高等数学复旦大学出版第三版下册课后答案习题全

发布时间：2024-10-18

习题七

1. 在空间直角坐标系中，定出下列各点的位置：

A(1,2,3); B(-2,3,4); C(2,-3,-4); D(3,4,0); E(0,4,3); F(3,0,0).

解：点A在第Ⅰ卦限；点B在第Ⅱ卦限；点C在第Ⅷ卦限；

点D在xOy面上；点E在yOz面上；点F在x轴上.

2. xOy坐标面上的点的坐标有什么特点？yOz面上的呢？zOx面上的呢？答: 在xOy面上的点，z=0;

在yOz面上的点，x=0; 在zOx面上的点，y=0.

3. x轴上的点的坐标有什么特点？y轴上的点呢？z轴上的点呢？答：x轴上的点，y=z=0;

y轴上的点，x=z=0;

z轴上的点，x=y=0.

4. 求下列各对点之间的距离：（1）（0，0，0），（2，3，4）；（2）（0，0，0），（2，-3，-4）；（3）（-2，3，-4），（1，0，3）；（4）（4，-2，3），（-2，1，3）. 解：（1

）s

(2) s

(3) s

(4) s

5. 求点（4，-3，5）到坐标原点和各坐标轴间的距离.

解：点(4，-3，5)到x轴，y轴，z轴的垂足分别为（4，0，0），（0，-3，0），（0，0，5）. 故

sz 5.

6. 在z轴上，求与两点A（-4，1，7）和B（3，5，-2）等距离的点.

解：设此点为M（0，0，z），则

( 4)2 12 (7 z)2 32 52 ( 2 z)2

解得 z

14）. 9

即所求点为M（0，0，

7. 试证：以三点A（4，1，9），B（10，-1，6），C（2，4，3）为顶点的三角形是等腰直角三角形.

证明：因为|AB|=|AC|=7.且有 |AC|2+|AB|2=49+49=98=|BC|2. 故△ABC为等腰直角三角形. 8. 验证：(a b) c a (b c). 证明：利用三角形法则得证.见图

7-1

图7-1

9. 设u a b 2c, v a 3b c.试用a, b, c表示2u 3v. 解：

2u 3v 2(a b 2c) 3( a 3b c)

2a 2b 4c 3a 9b 3c 5a 11b 7c

10. 把△ABC的BC边分成五等份，设分点依次为D1，D2，D3，D4，再把各分点与A连接，

AB cBC a试以，表示向量D1A,D2A,D3A和D4A.

1解：D1A BA BD1 c a

2D2A BA BD2 c a

3D3A BA BD3 c a

4D4A BA BD4 c a.

11. 设向量OM的模是4，它与投影轴的夹角是60°，求这向量在该轴上的投影.

解：设M的投影为M ，则

PrjuOM OMcos60 4 2.

12. 一向量的终点为点B（2，-1，7），它在三坐标轴上的投影依次是4，-4和7，求这向量的起点A的坐标.

解：设此向量的起点A的坐标A(x, y, z)，则

AB {4, 4,7} {2 x, 1 y,7 z}

解得x=-2, y=3, z=0

故A的坐标为A(-2, 3, 0).

13. 一向量的起点是P1（4，0，5），终点是P2（7，1，3），试求：

（1） PP12在各坐标轴上的投影；（2） PP12的模；

（3） PP12的方向余弦；（4） PP12方向的单位向量.

解：（1）ax PrjxPP12 3,

ay PrjyPP12 1,

az PrjzPP12 2.

(2) PP

x(3) cos

PP12

cos

PP12

cos

PP12

(4) e0 j. PP12

14. 三个力F1=(1,2,3), F2=(-2,3,-4), F3=(3,-4,5)同时作用于一点. 求合力R的大小和方向余弦.

解：R=（1-2+3，2+3-4，3-4+5）=（2，1，4）

| cos

cos cos 15. 求出向量a= i +j+k, b=2i-3j+5k和c =-2i-j+2k的模，并分别用单位向量ea,eb,ec来表达向量a, b, c.

解：|a

| |b

| |c

| 3

a a, b b, c 3ec.

16. 设m=3i+5j+8k, n=2i-4j-7k, p=5i+j-4k,求向量a=4m+3n-p在x轴上的投影及在y轴上的分向量.

