电路理论基础(哈尔滨工业大学陈希有第3版)10
时间：2026-01-15
第十章 线性动态电路暂态过程的时域分析提要 动态电路的暂态过程分析是电路理论的重要内容，本章讨论线性动态电路暂态过程的时域分析。首先介绍动态电路的暂态过程，建立时 域分析法的基本思路。然后重点介绍求解一阶电路的三要素法及其相关 概念。其次讨论卷积积分及二阶电路在不同条件下解的特点。最后简要 介绍状态方程的概念。
本章目次
1 动态电路的暂态过程 2 电路量的初值 3 一阶电路的零输入响应 4 阶跃函数和冲激函数
6 一阶电路的全响应 7 求一阶电路暂态过程解的三要素公式 8 卷积积分 9 二阶电路的暂态过程
5 一阶电路的零状态响应
10 状态变量分析法
10.1
动态电路的暂态过程
基本要求：了解动态电路暂态过程及时域分析的基本概念。 R2
US
t 0
R
iC
uC US
t 0
R1
u2
(a)
(b)
动态电路uC
换路
直 接 跃 变u2
电阻电路
US O tR2U S R1 R2
O
t
稳态
暂态(a)
稳态
稳态
稳态(b)
无过渡过程
图示电路换路后的KVL方程为
Ri (t ) uC (t ) U S , t 0式中 代入上式，得
du (t ) i (t ) C C dt duC RC uC U S dt
US
t 0
R
iC
uC
RC充电电路
初始值 u(0+)、i(0+) 、q(0+) 、 (0+)
换路之后，电路量将从其初始值开始变动。时域分析法(time domain analysis) 以时间为主变量列写电路的微分方程并确定初始条件，通过求解微分方
程获得电压、电流的时间函数(变化规律)。
10.2
电路量的初始值
基本要求：熟练计算电路量的初始值。
1 电容电压uC和电感电流iL初始值的确定 设在线性电容上电压和电流参考方向相同，则有
q(t ) CuC (t ) iC ( )d
t
电容电荷的初始值可表示为
q(0 ) CuC (0 ) iC ( )d iC ( )d iC ( )d 0
0
0
0
式中等号右端第一项积分表示t=0-时的电荷q(0-), 故
q(0 ) CuC (0 ) q(0 ) iC ( )d 0
0
若在t=0瞬间电容电流有界，则上式积分项必为零，于是得到
q(0 ) q(0 )应用对偶原理有：
uC (0 ) uC (0 )换路定律
Ψ (0 ) Ψ (0 )
iL (0 ) iL (0 )
2 除uC 、 iL之外各电压电流初始值的确定 依据电路的结构约束和元件约束，在t=0+瞬间有： KVL KCL
u(0 ) 0 i(0 ) 0
电阻元件 u R (0 ) Ri R (0 ) 或 iR (0 ) GuR (0 ) 电感元件 iL (0 ) iL (0 ) 电容元件 uC (0 ) uC (0 ) 在 t=0+ 瞬间 电容相当于电压源； 电感相当于电流源。
于是电路将成为电阻电路，可用分析直流电路的各种方法来求解。
例题
10.1
图(a)所示电路，在t<0时处于稳态， t=0时开关接通。求初始值
iL(0+) 、 uC(0+) 、 u1(0+) 、 uL(0+)及 iC(0+) 。4
uL S (t 0 ) 6 2 u1
iC
4
u L (0 )
iC (0 )
L
iL
iL (0 )uC (0 )
12 V
Ci2
uC
12V 2
u1 (0 ) 6
i2 (0 )
解
(a)
(b)
开关在接通之前，电路是直流稳态。于是求得 12V iL (0 ) 1.2A uC (0 ) 6 iL (0 ) 7.2V (4 6)
由换路定律得 iL (0 ) iL (0 ) 1.2A
uC (0 ) uC (0 ) 7.2V
1 1 12V ( )u1 (0 ) i L (0 ) 4 2 4 uL (0 ) u1 (0 ) uC (0 ) 4.8V 根据KVL和KCL求得 u1 (0 ) 2.4V uC ( 0 ) iC (0 ) iL (0 ) i2 (0 ) iL (0 ) 0 6
根据上述结果，画出t=0+时的等效电路如图(b)。对其列节点电压方程：
10.3
一阶电路的零输入响应
基本要求：掌握一阶电路零输入响应的计算，理解时间常数的含义。
一阶电路(first-order circuit):可用一阶常微分方程描述的电路。 零输入响应(zero-input response):仅由储能元件原始储能引起的响应。 1 RC电路的零输入响应b a
S (t 0 )
R
C
uC
U0
t>0
uR R
iC
C
uC
(a) RC电路的零输入响应
(b)
根据KVL列出t>0时电路的微分方程：
duC u R uC RiC uC RC uC 0 dt
根据换路定律
uC (0 ) uC (0 ) U 0
uR R
iC
C
du u R uC RiC uC RC C uC 0 dt特征方程RCp 1 0
uC
RC电路的零输入响应
特征根p 1 RCt uC duC U 0 RC iC C e R dt R
(t 0)
通解
uC Ae Aept
t RC
代入初值
uC (0 ) Ae 0 A U 0
uC uC (0 )e
t RC
U 0e
-
t RC
t 0
uC uC (0 )e
t RC
U 0e
t RC
t 0
t uC duC U 0 RC iC C e R dt R
(t 0)
uC
iC
U0
U0 R
t
tO
O
(a)
(b)
uC 和 iC 的变化曲线
可见uC和iC的衰减速率取决于RC之积 。令
RC tuC(t) 0 U0 对放电时间的影响
时间常数 (单位s)
2
3
4
5 0.007U0
… …
0
0.368U0 0.135U0 0.05U0 0.018U0
对放电时间的影响——经过 3 5 的时间,放电基本结束。
时间常数 的理解 C越大2 wC CuC / 2
越大
R越大2 p uR / R
iCR
C
uR
uC
电容储能越多 放电时间越长
电阻消耗功率越小
RC电路的零输入响应
uC
放电过程中的能量传递 电阻所消耗的能量
U0
0.368U 0t
0
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