2011年高考数学一轮精品复习课件：第2章《函数与导数》——导数的应用

高中数学函数与导数

2011年高考数学一轮精 品复习课件：第2章《函 数与导数》——导数的 应用

高中数学函数与导数

学案12 导数的应用

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1.函数的单调性 在(a,b)内可导函数f(x),f′(x)在(a,b)任意子区间内

都不恒等于0.f′(x)≥0 f′(x)≤0 f(x)为 f(x)为 增函数 减函数 ; . 返回目录

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2.函数的极值

(1)判断f(x0)是极值的方法一般地,当函数f(x)在点x0处连续时, ①如果在x0附近的左侧, f′(x)>0 那么f(x0)是极大值. ②如果在x0附近的左侧 f′(x)<0 ,右侧 f′(x)>0 , 右侧 f′(x)<0 ,

那么f(x0)是极小值.(2)求可导函数极值的步骤 ①求f′(x); ②求方程 f′(x)=0 的根; 返回目录

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③考察在每个根x0附近,从左到右导函数f′(x)的符号

如何变化.如果左正右负,那么f(x)在x0处取得果左负右正,那么f(x)在x0处取得 3.函数的最值 极小值 .

极大值 ;如

(1)在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)在[a,b]上 必有最大值与最小值.

(2)若函数f(x)在[a,b]上单调递增,则 f(a) 为函数的最小值, f(b) 为函数的最大值;若函数f(x)在[a,b] 上单调递减,则 f(a) 为函数的最大值, 最小值. 返回目录 f(b) 为函数的

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(3)设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,求y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下:

①求函数y=f(x)在(a,b)内的 极值 ;②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)

比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.

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考点一 函数的单调性与导数 已知f(x)=ex-ax-1. (1)求f(x)的单调增区间; (2)若f(x)在定义域R内单调递增,求a的取值范围; (3)是否存在a,使f(x)在(-∞,0]上单调递减,在

[0,+∞)上单调递增?若存在,求出a的值;若不存在,说明理由. 返回目录

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【分析】 (1)通过解f′(x)≥0求单调递增区间; (2)转化为恒成立问题求a;

(3)假设存在a,则x=0为极小值点,或利用恒成立问题.【解析】 f′(x)=ex-a. (1)若a≤0,f′(x)=ex-a≥0恒成立,即f(x)在R上递增. 若a>0,ex-a≥0,∴ex≥a,x≥lna.

∴f(x)的单调递增区间为(lna,+∞).(2)∵f(x)在R内单调递增,∴f′(x)≥0在R上恒成立. ∴ex-a≥0,即a≤ex在R上恒成立. ∴a≤(ex)min,又∵ex>0,∴a≤0. 返回目录

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(3)解法一:由题意知ex-a≤0在(-∞,0]上恒成立. ∴a≥ex在(-∞,0]上恒成立. ∵ex在(-∞,0]上为增函数.

∴x=0时,ex最大为1.∴a≥1.同理可知ex-a≥0在[0,+∞)上恒成立. ∴a≤ex在[0,+∞)上恒成立. ∴a≤1,∴a=1. 解法二:由题意知,x=0为f(x)的极小值点.

∴f′(0)=0,即e0-a=0,∴a=1.

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【评析】利用导数研究函数的单调性比用函数单调性 的定义要方便,但应注意f′(x)>0(或f′(x)<0)仅是f(x)在某个区 间上为增函数(或减函数)的充分条件,在(a,b)内可导的函数 f(x)在(a,b)上递增(或递减)的充要条件应是f′(x)≥0[或 f′(x)≤0],x∈(a,b)恒成立,且f

′(x)在(a,b)的任意子区间内都 不恒等于0,这就是说,函数f(x)在区间上的增减性并不排斥 在区间内个别点处有f′(x0)=0,甚至可以在无穷多个点处 f′(x0)=0,只要这样的点不能充满所给区间的任何一个子区 间,因此,在已知函数f(x)是增函数(或减函数)求参数的取值 范围时,应令f′(x)≥0[或f′(x)≤0]恒成立,解出参数的取值范 围(一般可用不等式恒成立理论求解),然后检验参数的取值 能否使f′(x)恒等于0,若能恒等于0,则参数的这个值应舍去, 若f′(x)不恒为0,则由f′(x)≥0[或f′(x)≤ 0]恒成立解出的参数的取值范围确定.返回目录

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*对应演练*设函数f(x)=ax-(a+1)ln(x+1),其中a≥-1,求f(x)的单调区间.由已知得函数f(x)的定义域为(-1,+∞),且f′(x)= ax - 1 (a≥-1). x 1 (1)当-1≤a≤0时,由f′(x)<0知,函数f(x)在(-1,+ 递减. (2)当a>0时，由f′(x)=0,解得x= f′(x),f(x)随x的变化情况如下表： 返回目录1 . a

)上单调

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x f′(x) f(x)

(-1,

1 ) a

1 a

(

1 , ) a

↘

0极小值

+ ↗

从上表可知当x∈(-1, 调递减.1 a

)时，f′(x)<0,函数f(x)在(-1,

)上单

1 a

当x∈(

1 ,+∞)时,f′(x)>0,函数f(x)在( a

1 ,+∞)上单 a

调递增.综上所述: 当-1≤a≤0时,函数f(x)在(-1,+ ∞)上单调递减. 当a>0时,函数f(x)在(-1, +∞)上单调递增. 返回目录1 1 )上单调递减,f(x)在( a , a

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考点二

函数的极值与导数

已知函数f(x)=x5+ax3+bx+1,当且仅当x=-1,x=1时取得极值，且极大值比极小值大4. (1)求a,b的值; (2)求f(x)的极大值和极小值. 【分析】求出f′(x),依题意x=-1,x=1是 f′(x) =0的两根，得到a,b的方程，并判断出x=-1及x=1时所 取的极值是极大值还是极小值，从而建立y极大 –y 极小

=4的方程.联立解出a,b的值和极大、极小值.返回目录

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【解析】 (1)f(x)=x5+ax3+bx+1的定义域为R.

∴f′(x)=5x4+3ax2+b.∵x=〒1时有极值,∴5+3a+b=0.∴b=-3a-5.① 将①代入f′(x)得

f′(x)=5x4+3ax2-3a-5=5(x4-1)+3a(x2-1)=(x2-1)[5(x2+1)+3a] =(x+1)(x-1)[5x2+(3a+5)]. ∵f(x)仅在x=〒1时有极值, ∴5x2+(3a+5)≠0对任意x成立. ∴3a+5>0,5 …… 此处隐藏：1167字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……