解：a=4(3i+5j+8k)+3(2i-4j-7k)-(5i+j-4k)=13i+7j+15k 在x轴上的投影ax=13,在y轴上分向量为7j.

17.解：设a {ax,ay,az}则有

a i

cos ax(a 1,i 1)

3a i

求得ax

设a在xoy面上的投影向量为b则有b {ax,ay,0}

a b22

则cos

4a b22

则ay

. 2

222

又a 1,则ax ay az 1

11 求得ay 42

1111

从而求得a ,, 或{, ,

222222

18. 已知两点M1（2，5，-3），M2（3，-2，5），点M在线段M1M2上，且M1M 3MM2，

求向径OM的坐标.

解：设向径OM={x, y, z}

M1M {x 2,y 5,z 3}

MM2 {3 x, 2 y,5 z}

因为，M1M 3MM2

11 x 4x 2 3(3 x)

所以， y 5 3( 2 y) y

4 z 3 3(5 z)

z 3

111

故OM={, ,3}.

236

19. 已知点P到点A（0，0，12）的距离是7，OP的方向余弦是,,，求点P的坐标.

777

解：设P的坐标为（x, y, z）, |PA| x y (z 12) 49

得x y z 95

24z

cos

6570

z1 6, z2

749

2190

x1 2, x2

749

又cos

cos

3285

y1 3, y2

749

190285570

,,）. 494949

故点P的坐标为P（2，3，6）或P（20. 已知a, b的夹角

2π

，且a 3,b 4，计算： 3

2π1

3 4 3 4 6 32

(1) a·b; (2) (3a-2b)·(a + 2b). 解：（1）a·b =cos |a| |b| cos

(2) (3a 2b) (a 2b) 3a a 6a b 2b a 4b b

3|a|2 4a b 4|b|2

3 3 4 ( 6) 4 16

61.

21. 已知a =(4,-2, 4), b=(6,-3, 2),计算：

（1）a·b; (2) (2a-3b)·(a + b)；（3）|a b| 解：（1）a b 4 6 ( 2) ( 3) 4 2 38 (2) (2a 3b) (a b) 2a a 2a b 3a b 3b b

2|a|2 a b 3|b|2

2 [42 ( 2)2 42] 38 3[62 ( 3)2 22] 2 36 38 3 49 113

(3) |a b| (a b) (a b) a a 2a b b b |a| 2a b |b|

36 2 38 49 9

22. 已知四点A（1，-2，3），B（4，-4，-3），C（2，4，3），D（8，6，6），求向量AB在

向量CD上的投影.

解：AB={3，-2，-6}，CD={6，2，3}

AB CD4 AB PrjCD .

7CD23. 若向量a+3b垂直于向量7a-5b,向量a-4b垂直于向量7a-2b,求a和b的夹角. 解: (a+3b)·(7a-5b) =7|a| 16a b 15|b| 0 ①

(a-4b)·(7a-2b) = 7|a| 30a b 8|b| 0 ②

a ba b1(a b)21

由①及②可得：

|a|2|b|22|a|2|b|24

又a b

12a b1|b| 0，所以cos , 2|a||b|2

1π

. 23

故 arccos

24. 设a=(-2,7,6),b=(4, -3, -8),证明：以a与b为邻边的平行四边形的两条对角线互相垂直. 证明：以a,b为邻边的平行四边形的两条对角线分别为a+b,a－b,且 a+b={2,4, -2}

a-b={-6,10,14}

又(a+b)·(a-b)= 2×(-6)+4×10+(-2)×14=0 故(a+b) (a-b).

25. 已知a =3i+2j-k, b =i-j+2k,求： (1) a×b; (2) 2a×7b; (3) 7b×2a; (4) a×a. 解：（1） a b

2 1

132

1 1

k 3i 7j 5k

(2) 2a 7b 14(a b) 42i 98j 70k

(3) 7b 2a 14(b a) 14(a b) 42i 98j 70k (4) a a 0.

26. 已知向量a和b互相垂直，且|a| 3, |b| 4.计算： (1) |(a＋b)×(a－b)|； (2) |(3a＋b)×(a－2b)|.

