大一高等数学(上)期中测试

高等数学（上）期中测试题

一 填空题：（每小题4分，共32分，要求：写出简答过程，并且把答案填在横线上）

1

(1 x)x

f(x)

, x a

1.设

,x 0x 0

在

( , )

上处处连续，则

a e

-1

。

解

x 0

lim 1 x

1x

lim 1 x 0

x

-1

1x

1

e

1

x 0

lim

x a

a,有连续性有a

e

2. 已 知

f (3) 2,则 limf(3 h) f(3)

h 0

。

2h

解 已知

f 3 lim

f(3) f(3 h)

h12

h 0

2

则

lim

f(3 h) f(3)

2h

f

12

h 0

lim

f(3) f(3 h)

h

h 0

12

3

2 1

3.函数

f(x) x 2cosx在[0,

]上的最大值为

2

6

解 令

f x 1 2sinx 0得x

6

f

0

2

f

6 6

f

2 2

则最大值为

6

4. 设

x 5(t sint)

y 5(1 cost)

， 则

dydx

t 0

dydx

2

t 0

2

120

解

dy

dy

dx

t 0

dx

5sint5

1

cost

0

dt

t 0

t 0

dy d dy dx

d

2

y

d dx

2

t 0

dx

dx

dx

t 0

dt

t 0

cost 1 cost sin2

t

1 cost 2

5 1 cost

120

t 0

5. 设y x1

x

(x 0)，则y

x

x

1 x xlnx

解 两边取对数有lny

1 x lnx

两边关于

x求导得

y 1 x,整理后即得结果

y

lnx

x

6. 设函数

y y(x)

由方程

x y cos(xy) 0

dy

ysinxy 1

。

1 xsinxy

dx解 对方程两边关于

x求导 得:

1 y - sinxy y xy 0

y ysinxy 1

ysinxy 1

1 xsinxy 则dy

1 xsinxy

dx 确定，则

7. 曲线

y e

2x

在点

M(0,1)处的曲率K

2 y

4 1

2

2

425

解

y

x 0

2e

y

2x

x 0

x 0

4e

2x

x 0

4

则

k

1

8.函数

y

2

2

425

3

2

f(x) xe

x

在

x0 1处的二阶泰勒公式为f(x)

e 2e x 1

解 由

3e2

x 1

x

2

3 e

6

x 1

3

f

n

x n x e

,代入泰勒公式即得

二．选择题：（每小题4分，共32分，每小题的四个选项中只有一个是正确的，要求写出简答过程，并且将答案对应的选项的字母填入题后括号里） 1.当

。 x 0时，下列函数中为无穷小的函数是（D ）

A.

lgsinx

； B.

cos

1x

； C.

sin

1x

； D.

1x2

e

。

1

解A.limlgsinx B.limcox 0x 0xC.limsin

x 0

不存在

1x

不存在

D.lime

x 0

1x

2

0

2.

设

f(x)

sin0

1x

2

,x 0

，则

f(x)在点x 0处（C

）。

,x 0

A. 极限不存在； B. 极限存在，但不连续； C．连续，但不可导； D. 可导。

解

由

lim

x 0

sin

1x

2

0 f 0

则

f(x)在点x 0处连续

f

又

f 0 lim

x

sin

1x

2

f

0

sin

lim

x 0

12

x 0

x

0x

lim

则

不存在

x 0

f(x)在点x 0处不可导

y sin 12

；

B.

arccosx

2

，则

3.设

y () （A ）。

2

1

A.

2

； C.

12

；

D.

2

。

解

y

x

12

arccosx1 cos

22

1

x 12

12

x tcost 4.曲线 在t

4 y tsint

A.

处的切线方程是（

。 B ）

y

88

4

4

4 4

(x

88

)；

B.

y (x ) ；

C.

y x； y x。

D.

dy

dy

解

dx

t

4

dxdt

t

4

sint tcostcost tsint

t

4

4 4

4

则切线方程为y x 424 42

5.已知函数

y e e

2x

2x

cosx，则y

(40)

。 （A ）

A.

2e

402x

cosx； B. 2

40

e

2x

sinx；

C.

cosx； D. e

2x

sinx。

解

e

2x

n

2 e

n2x

cosx

n

n

cos x

2

则即得结果

A

5

6.曲线

。y x x3的凹区间是（B ）

A.

( ,0)； B. [0, ]； C.( , )； D. 以上都不对。 y 1

53

2

解

x3

52 310

y x

331

当

x 0,+ 时,y <0,则曲线是凹的

7.若

f( x) f(x),( x )，在( ,0)内f (x) 0

f (x) 0，则在(0, )内有（ C

）。

且

A.

f (x) 0,f (x) 0； B. f (x) 0,f (x) 0； f (x) 0,f (x) 0； D. f (x) 0,f (x) 0。

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