第17章

动能定理

17.1力的功17.1.1 常力的功 设物体在常力F作用下沿直线走过路程s,如图， 则力所作的功W定义为

W F cos s F s功是代数量。它表示力在一段路程上的累积作用效应， 因此功为累积量。在国际单位制中，功的单位为： J (焦耳), 1J=1 N· m。

17.1 力的功17.1.2 变力的功 设质点M在变力F的作用下沿曲线运动，如图。 力 F 在微小弧段上所作的功称为力的元功 , 记为 dW, 于是有

δW F cos d s力在全路程上作 的功等于元功之和 M M1

ds dr

M'

F

M2

W F cos ds0

s

上式称为自然法表示的功的计算公式。

17.1 力的功上两式可写成矢量点乘积形式

δW F dr在直角坐标系中

W

M2

M1

F dr

称为矢径法表示的功的计算公式。

F Fx i Fy j Fz k , dr dxi dy j dz k

δW Fxdx Fy dy Fz dz

W

M2

M1

( Fx dx Fy dy Fz dz)

上式称为直角坐标法表示的功的计算公式，也称为功 的解析表达式。

17.1 力的功17.1.3 常见力的功 1) 重力的功设质点的质量为 m ,在重力 作用下从M1运动到M2。建立如图 坐标，则 z M1 z1 O M mg M2 z2 y

Fx 0, Fy 0, Fz mg代入功的解析表达式得

x

W12 ( mg )dz mg ( z1 z2 )z1

z2

17.1 力的功对于质点系，其重力所作的功为

W12 mi g ( zi1 zi 2 ) ( mi zi1 mi zi 2 ) g ( MzC1 MzC 2 ) g Mg ( zC1 zC 2 )由此可见，重力的功仅与重心的始末位置有关，而与 重心走过的路径无关。

17.1 力的功2) 弹力的功 物体受到弹性力 的作用 , 作用点的轨 迹 为 图 示 曲 线 A1A2, 在弹簧的弹性极限内 , 弹性力的大小与其变 形量 d 成正比。设弹 簧原长为 l0 , 则弹性 力为A1 r1 l0 Fd

A0A dr

r r0 O r2 A2

F k (r l0 )r0W12 F dr = k (r l0 )r0 drA 1 A 1 A2 A2

17.1 力的功因为r 1 1 2 r0 dr dr d(r r ) dr dr r 2r 2r

于是

W12 或

r2

r1

1 2 2 k (r l0 )dr k ( r l ) ( r l ) 1 0 2 0 2

1 2 2 W12 k (d 1 d 2 ) 2

弹性力作的功只与弹簧在初始和末了位置的变形量有 关，与力的作用点A的轨迹形状无关。

17.1 力的功3) 定轴转动刚体上作用力的功设作用在定轴转动刚体上A点的力为F, 将该力分解为Ft、Fn和Fb,当刚体转动时，转角j与弧长s的关系为z F

Ft F cos ds Rdj

Fb O1 Fn r O

A

Ft

R 为力作用点 A 到轴的垂距。力 F 的元 功为

δW F dr = Ft d s Ft Rdj M z dj力F在刚体从角j1转到j2所作的功为

W12 M z djj1

j2

Mz可视为作用在刚体上的力偶

17.1 力的功17.1.4 理想约束及内力作功 对于光滑固定面和一端固定的绳索等约束，

其约束力 都垂直于力作用点的位移，约束力不作功。 光滑铰支座和固定端约束，其约束力也不作功。

光滑铰链(中间铰链)、刚性二力杆及不可伸长的细绳 作为系统内的约束时，约束力作功之和等于零。 滑动摩擦力作负功。 当轮子在固定面上只滚不滑时，滑动摩擦力不作功。

变形元件的内力(气缸内气体压力、弹簧力等)作功； 刚体所有内力作功的和等于零。

17.2 质点和质点系的动能1. 质点的动能 设质点的质量为m,速度为v,则质点的动能为

1 2 T mv 2动能是标量，在国际单位制中动能的单位是焦耳(J)。

2. 质点系的动能 质点系内各质点动能的算术和称为质点系的动 能，即

1 2 T mi vi 2

17.2 质点和质点系的动能刚体是工程实际中常见的质点系，当刚体的运动 形式不同时，其动能的表达式也不同。 (1) 平动刚体的动能

1 1 2 1 2 2 T mi vi vC mi Mv C 2 2 2(2) 定轴转动刚体的动能

1 1 2 2 2 T mi vi mi ri 2 2 1 2 1 2 mi ri J z 2 2 2

17.2 质点和质点系的动能(3) 平面运动刚体的动能 1 T J P 2 2 2 因为JP=JC + md 所以 C

P

1 1 1 2 2 2 T ( J C md ) J C m(d ) 2 2 2 2 因为d· =vC ,于是得

1 2 1 2 T mv C J C 2 2平面运动刚体的动能等于随质心平动的动能与绕 质心转动的动能的和。

牢记均质圆盘在地面上作纯滚动时的动能:

C

vC

1 2 1 T mvC J C 2 2 21 J C mR 2 , vC R 2

3 2 T mvC 4

例1 均质细杆长为l,质量为m,上端B靠在光滑的墙上，下 端A用铰与质量为M半径为R且放在粗糙地面上的圆柱中心相 连，在图示位置圆柱作纯滚动，中心速度为v,杆与水平线的 夹角 =45o,求该瞬时系统的动能。 I B 解： T总 TA TAB C

3 TA Mv 2 4I 为AB杆的瞬心

v

A

v IA1 2 l 1 2 J I ml m ml 12 2 32

v l sin

TAB

2 1 mv 1 1 2 2 2 J I AB mv T 9 M 4 m v 总 12 2 6sin 2 3

例2 长为l,重为P的均质杆OA由球铰链 O固定，并以等角速度 绕铅直线转动， 如图所示，如杆与铅直线的交角为 a , 求杆的动能。解：取出微段dr到球铰的距离为r,该微段的速度是

O

aC PO1

r

微段的动能

vr O1B r sin a P 1 d m d r 微段的质量 l g2 2 1 P r 2 d T d m vr sin 2 a d r 2 2 gl

dr B A

杆OA的动能是2 2 P 2 r 2 Pl 2 T dT sin a d r sin 2 a 0 0 2 gl 6g l l