（1）|(a b) (a b) |a a a b b a b b| | 2(a b)|

2|a| |b| sin

24 2

(2) |(3a b) (a 2b)| |3a a 6a b b a 2b b| |7(b a)|

7 3 4 sin

84 2

27. 求垂直于向量3i-4j-k和2i-j +k的单位向量，并求上述两向量夹角的正弦. 解：a b

4 1 1

131

3 42 1

k 5i 5j 5k

与a b

平行的单位向量e

a b i j k)

|a b

|sin

|a b|.

|a| |b|28. 一平行四边形以向量a =(2,1,－1)和b=(1,－2,1)为邻边，求其对角线夹角的正弦. 解：两对角线向量为

l1 a b 3i j，l2 a b i 3j 2k

因为|l1 l2| |2i 6j 10k

| |l1| |l2| 所以

sin

|l1 l2| 1.

|l1||l2|即为所求对角线间夹角的正弦.

29. 已知三点A(2,-1,5), B(0,3,-2), C(-2,3,1)，点M，N，P分别是AB，BC，CA的中点，证

1 明：MN MP (AC BC).

证明：中点M，N，P的坐标分别为

M(1,1,), N( 1,3, ), P(0,1,3)

MN { 2,2, 2}

3MP { 1,0,

AC { 4,4, 4}

BC { 2,0,3}

MN MP 2 2 2 2 03i 3

j 22

k 3i 5j 2k 22

10 AC BC 4 403i 443 2j 44

k 12i 20j 8k

故 MN MP 14

( AC BC

i j k

30.（1）解: a b

axayaz

bxbybz

=（a ybz-azby）

i+（a-aa zbxxbz）j+（xby-aybx）k 则

（ a b） C=

（aybz-azby）Cx+（azbx-axbz）Cy+（axby-aybx）Cyax

ayaz bx

bybz Cx

若 a, b,C

共面，则有 a b后与 C 是垂直的. 从而

（ a b） C

0 反之亦成立. ax

ayaz （2）（ a b） C

bybz Cx

CyCz

bbybz （b C ）

a Cx

CyCz ax

ayazCyCz （ Cx

C a）

b ax

ayaz bx

bybz由行列式性质可得:

ayazbxbybzCxCyCz bx

bybz CxCyCz ax

ayaz Cx

故

（ a b） C （ b C ） a （? C a）

31. 四面体的顶点在(1,1,1),(1,2,3),(1,1,2)和(3,-1,2)求四面体的表面积. 解：设四顶点依次取为A, B, C, D.

AB {0,1,2}, AD

{2, 2,1}

则由A，B，D三点所确定三角形的面积为

S1 11 2|AB AD| 2|5i 4j 2k|

同理可求其他三个三角形的面积依次为

故四面体的表面积S

122

. 32.解：设四面体的底为 BCD，从A点到底面 BCD的高为h，则

S BCD h，而S1

1 9 BCD 2BC BD 2 4i j 8k 2

又 BCD所在的平面方程为:4x y 8z 15 0

则h

故V

13 942 3

2 33. 已知三点A(2,4,1), B(3,7,5), C(4,10,9)，证：此三点共线.

证明： AB {1,3,4}, AC

{2,6,8}

显然 AC 2 AB

则 AB AC AB 2 AB 2( AB AB

) 0

故A，B，C三点共线.

34. 一动点与M0(1,1,1)连成的向量与向量n=(2,3,-4)垂直，求动点的轨迹方程. 解：设动点为M(x, y, z)

0 {x 1,y 1,z 1}

因 M

0M n,故M0M n 0.

即2(x-1)+3(y-1)-4(z-1)=0

整理得：2x+3y-4z-1=0即为动点M的轨迹方程. 35. 求通过下列两已知点的直线方程：（1）（1，-2，1），（3，1，-1）；（2）（3，-1，0），（1，0，-3）.

解：（1）两点所确立的一个向量为

s={3-1，1+2，-1-1}={2，3，-2} 故直线的标准方程为：

x 1y 2z 1x 3y 1z 1

或

23 223 2

（2）直线方向向量可取为

s={1-3，0+1，-3-0}={-2，1，-3}

故直线的标准方程为：

x 3y 1zx 1yz 3

或

21 3 21 3

36. 求直线

2x 3y z 4 0

的标准式方程和参数方程.

3x 5y 2z 1 0

3 5

122

解：所给直线的方向向量为 s n1 n2

i j

3 5

k i 7j 19k

另取x0=0代入直线一般方程可解得y0=7,z0=17

于是直线过点（0，7，17），因此直线的标准方程为:

xy 7z 17

1 7 19

且直线的参数方程为：

x t

y 7 7t z 17 19t

37. 求过点(4,1,-2)且与平面3x-2y+6z=11平行的平面方程. 解：所求平面与平面3x-2y+6z=11平行故n={3,-2,6}，又过点(4,1,-2)

故所求平面方程为：3(x-4)-2(y-1)+6(z+2)=0 即3x-2y+6z+2=0.

