中央电大11—12学年度第一学期“开放本科”期末考试（半开卷）

工程数学（本）试题

一、单项选择题（每小题3分，共15分）

1.设A、B为三阶可逆矩阵，且k 0，则下列成立的是（ B ）

A.|A+B|=|A|+|B| B.|AB|=|AB | C.|AB 1|=|A||B| D.|kA|=k|A|

2.设A是n阶方阵，当条件（ A ）成立时，n元线性方程组AX=b有惟一解。

A.r（A）= n B.r（A）﹤n C.|A|=0 D .b=0

3.设矩阵A= 1 1

11 的特征值为0，2 则3A的特征值为 （ B ）

A .0，2 B .0，6 C .0，0 D .2，6

4.若随机变量X～N（0，1），则随机变量Y=3X-2～（ D ）

A.N（-2，3） B .N（-4，3） C.N（-4，32） D.N（-2，32）

5对正态总体方差的检验用 （C）

A.U检验法 B.t检验法 C. 2检验法 D.F检验法

二、填空题（每小题3分，共15分）

6．设A、Ｂ均为二阶可逆矩阵，则 OA 1 1

B 1O OB

AO

x1 x2 x3 x4

7．线性方程组 3 x1 3x2 2x3 4x4 6一般解的自由未知量的个数为 2

2x1 x3 x4 3

8．设A、B为两个事件，若P（AB）=P（A）P（B），则称A与B 相互独立

9．若随机变量X～U[0，2]，则D（X）= 1/3

10．若 1, 2都是 的无偏估计，且满足D( 1) D( 2)，则称 1比 2更有效。

三、计算题（每小题16分，共64分）

234 11

11．设矩阵Ａ 123 ，Ｂ 1

111 ，那么Ａ－Ｂ可逆吗？若可逆，求逆矩阵

231 230

(A B) 1

123

解：因为 |A-B| 012 1 0,由P70定理2.2可知, 矩阵A－B可逆．

001

用初等行变换求矩阵Ａ－Ｂ的逆矩阵：

123100 10

(A B I) 012010 01 21

01001 2

001001 001001

1

1 21

所以，(A B) 1 01 2

001

12．在线性方程组 x1 2x2 3x3 x

1 x2 3 中 取何值时，此方程组有解。在有解的情况下，求出通解

2x1 3x2 5x3 1

解:线性方程的增广矩阵化为阶梯形矩阵

123 123 101 2

A 1103 0111

1 0111

235 0001 0001

当 1时,方程组无解;当 1时,方程组有解,

此时,原方程组化后,得方程组的一般解为 x1 x3 1,其中

x2 xx3是自由未知量

3 1

令x3 0,得方程组的一个特解X0 ( 1,1,0) ,

对应的齐次线性方程组化为 x1 x3

xx,

1 3

令x3 1,对应的齐次线性方程组的基础解系X1 ( 1, 1,1) ,

所以,原方程组的通解为:X X0 k1X1 ( 1,1,0) k1( 1, 1,1) .

．设随机变量X～N（8，4）求P（|X-8|﹤1）和P（X≤12）。（已知 （0.5）=0.6915，

（1.0）=0.8413， （2.0）=0.9773）

解:因为X～N(8,4),Y X 8

2～N(0,1).

所以, p(|Ｘ－８｜﹤１) P(|X 8|

2﹤0.5) P( 0.5 Y 0.5)

(0.5) ( 0.5) 2 (0.5) 1 2 0.691 51 0.38 3

Ｐ（Ｘ≤１２）＝P(X 8

2 12 8

2) P(Y 2) (2)＝0.9773

14．某切割机在正常工作时，切割的每段金属棒长服从正态分布，且其平均长度

为10.5cm，标准差为０.１５cm。从一批产品中随机地抽取4段进行测量，测得的结果如下：（单位：cm） 10.4， 10.6 10.1 10.4

2 13

问该机工作是否正常？（ =0.05，

解:已知金属棒长服从正态分布, z u0.975=1.96） 10.5mm, 0.15,

1x (10.4 10.6 10.1 10.4) 10.375 4

假设H0: 10.5,H1: 10.5 构造统计量函数U x 10.375 10.5

0.125 1.

n0.075667

∵ |Ｕ｜＝1.667﹤ 0.975 1.96

∴ 接受H0,即该机工作正常.

