暑期班第4讲.指数运算与指数函数.学生版

第4讲

指数运算与指数函数

高考要求

知识精讲

板块一：指数,指数幂的运算 （一）知识内容

1．整数指数

⑴ 正整数指数幂：an a a a，是n个a连乘的缩写（n N ），an叫做a的n次幂，a叫做幂的底数，n叫做幂的指数，这样的幂叫做正整数指数幂．

⑵整数指数幂：规定：a0 1(a 0)，a n 2．分数指数

1

(a 0,

n N )． an

⑴ n次方根：如果存在实数x，使得

xn a(a R,n 1,n N

)，那么x

叫做a的n次方根． ⑵ 求a的n次方根，叫做a开n次方，称做开方运算．

① 当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数．这时，a的

n表示．

②

当n是偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数．正数a的正、负

n

可以合并写成a 0)

．

⑶正数a的正n次方根叫做a

的n次算术根．

负数没有偶次方根．0的任何次方根都是00．

n叫做根指数，a

3．根式恒等式：

aa≥0

．

n a；当n a；当n|a|

a a 0

4．分数指数幂的运算法则 ⑴正分数指数幂可定义为：a a m a 0,n,m N ,且

m

n

1n

(a 0)

m

为既约分数) n

m

为既约分数) n

⑵负分数指数幂可定义为：a

mn

1a

mn

(a 0,n,m N ,且

5．整数指数幂推广到有理指数幂的运算性质： ⑴aras ar s

(a 0,r,s Q) ⑵(ar)s ars(a 0,r,

s Q) ⑶(

ab)r arbr(a 0,b 0,r Q)

6．n次方根的定义及性质：n为奇数时a，n为偶数时 a． 7． amn

a

mn

（a 0，m,n N*，且n 1）

零的正分数指数幂为0，0的负分数指数幂没有意义．

r

br（其中a,b 0，r,s R） 8．指数的运算性质：ar as ar s， ab ar

9．无理数指数幂

⑴ 无理指数幂a (a

0, 是无理数）是一个确定的实数． ⑵ 有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．

10．一般地，当a 0， 为任意实数值时，实数指数幂a 都有意义．

对任意实数 ， ，上述有理指数幂的运算法则仍然成立．

（二）典例分析

【例1】 求下列各式的值：

⑴

12

⑶

5

； ⑷

3

a b)；⑸

．

16 4 1

⑹8；⑺25；⑻ ；⑼ ．

81 2

2

3

【例2】 计算下列各式：

11

4

4a 3ab3

(

a,b 0)． ⑴

⑵ 21

6a2b3

14

【例3】 用分数指数幂表示下列各式（其中各式字母均为正数）：

⑴；⑵

；⑶． 5 m4

【例4】 a的取值范围是（ ）

A．a R B．a

111 C．a D．a≤

222

【例

5】 设a b

，ca，b，c的大小关系是（ ）

【例6】 设 a

【例7】 若f(x)

【例8】 已知x2 x 1 0，求x8

x2008 2008

2

1n

1n

(n N )，那么a)n的值是（ ）

，求 f(

i 1

1000

i) 1001

7

的值． x4

【例9】 下列判断正确的有

②有理数的无理数次幂一定是无理数 ④无理数的无理数次幂一定是无理数 C．1个

D．0个

①有理数的有理数次幂一定是有理数 ③无理数的有理数次幂一定是有理数 A．3个

B．2个

板块二：指数函数及其性质

（一）知识内容

1．指数函数：一般地，函数y ax(a 0，a 1，x R)叫做指数函数． 2．指数函数的图象和性质对比

3．y ax（a 0且a 1）的图象特征：

； a 1时，图象像一撇，过点 0,1 ，且在y轴左侧a越大，图象越靠近y轴（如图1）； 0 a 1时，图象像一捺，过点 0,1 ，且在y轴左侧a越小，图象越靠近y轴（如图2）

． y ax与y a x的图象关于y轴对称（如图3）

图1 图2 图3

（二）主要方法：

1．指数方程，指数不等式：常要转化为同底数的形式，在利用指数函数的单调性求解； 2．确定与指数有关的函数的单调性时，常要注意针对底数进行讨论； 3．要注意运用数形结合思想解决问题．

（三）典例分析：

【例

10】 已知a b c 1，比较下列各组数的大小：

1 1

①a___a；② ；③ab___ac；④ba__ca．

a a

b

c

b

c

1

1

【例11】 （2009

年江苏卷）已知a

，函数f(x) ax，若实数m，n满足f(m) f(n)，则m，n的大小关系为 ．

【例12】 图中的曲线是指数函数y ax的图象，已知a取

413

,,四个值，则相应于曲线c1,c2,c3,c4的a依3105

次为_______________．

【例13】 求下列函数的定义域、值域

1

x 1

⑴y 2

； ⑵y 3 x； ⑶y 0.51 2x x

2

板块三：指数函数和其它函数的运算与复合

（一）知识内容：

复合函数的单调性与奇偶性，重点研究学生熟悉的二次函数的复合，复合函数单调性的判断是重点也是难点．

1．和差函数的单调性

两个增函数（或减函数）的和仍为增函数（或减函数），一个增函数（或减函数）减去一个减函数（或增函数），结果是一个增（或减）函数． 2．复合函数f[g(x)]的奇偶性、单调性有如下规律：

值得注意的是，当且仅当外层函数f(u)的定义 …… 此处隐藏：2154字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……