38. 求过点M0(1,7,-3)，且与连接坐标原点到点M0的线段OM0垂直的平面方程.

解：所求平面的法向量可取为n OM0 {1,7, 3}

故平面方程为：x-1+7(y-7)-3(z +3)=0

即x+7y-3z-59=0

39. 设平面过点(1,2,-1)，而在x轴和z轴上的截距都等于在y轴上的截距的两倍，求此平面方程.

解：设平面在y轴上的截距为b 则平面方程可定为

xyz 1 2bb2b

又(1,2,-1)在平面上，则有

12 1 1 2bb2b

得b=2.

故所求平面方程为

xyz 1 424

40. 求过(1,1,-1), (-2,-2,2)和（1，-1，2）三点的平面方程. 解：由平面的三点式方程知

x x1x2 x1x3 x1

y y1y2 y1y3 y1

z z1z2 z1 0 z3 z1

x 11 1

y 1z 1

代入三已知点，有 2 1 2 12 1 0

1 12 1

化简得x-3y-2z=0即为所求平面方程.

41. 指出下列各平面的特殊位置，并画出其图形： (1) y =0; (2) 3x-1=0; (3) 2x-3y-6=0; (4) x – y =0; (5) 2x-3y+4z=0.

解：(1) y =0表示xOz坐标面（如图7-2） (2) 3x-1=0表示垂直于x轴的平面.(如图

7-3)

图7-2 图7-3

(3) 2x-3y-6=0表示平行于z轴且在x轴及y轴上的截距分别为x=3和y =-2的平面.(如图7-4) (4) x –y=0表示过z轴的平面（如图7-5）

(5) 2x-3y+4z=0表示过原点的平面（如图7-6）

图7-4 图7-5 图7-6 42. 通过两点（1，1，1，）和（2，2，2）作垂直于平面x+y-z=0的平面. 解：设平面方程为Ax+By+Cz+D=0 则其法向量为n={A,B,C}

已知平面法向量为n1={1,1,-1} 过已知两点的向量l={1,1,1}

由题知n·n1=0, n·l=0 即

A B C 0

C 0, A B.

所求平面方程变为Ax-Ay+D=0

又点（1，1，1）在平面上，所以有D=0 故平面方程为x-y=0.

43. 决定参数k的值，使平面x+ky-2z=9适合下列条件：（1）经过点（5，-4，6）；（2）与平面2x-3y+z=0成π

的角. 解：（1）因平面过点（5，-4，6）故有 5-4k-2×6=9 得k=-4.

（2）两平面的法向量分别为 n1={1,k,-2} n2={2,-3,1}

且cos

n1 n2|n

π1||n2|

cos

解得k 44. 确定下列方程中的l和m:

(1) 平面2x+ly+3z-5=0和平面mx-6y-z+2=0平行; (2) 平面3x-5y+lz-3=0和平面x+3y+2z+5=0垂直. 解：（1）n1={2,l,3}, n2={m,-6,-1}

n2l1 n2

m 6 3 1 m 2

,l 18 (2) n1={3, -5, l }, n2={1,3,2}

n1 n2 3 1 5 3 l 2 0 l 6.

45. 通过点（1，-1，1）作垂直于两平面x-y+z-1=0和2x+y+z+1=0的平面.

解：设所求平面方程为Ax+By+Cz+D=0 其法向量n={A,B,C}

n1={1,-1,1}, n2={2,1,1}

n n1 A B C 0n n A 2C 3

2 2A B C 0 C

B 3又（1，－1，1）在所求平面上，故A－B+C+D=0，得D=0

故所求平面方程为

23Cx C

y Cz 0 即2x-y-3z=0

46. 求平行于平面3x-y+7z=5,且垂直于向量i-j+2k的单位向量. 解：n1={3,-1,7}, n2={1,-1,2}.

n n1,n n2

故n n1711 n2

7321

3 1 1

k 5i j 2k

则en i j 2k). 47. 求下列直线与平面的交点：

(1)

x 11 y 1 2 z

6, 2x+3y+z-1=0; (2) x 22 y 13

z 32

, x+2y-2z+6=0. x 1 t

解：（1）直线参数方程为

y 1 2t

z 6t代入平面方程得t=1 故交点为（2，-3，6）.

