研究生矩阵理论及其应用课后答案——黄有度

研究生矩阵理论课后答案——黄有度版习题一1.检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域的线性空间：(1)设 是 阶实数矩阵. 的实系数多项式 的全体,对于矩阵的加法和数乘; (2)平面上不平行于某一向量所组成的集合,对于向量的加法和数与向量的乘法;(3)全体实数的二元数列,对于如下定义的加法 和数乘 运算： (4)设 是一切正实数集合,定义如下加法和数乘运算：

研究生矩阵理论课后答案——黄有度版

习题一

1．检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域的线性空间： （1）设A是n阶实数矩阵.A的实系数多项式f(A)的全体，对于矩阵的加法和数乘；

（2）平面上不平行于某一向量所组成的集合，对于向量的加法和数与向量的乘法；

（3）全体实数的二元数列，对于如下定义的加法 和数乘运算：

(a,b) (c,d) (a c,b d ac),k (a,b) (ka,kb

k(k 1)2

a) 2

（4）设R是一切正实数集合，定义如下加法和数乘运算：

a b ab,ka ak

其中a,b R ,k R；

（5）二阶常系数非齐次线性微分方程的解的集合，对于通常函数的加法和数乘；

（6）设V xx c1sint c2sin2t

V中 cksinkt,ci R,0 t 2 ，

元素对于通常的加法与数乘，并证明： sint,sin2t,确定ci的方法.

解 （1）是.

,sinkt 是V的一个基，试

令V1 f(A)f(x)是实系数多项式，A为n n矩阵.由矩阵的加法和数乘运算知,

f(A) g(A) h(A),kf(A) d(A),

其中k为实数，f(x),h(x),d(x)是实系数多项式.V1中含有A的零多项式，为

V1的零元素.f(A)有负元 f(A) V1.由于矩阵加法与数乘运算满足其它各条，故V1关于矩阵加法与数乘运算构成实数域上的线性空间.

（2）否.例如以那个已知向量为对角线的任意平行四边形的两个邻边向

研究生矩阵理论课后答案——黄有度版习题一1.检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域的线性空间：(1)设 是 阶实数矩阵. 的实系数多项式 的全体,对于矩阵的加法和数乘; (2)平面上不平行于某一向量所组成的集合,对于向量的加法和数与向量的乘法;(3)全体实数的二元数列,对于如下定义的加法 和数乘 运算： (4)设 是一切正实数集合,定义如下加法和数乘运算：

量，它们的和不属于这个集合，因此此集合对向量的加法不封闭.

（3）是. 封闭性显然成立.下面证明此集合满足线性空间的八个要求.

任取该集合中的三个元素，设为 (a,b), (c,d), (f,g),以及任意实数k,l,则有

① (a c,b d ac) ; ② ( ) (a c,b d ac)

((a c) f,(b d ac) g (a c)f) (a (c f),b (d g cf) a(c f)) (c f,d f cf) ( );

③存在(0,0),使得

(a,b) (0,0) (a 0,b 0 a0) (a,b),

即(0,0)为零元;

④存在( a,a b),使得

2

(a,b) ( a,a2 b) (a a,b (a2 b) a( a)) (0,0),

即( a,a b)是(a,b)的负元;

2

1(1 1)2

a) (a,b) 2

l(l 1)2

a) ⑥k (l ) k (l (a,b)) k (la,lb 2

l(l 1)2k(k 1)

(k(la),k(lb a) (la)2)

22kl(kl 1)2

(kla,(kl)b a) (kl) (a,b) (kl) ;

2

(k l)((k l) 1)2

a) ⑦(k l) (k l) (a,b) ((k l)a,(k l)b

2

k(k 1)2l(l 1)2

(ka la,(kb a) (lb a) (ka)(la))

22

⑤1 (a,b) (1a,1b

研究生矩阵理论课后答案——黄有度版习题一1.检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域的线性空间：(1)设 是 阶实数矩阵. 的实系数多项式 的全体,对于矩阵的加法和数乘; (2)平面上不平行于某一向量所组成的集合,对于向量的加法和数与向量的乘法;(3)全体实数的二元数列,对于如下定义的加法 和数乘 运算： (4)设 是一切正实数集合,定义如下加法和数乘运算：

(ka,kb

k(k 1)2l(l 1)2

a) (la,lb a) 22

k (a,b) l (a,b) k l ;

⑧k ( ) k (a c,b d ac)

k(k 1)

(a c)2) 2

k(k 1)2k(k 1)2

(ka kb,(kb a) (kd c) (ka)(kc))

22

k(k 1)2k(k 1)2

(ka,kb a) (kc,kd c)

22 (k(a b),k(b d ac)

(k ) (k ).

（4）是.对任意a，b∈R+，有a b ab R；又对任意k R和a R，有k a a R，即R+对所定义的加法与数乘运算封闭。

下面来检验R+对于这两种运算满足线性空间的八条运算律：

①a b ab ba b a

②(a b) c (ab) c (ab)c a(bc) a (b c) ③1是零元素：a 1 a 1 a ④a的负元素是a：a a⑤1 a a a

⑥k (l a) k a (a) a⑦(k l) a a

k l

l

lk

lk

1

1

1

k

aa 1 1

(lk) a

akal ak al (k a) (l a)

k

k

k

⑧k (a b) k (ab) (ab) ab (k a) (k b) 所以R+对这两种运算构成实数域R上的线性空间.

（5）否.设V2 y(x)y a1y a0y f(x),f(x) 0，则该集合对函数的加法和数乘均不封闭.例如对任意的y1,y2 V2,y1 y2 V2.故不构成线性空

研究生矩阵理论课后答案——黄有度版习题一1.检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域的线性空间：(1)设 是 阶实数矩阵. 的实系数多项式 的全体,对于矩阵的加法和数乘; (2)平面上不平行于某一向量所组成的集合,对于向量的加法和数与向量的乘法;(3)全体实数的二元数列,对于如下定义的加法 和数乘 运算： (4)设 是一切正实数集合,定义如下加法和数乘运算：

间.

（6）是.集合V对函数的加法和数乘显然封闭.零函数是V的零元素；对任意的x c1sint c2sin2t cksinkt，

x c1sint c2sin2t cksinkt是其负元素.由于函数的加法与数乘运算

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