[应用随机过程][习题][01]

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习题课1 (第二,第三章习题讲解)

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第二章习题 2.3已知随机过程X(t)为 X (t ) = X cos(ω0t ) ,ω0 是

常数,X是归一化高斯随机变量,求X(t)的一维 概率密度 解:由于X是归一化高斯变量,故 X ~ N (0,1) 显然,X(t)的一维概率密度也服从高斯分布 (对任意时刻t,X(t)为高斯随机变量),故只 需求取其均值和方差E[ X (t )] = E[ X cos ω 0 t ] = E[ X ] cos ω 0 t = 0D[ X (t )] = D[ X cos ω 0 t ] = D[ X ] cos 2 ω 0 t = cos 2 ω 0 tPage 2 上海理工大学 2010-7-30

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第二章习题于是X(t)的一维概率密度为p X ( x, t ) = x2 exp 2 2π cos ω 0 t 2 cos ω 0 t 1t ∈ ( ∞,+∞ )

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第二章习题 2.5随机过程由四条样本函数组成,如图所示, p(ξ1 ) = 1 / 8 p(ξ 2 ) = 1 / 4 出现的概率分为 , ,p(ξ3 ) = 3 / 8 , (ξ 4 ) = 1 / 4 求 E[ X (t1 )] , E[ X (t2 )] , p E[ X (t1 ) X (t 2 )] ,联合概率密度函数 p X ( x1 , x2 , t1 , t 2 )X(t) 7 6 5 4 3 2 1 0Page 4X (t , ξ 1 ) X (t , ξ 2 )

ξ1 ξ 2 ξ 3 ξ 4X (t1 ) 124

62

31

X (t , ξ 3 )

X (t 2 ) 5X (t , ξ 4 )

t1

t2上海理工大学

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第二章习题 解: E[ X (t )] = x p( x , t ) ∑1 1 1 11 1 3 1 29 = 1× + 2 × + 6 × + 3 × = 8 4 8 4 8 E[ X (t 2 )] = ∑ x2 p( x2 , t 2 ) 1 1 3 1 21 = 5 × + 4 × + 2 × + 1× = 8 4 8 4 8

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第二章习题E[ X (t1 ) X (t 2 )] = ∑∑ x1 x 2 p ( x1 , x 2 , t1 , t 2 ) 1 1 3 1 63 = 1× 5 × + 2 × 4 × + 6 × 2 × + 3 × 1× = 8 4 8 4 8 1 p X ( x1 , x2 , t1 , t 2 ) = δ ( x1 1)δ ( x2 5) 8 1 3 + δ ( x1 2)δ ( x2 4) + δ ( x1 6)δ ( x2 2) 4 8 1 + δ ( x1 3)δ ( x2 1) 4Page 6 上海理工大学 2010-7-30

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第二章习题 2.9设随机过程X(t)为 X (t ) = A cos(ω 0 t ) + B sin(ω 0 t ) 式中,ω0 为常数,A和B是两个相互独立的高斯 E[ A] = E[ B] = 0 , [ A 2 ] = E[ B 2 ] = σ 2 , E 变量,而且

试求X(t)的均值和自相关函数 A ~ N (0, σ 2 ) B ~ N (0, σ 2 ) 解:已知E[ X (t )] = E[ A cos(ω0t ) + B sin(ω0t )] = E[ A cos(ω0t )] + E[ B sin(ω0t )] = E[ A] cos(ω0t ) + E[ B] sin(ω0t ) =0Page 7 上海理工大学 2010-7-30

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第二章习题R X (t1 , t 2 ) = E[ X (t1 ) X (t 2 )] = E{[ A cos(ω 0 t1 ) + B sin(ω 0 t1 )][ A cos(ω 0 t 2 ) + B sin(ω 0 t 2 )]} = E[ A 2 cos(ω 0 t1 ) cos(ω 0 t 2 ) + B 2 sin(ω 0 t1 ) sin(ω 0 t 2 )] = E[ A 2 ] cos(ω 0 t1 ) cos(ω 0 t 2 ) + E[ B 2 ] sin(ω 0 t1 ) sin(ω 0 t 2 ) = σ 2 [cos(ω 0 t1 ) cos(ω 0 t 2 ) + sin(ω 0 t1 ) sin(ω 0 t 2 )] = σ 2 cos[ω 0 (t1 t 2 )]

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第二章习题 2.10随机过程X(t)为 X (t ) = a cos(ω 0 t + Φ ) ,式中, a, ω0 为常数, 为 (0,2π ) 上均匀分布的随机变 Φ

量,求X(t)的均值,方差和自相关函数 解:根据定义,求得X(t)的均值,方差和自相 X(t) 关函数分别为E[ X (t )] = ∫ a cos(ω0t + )0 2π

1 d = 0 2π

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第二章习题D[ X (t )] = E

[ X 2 (t )] E 2 [ X (t )] = E[ X 2 (t )] 2π 1 2 = a ∫ cos 2 (ω 0 t + ) d 0 2π a 2 2π 1 + cos(2ω 0 t + 2 ) a2 = d = ∫0 2π 2 2

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第二章习题R (t , t + τ ) = E[a cos(ω 0 t + Φ )a cos(ω 0 (t + τ ) + Φ )] a2 = E[cos(ω 0τ ) + cos(2ω 0 t + ω 0τ + 2Φ )] 2 2π a2 1 d ] = [cos(ω 0τ ) + ∫ cos(2ω 0 t + ω 0τ + 2 ) 0 2 2π a2 = cos(ω 0τ ) 2

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第三章习题 3.2设随机过程X(t)为 X (t ) = A cos(ω 0 t + Φ ) ,式中,

A具有瑞利分布,其概率密度为p A (a) = a

σ

2

e

a2 2σ 2

,a > 0

的随机变量,ω 0 为常数,试问X(t)是否为平稳 过程 解:由题意可得Page 12 上海理工大学

Φ 在 (0,2π ) 上均匀分布, 与A是两个相互独立 Φ

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第三章习题E[ X (t ) = E[ A cos(ω0t + Φ)] = E[ A]E[cos(ω0t + Φ)] = E[ A]∫ a cos(ω0t + )0 2π

= E[ A] 0 = 0

1 d 2π

常数

RX (t , t + τ ) = E[ X (t ) X (t + τ )] = E[ A2 ]E[cos(ω0t + Φ ) cos(ω0 (t + τ ) + Φ )] 1 = E[ A ] cos(ω0τ ) 22

仅与时间间隔有关上海理工大学 2010-7-30

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第三章习题1 E[ X (t )] = E[ A2 ] < ∞ 22

综上,X(t)为平稳过程

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第三章习题 3.3设S(t)是一个周期为T的函数,随机变量 Φ

在(0,T)上均匀分布,称 X (t ) = S (t + Φ ) 为随相周 期过程,试讨论其平稳性(宽)及其各态历经 性(宽) 解:(1)平稳性 Φ 在(0,T)上均匀分布,其概率密度函数为1 ,0 < < T pΦ ( ) = T 0, 为其他值 Page 15 上海理工大学 2010-7-30

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第三章习题E[ X (t )] = ∫T 0

1 1 S (t + ) d = T T

∫

t +T

t

S (θ )dθ

由于S(t)为周期过程,它在一个周期内的积分 为常数,因此E[X(t)]为常数R X (t1 , t 2 ) = E[ X (t1 ) X (t 2 )] =∫T 0

1 S (t1 + )S (t 2 + ) d T

1 t1 +T = ∫ S (θ )S …… 此处隐藏：1723字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……