华东师大版八年级(上册)

第14章 勾股定理

14.1 勾股定理(第3课时)

直角三角形的判定

古埃及人曾用下面的方法得到直角： 他们用13个等距离的结把一根绳子分 成等长的12段，一个工匠同时握住第 一个结和第13个结，两个助手分别握 住第4个结和第8个结，拉紧绳子，就 会得到一个直角三角形，其直角在第 4个结处。

做一做

下列的五组数分别是一个三角形的三边长a,b,c: ①3,4,5; ②6,8,10;③5,12,13; ④7,24,25; ⑤ 8,15,17

(1)这三组数都满足a2+b2=c2吗？

(2)分别以每组数为三边作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？

如果三角形的三边长a,b,c 满足a2+b2=c2,那么这个三角形是 直角三角形。其中满足a2+b2=c2的三个正整数，

称为勾股数。

常 见 勾 股 数

3、4、5 5、12、137、24、25 8、15、17 9、40、41

12、35、3716、63、65

20、21、29 20、99、101 28、45、53 33、56、65 36、77、85

11、60、6113、84、85

例1 一个零件的形状如图1所示，按规定这 个零件中，∠A和∠DBC都应为直角，工人师 傅量得这个零件各边尺寸如图2所示，这个 零件符合要求吗？D C D

13

C

4图1 B A 3

5B 图2

12

A

解：∵在△ABD中，AB2+AD2=9+16=25=BD2 ∴△ABD是直角三角形，∠A是直角 ∵在△BCD中，BD2+BC2=25+144=169=CD2 ∴△BCD是直角三角形，∠DBC是直角 因此这个零件符合要求

随 堂 练 习1、下列几组数是勾股数的为( (A)9,12,19 (C)7,25,24 )。

(B)1.5,2,2.5 (D)12,18,22

2、一艘帆船在海上航行，由于风向的原 因，帆船先向正东方向航行9千米，然后 向正北方向航行40千米，这时它离开出 发点_________千米。

随 堂 练 习

4、下列几组数能否作为直角三角形的三 边长？说说你的理由。 (1)9,12,15; (2)15,36,39; (3)12,35,36; (4)12,18,22。 5、判断下列哪组数是勾股数： (1)6,7,8; (2)8,15,6;

√

√

(3)a=n2-1,b=2n,c=n2+1 (n>1) (4)a=m2-n2,b=2mn,c=m2+n2 (m>n>0)

√ √

例2 一小船先向正南行进了80米到另一小 船处借东西，之后又向正东行进了150米， 北 此时它距出发地多少米？西

东 80米

解：设它距出发地x米， 由勾股定理得： x2=802+1502=28900=1702, 解得：x=170 此时小船距出发点170米.

150米南

例3 如图，四边形ABCD中，AB⊥AD,已知 AD=3cm,AB=4cm,CD=12cm,BC=13cm,求四 边形ABCD 的面积。

解：连接BD,在Rt△ABD中， 由勾股定理，得BD=5cm. 又因为在△ BDC中，三边分别是5, 12,13,满足勾股定理的逆定理， 所以△ BDC是直角三角形。

S四边形ABCD S ABD S BDC

1 1 3 4 5 12 2 2

6 30 36 因此四

边形ABCD的面积为36平方厘米

拓展演练1、如果三角形的三条线段a,b,c满足a2=c2-b2,这个三 角形是直角三角形吗？为什么？2、如果将直角三角形的三条边长同时扩大一个相同的倍 数，得到的三角形还是直角三角形吗？填写下表，并计 算第一列每组数是否为勾股数，她们的2倍、3倍、4倍、 10倍呢？2倍3,4,5 5,12,13 8,15,17 7,24,25 6,8,10 10,24,26 16,30,34 14,48,50

3倍9,12,15 15,36,39 24,45,51 21,72,75

4倍12,16,20 20,48,52 32,60,6828,96,100

10倍30,40,5050,120,130 80,150,170

70,240,250

3、将一根长为24个单位的绳子，分别标出A, B,C,D四个点，它们将绳子分成长为6个单 位、8个单位和10个单位的三条线段，自己 握住绳子的两个端点(A点和D点),两名同 伴分别握住B点和C点，一起将绳子拉直，会 得到一个什么形状的三角形？为什么？10 直角三角形

6 8

因为三边满足勾股定理.

4、假期中，王强和同学到某海岛上去探宝旅游，按照探宝图(如图),他们登陆后先往东走8千米，又往北走2千米，遇 到障碍后又往西走3千米，再折向北走到6千米处往东一拐， 仅走1千米就找到了宝藏，问登陆点A到宝藏埋藏点B的直线距 1 离是多少千米？ B 6 3 2 A 8 C

BC=6+2=8 AC=8-3+1=6

AB2=AC2+BC2=36+64=100 ∴ AC=10(千米)

说说你的收获……

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