1,两直线x a,x b b a 及x轴所围成的图

2

形的面积。解：S

i 1 b a ,a i b a ，2

。把等分，第个小区间为x 1dxa,bnia a nn

b

一律取右端点构造积分和

2

b ai b a a 1 nn i 1 n

，则

2

b aib a 2

S x 1 dx lim a 1 an nni 1

b

n

2

n2ab ab a lim 1 a2 2n nni 1

i 1

n

b a i

n3

3

i i 1

n

2

23

2ab ann 1b an n 1 2n 1 2

lim 1 a b a 23n n2n6 b3 a3 b a.

3

2.利用定积分定义计算下列积分：（1）

b

a

xdx a b .

解：把 a,b n等分，第i个小区间为 a

i 1 b a ,a i b a ，一律取右端点构造

n

n

i b a b a

积分和 a ，则

nni 1

n

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i b a b a a axdx limn ni 1 n

nb a b a 2n lim a i 2n nni 1

i 1

2

b a n n 1 lim a b a 2n n2 b2 a2 .

2

b

n

（2）

edx.

i

1

x

n

1 i 1i

解：把 0,1 n等分，第i个小区间为 , ，一律取右端点构造积分和 en，则

n nn i 1

1

edx lim e

x

n 1

n

i 1

n

in

1n

1e 1 e

1n n

1 en

e 1. lim

（3）

cx d dx.

a

b

解：把 a,b n等分，第i个小区间为 a

i 1 b a ,a i b a ，一律取右端点构造

n

n

b ai b a

积分和 c a ，则 d nni 1

n

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b ai b a c a d a cx d dx lim nn ni 1

b

n

2

nb ac b a lim ca d 2n nni 1

i i 1

n

2

c b a n n 1 lim ca d b a 2n n2

c b2 a2 2

d b a .

（4）

1

x3dx.

n

i31 i 1i

解：把 0,1 n等分，第i个小区间为 , ，一律取右端点构造积分和 3，则

nn i 1nn

i3

4 0xdx limn

i 1n

1

3

n

2

1n n 1 lim4

n n41 .4

2

3.利用定积分的几何意义，证明下列等式：（1）

2xdx 1.

1

证明：它表示y 2x,x 0,x 1三条直线围成的直角三角形的面积，两条直角边分别长1和

2.

（2

）

.4

2

2

证明：它表示单位圆x y 1在第一象限部分与坐标轴围成的（3）

1

圆盘的面积。4

sinxdx 0.

证明：它表示正弦曲线在 , 部分与x轴围成的图形的面积的代数和，其中x轴上方的面积取正值，x轴下方的面积取负值。由于正弦曲线关于原点对称，所以恰好y轴左右两部分的面积的代数和为0.

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（4）

2 2

cosxdx 2 cosxdx.

, 部分与x轴围成的图形的面积，由于余弦曲线关于y 22

20

证明：左边表示余弦曲线在

轴对称，所以恰好y轴左右两部分的面积相等。

4.设f x 为 0,a 上非负单调增加的连续函数，g x 是它的反函数，从定积分的几何意

义证明

f a f 0

a

f x dx

g y dy af a .

f a f 0

证明：

a

而 f x dx表示x轴，x 0,x a和y f x 围成的面积，

g y dy表示y

轴，y f a ,x g y 围成的面积，而y f x 和x g y 是同一条曲线，所以上述两块面积组成了坐标轴与x a,y f a 围成的正方形，其面积为af a .5.利用定积分的几何意义，求下列积分：（1）

t

xdx t 0 .

解：它表示x轴与x t,y x围成的直角三角形的面积，两直角边长都为t，所以面积为

12

t.2

（2）

x 3dx. 2 2

4

解：它表示x轴与x 2,x 4,y 以面积为21.（3）

x

3围成的梯形的面积，两底为2和5，高为6，所2

2

1

xdx.

解：它表示x轴与x 1,x 2,y x围成的图形的面积，它包括两个等腰直角三角形。y轴左侧的腰长为1，右侧的腰长为2，所以面积为.（4

）

5

2

3

.

2

2

解：它表示x轴与x y 9围成的上半圆盘的面积，圆半径为3，所以面积为

9 .2

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（5）

.

a

解：

a

a

，它表示x轴与

a b b a b a 2

x y 围成的上半圆盘的面积，圆半径为,所以面积为 222

22

2 b a .8

（6）

b

a

x

a b

dx.2

a b

围成的图形的面积，它由两个等腰直角三角形2

解：它表示x轴与x a,x b,y x

构成，腰长都为

b a12

,所以面积为 b a .24

6.设a b。问a,b取什么值时，积分

x x dx取得最大值？

2

a

b

解：y x x2的图形当x 0或x 1时位于x轴下方，当0 x 1时位于x轴上方，所以

a 0,b 1时， x x2 dx取得最大值。

a

b

7.设(1)

1

1

3f x dx 18, f x dx 4, g x dx 3.求

1

1

3

1

1

3

33

1

1

f x dx.(2) …… 此处隐藏：6080字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……