高等数学复旦大学出版第三版下册课后答案习题全

习题七

1. 在空间直角坐标系中，定出下列各点的位置：

A(1,2,3); B(-2,3,4); C(2,-3,-4); D(3,4,0); E(0,4,3); F(3,0,0).

解：点A在第Ⅰ卦限；点B在第Ⅱ卦限；点C在第Ⅷ卦限；

点D在xOy面上；点E在yOz面上；点F在x轴上.

2. xOy坐标面上的点的坐标有什么特点？yOz面上的呢？zOx面上的呢？ 答: 在xOy面上的点，z=0;

在yOz面上的点，x=0; 在zOx面上的点，y=0.

3. x轴上的点的坐标有什么特点？y轴上的点呢？z轴上的点呢？ 答：x轴上的点，y=z=0;

y轴上的点，x=z=0;

z轴上的点，x=y=0.

4. 求下列各对点之间的距离： （1） （0，0，0），（2，3，4）； （2） （0，0，0）， （2，-3，-4）； （3） （-2，3，-4），（1，0，3）； （4） （4，-2，3）， （-2，1，3）. 解：（1

）s

(2) s

(3) s

(4) s

.

5. 求点（4，-3，5）到坐标原点和各坐标轴间的距离.

解：点(4，-3，5)到x轴，y轴，z轴的垂足分别为（4，0，0），（0，-3，0），（0，0，5）. 故

s0

2

sx

sy

sz 5.

6. 在z轴上，求与两点A（-4，1，7）和B（3，5，-2）等距离的点.

解：设此点为M（0，0，z），则

( 4)2 12 (7 z)2 32 52 ( 2 z)2

解得 z

14

9

14）. 9

即所求点为M（0，0，

7. 试证：以三点A（4，1，9），B（10，-1，6），C（2，4，3）为顶点的三角形是等腰直角三角形.

证明：因为|AB|=|AC|=7.且有 |AC|2+|AB|2=49+49=98=|BC|2. 故△ABC为等腰直角三角形. 8. 验证：(a b) c a (b c). 证明：利用三角形法则得证.见图

7-1

图7-1

9. 设u a b 2c, v a 3b c.试用a, b, c表示2u 3v. 解：

2u 3v 2(a b 2c) 3( a 3b c)

2a 2b 4c 3a 9b 3c 5a 11b 7c

10. 把△ABC的BC边分成五等份，设分点依次为D1，D2，D3，D4，再把各分点与A连接，

AB cBC a试以，表示向量D1A,D2A,D3A和D4A.

1解：D1A BA BD1 c a

5

2D2A BA BD2 c a

5

3D3A BA BD3 c a

5

4D4A BA BD4 c a.

5

11. 设向量OM的模是4，它与投影轴的夹角是60°，求这向量在该轴上的投影.

解：设M的投影为M ，则

1

PrjuOM OMcos60 4 2.

2

12. 一向量的终点为点B（2，-1，7），它在三坐标轴上的投影依次是4，-4和7，求这向量的起点A的坐标.

解：设此向量的起点A的坐标A(x, y, z)，则

AB {4, 4,7} {2 x, 1 y,7 z}

解得x=-2, y=3, z=0

故A的坐标为A(-2, 3, 0).

13. 一向量的起点是P1（4，0，5），终点是P2（7，1，3），试求：

（1） PP12在各坐标轴上的投影； （2） PP12的模；

（3） PP12的方向余弦； （4） PP12方向的单位向量.

解：（1）ax PrjxPP12 3,

ay PrjyPP12 1,

az PrjzPP12 2.

(2) PP

12

x(3) cos

a

PP12

cos

ay

PP12

a

z

cos

PP12

PP12

(4) e0 j. PP12

14. 三个力F1=(1,2,3), F2=(-2,3,-4), F3=(3,-4,5)同时作用于一点. 求合力R的大小和方向余弦.

解：R=（1-2+3，2+3-4，3-4+5）=（2，1，4）

|R

| cos

cos cos 15. 求出向量a= i +j+k, b=2i-3j+5k和c =-2i-j+2k的模，并分别用单位向量ea,eb,ec来表达向量a, b, c.

解：|a

| |b

| |c

| 3

a a, b b, c 3ec.

16. 设m=3i+5j+8k, n=2i-4j-7k, p=5i+j-4k,求向量a=4m+3n-p在x轴上的投影及在y轴上的分向量.

解：a=4(3i+5j+8k)+3(2i-4j-7k)-(5i+j-4k)=13i+7j+15k 在x轴上的投影ax=13,在y轴上分向量为7j.

17.解：设a {ax,ay,az}则有

a i

cos ax(a 1,i 1)

3a i

求得ax

设a在xoy面上的投影向量为b则有b {ax,ay,0}

a b22

则cos

4a b22

则ay

1

. 2

222

又a 1,则ax ay az 1

11 求得ay 42

1111

从而求得a ,, 或{, ,

222222

18. 已知两点M1（2，5，-3），M2（3，-2，5），点M在线段M1M2上，且M1M 3MM2，

求向径OM的坐标.

解：设向径OM={x, y, z}

M1M {x 2,y 5,z 3}

MM2 {3 x, 2 y,5 z}

因为，M1M 3MM2

11 x 4x 2 3(3 x)

1

所以， y 5 3( 2 y) y

4 z 3 3(5 z)

z 3

111

故OM={, ,3}.

44

236

19. 已知点P到点A（0，0，12）的距离是7，OP的方向余弦是,,，求点P的坐标.

777

22

22

解：设P的坐标为（x, y, z）, |PA| x y (z 12) 49

得x y z 95

24z

2

2

2

cos

6570

z1 6, z2

749

2190

x1 2, x2

749

又cos

cos

3285

y1 3, y2

749

190285570

,,）. 494949

故点P的坐标为P（2，3，6）或P（20. 已知a, b的夹角

2π

，且a 3,b 4，计算： 3

2π1

3 4 3 4 6 32

(1) a·b; (2) (3a-2b)·(a + 2b). 解：（1）a·b =cos |a| |b| cos

(2) (3a 2b) (a 2b) 3a a 6a b 2b a 4b b

3|a|2 4a b 4|b|2

3 3 4 ( 6) 4 16

2

61.

21. 已知a =(4,-2, 4), b=(6,-3, 2),计算：

（1）a·b; (2) (2a-3b)·(a + b)； （3）|a b| 解：（1）a b 4 6 ( 2) ( 3) 4 2 38 (2) (2a 3b) ( …… 此处隐藏：8067字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……