x 2 2t（2）直线参数方程为

y 1 3t

z 3 2t代入平面方程解得t=0. 故交点为（-2，1，3）. 48. 求下列直线的夹角：（1）

5x 3y 3z 9 0

和

3x 2y z 1 0

2x 2y z 23 0

8y z 18 ；0

3x（2）x 2 y 34 y 3 12 z 1

z 8

3 和 1 2 x 1

解：（1）两直线的方向向量分别为：

s1={5, -3,3}×{3, -2,1}=5

33={3,4, -1}

3 21

ijk

s2={2,2, -1}×{3,8,1}=22 1={10, -5,10}

381

由s1·s2=3×10+4×(-5)+( -1) ×10=0知s1⊥s2 从而两直线垂直，夹角为

. 2

y 3z 8

x 2y 3z 1

(2) 直线的方向向量为s1={4, -12,3},直线 1 2的方程可变

4 123 x 1

为

2y z 2 0

,可求得其方向向量s2={0,2, -1}×{1,0,0}={0, -1, -2},于是

x 1 0

s1 s2s1 s2

0.2064

cos

78 5

49. 求满足下列各组条件的直线方程：

（1）经过点（2，-3，4），且与平面3x-y+2z-4=0垂直；（2）过点（0，2，4），且与两平面x+2z=1和y-3z=2平行；（3）过点（-1，2，1），且与直线解：（1）可取直线的方向向量为 s={3，-1，2}

故过点（2，-3，4）的直线方程为

xy 3z 1 平行. 2 13

x 2y 3z 4

3 12

（2）所求直线平行两已知平面，且两平面的法向量n1与n2不平行，故所求直线平行于两

平面的交线，于是直线方向向量

ijk

2 { 2,3,1}

s n1 n2 10

01 3

故过点（0，2，4）的直线方程为

xy 2z 4 231

（3）所求直线与已知直线平行，故其方向向量可取为 s={2，-1，3} 故过点（-1，2，1）的直线方程为

x 1y 2z 1

. 2 13

50. 试定出下列各题中直线与平面间的位置关系：

x 3y 4z

和4x-2y-2z=3; 2 73xyz

和3x-2y+7z=8; （2）

3 27

（1）

（3）

x 2y 2z 3

和x+y+z=3.

31 4

解：平行而不包含. 因为直线的方向向量为s={-2，-7，3}

平面的法向量n={4，-2，-2}，所以

s n ( 2) 4 ( 7) ( 2) 3 ( 2) 0

于是直线与平面平行.

又因为直线上的点M0（-3，-4，0）代入平面方程有4 ( 3) 2 ( 4) 2 0 4 3.故直线不在平面上.

(2) 因直线方向向量s等于平面的法向量，故直线垂直于平面.

(3) 直线在平面上，因为3 1 1 1 ( 4) 1 0,而直线上的点（2，-2，3）在平面上. 51. 求过点（1，-2，1），且垂直于直线

x 2y z 3 0

x y z 3 0

的平面方程.

ij1

1 i 2j 3k, 1

解：直线的方向向量为 2

取平面法向量为{1，2，3}，

故所求平面方程为1 (x 1) 2(y 2) 3(z 1) 0 即x+2y+3z=0.

52. 求过点（1，-2，3）和两平面2x-3y+z=3, x+3y+2z+1=0的交线的平面方程. 解：设过两平面的交线的平面束方程为2x 3y z 3 (x 3y 2z 1) 0 其中λ为待定常数，又因为所求平面过点（1，-2，3）故2 1 3 ( 2) 3 3 (1 3 ( 2) 2 3 1) 0 解得λ=-4.

故所求平面方程为

2x+15y+7z+7=0

53. 求点（-1，2，0）在平面x+2y-z+1=0上的投影.

解：过点（-1，2，0）作垂直于已知平面的直线，则该直线的方向向量即为已知平面的法向量，即

s=n={1，2，-1}

x 1 t

所以垂线的参数方程为 y 2 2t

z t

将其代入平面方程可得(-1+t)+2(2+2t)-(-t)+1=0

得t

2 3

于是所求点（-1，2，0）到平面的投影就是此平面与垂线的交点( ,