四、证明题（本题6分）

15.设n阶方程A满足A2 I,AA I,试证A为对称矩阵

证明:因为 A2 I,AA I,

所以 A IA A2A A(AA ) AI A

即A为对称矩阵.

工程数学试卷

一、单项选择题（每小题3分，共15分）

x1 x2 a1

1.方程组 x2 x a

32相容的充分必要条件是（ B ），其中ai 0,i 1，2，3

x1 x3 a3

A.a1 a2 a3 0 B. a1 a2 a3 0

C.a1 a2 a3 0 D . a1 a2 a3 0

2.设A，B都有是n阶方阵，则下列等式中正确的是 （ C ）

A.|A B| |A| |B| B.|A 1 B 1| |A| 1 |B| 1

C.|AB| |A||B| D.| A| |A|

3.下列例题中不正确的是（A）

A. A与A 1有相同的特征值 B . A与A 有相同的特征多项式

C. 若A可逆，则零不是A的特征值 D.A与A 有相同的特征值

４.若事件A与B互诉，则下列等式中正确的是（ D ）

A．P（A）+P（B）＝1 B．P（AB）＝P（A）P（B）

C．P（A）＝P（A|B） D．P（A+B）＝P（A）+P（B）

3

５设随机变量X，则下列等式中不正确的是（A）

A．E(2X 1) 2E(X) B．D(2X 1) 4D(X)

C．D(X) E(X2) (E(X))2 D．D( X) D(X)

二、填空题（每小题３分，共１５分）

６．若３阶方阵A 100

0 1 2 ，则|A2 I| 0

236

７．设A为n阶方阵，若存在数 和非零n维向量X，使得AX X，则称数 为A的 特征值

８．已知P(A) 0.2,P(B) 0.4，则当事件A,B相互独立时，P(AB) 0.08 ９．设随机变量X～ 1234

0.10.30.5a ，则a 0.1

10．不含未知参数的样本函数称为 统计量

三、计算题（每小题16分，共64分）

122 12

11．设矩阵A 1 10 ，B .

135 11，AX B，求X

4

0

22

解: ∵A 1

1 10

135

∴(A|I) 122100

1 10010

100 5 42

01053 2

135001 01 2 11

∴ 5 42

53 2 5 42 12 1 6

A 1 ∴X A 1B 53 2 11

25

2 11 2 11 04 1 1

x1 2x2 4x3 5

12．求线性方程组 2x1 3x2 x3 4

3x1 8x2 2x3 13的通解.

4x1 x2 9x3 6

解:增广矩阵

1 24 5 14 5 1 245

(A|B) 2314 2

07 714 01 12

38 213 014 1428 000

4 19 6 0

07 714 0000

4

原方程组化为: x1 1 2x3

x , 令x3 0得特解为:X0 ( 1,2,0) 2 2 x3

原方程组对应的齐次方程组为: x1 2x3

x x ,令x3 1得基础解系为:X1 ( 2,1,1) 23

所以原方程组的通解为:X X0 kX1

13．设X～N(2,25)，试求：（1）P(12 X 17) ；（2）P(X 3).

（已知 (1) 0.8413, (2) 0.9772, (3) 0.9987)

解:∵ 2, 5 ,令Y X X 2

5 ～N(0,1)

∴(1)P(12 X 17) P(12 217

5 Y 2

5) P(2 Y 3)

＝ (3) (2) 0.9987 0.9772 0.0215

（2）P(X 3) P(X 2

5 3 2

5) P(Y 1) (1) 0.8413。

14．某厂生产日光灯管，根据历史资料，灯管的使用寿命X服从正态分布N(1600,702)。 在最近生产的灯管中随机抽取了49件进行测试，平均使用寿命为1520小时。假设标准差没有 改变，在0.05的显著性水平下，判断最近生产的灯管质量是否有显著变化.（u0.975 1.96） 解：假设H0: 0 1600, H1: 0 1600 样本均值X 1520,n 49 .标准差不变 0 70 .

选择统计量 U X 0

/n 8,

∵u0.975 1.96

∴|U| 8 1.96

所以最近生产的灯管质量有显著变化.

四、证明题（本题6分）

15．设A，B都是n阶矩阵，且A为对称矩阵，试证明：B AB也是对称矩阵.

证明:∵A是对称矩阵

∴A A

∴(B AB) B A (B ) B AB

∴B AB也是对称矩阵.

5