复变函数在信号处理分析中的应用

复变函数在信号分析处理中的应用

班级021161 姓名 张秋实 学号02116013

前言

复变函数学了一个学期了，不敢说自己学习十分认真努力，也不敢说自己理解这个学科，有自己的见解，很多对复变函数的理解仅仅建立在人云亦云的基础之上。而且 ，对于信号的分析处理这门更加复杂，更需要科研精神的学科，我之前根本就没有多少的关注，对此我感到十分惭愧。基于以上几点，这篇文字对于我来说没有多少东西是真正属于我的，大部分为参考资料和前人的论文得来的，希望老师理解。

何为复变函数？何为信号分析？

以复数作为自变量的函数就叫做复变函数，而与之相关的理论就是复变函数论。解析函数是复变函数中一类具有解析性质的函数，复变函数论主要就研究复数域上的解析函数，因此通常也称复变函数论为解析函数论。而复变函数在工程领域有很多的应用，其中在电气电子领域中，用的比较多的就是在信号的分析和处理上了。那么什么是信号分析与处理呢？

为了充分地获取信息和有效利用信息，必须对信号进行分析和处理。信号分析就是通过解析方法或者测试方法找出不同信号的特征，从而了解其特性，掌握它随时间或频率变化的规律的过程。

通过信号分析，可以将一个复杂的信号分解成若干个简单信号的分量之和，或者用有限的一组参量去考察信号的特性。信号分析是获取信号源或信号传递系统特征信息的重要手段，人们往往通过对信号特征的深入分析，得到信号源或者系统特征、运行情况甚至故障等信息，这正是故障的诊断基础。

而信号分析的基本方法有：时域分析法；频域分析法；复频域分析法。时间信号的频域分析和复频域分析中，复变函数的应用比较典型。

一、连续时间信号的频域分析

在时域中，将信号分解为不同时延、强度的冲激信号；在频域中，信号可以分解为不同频率、相位及振幅的简单信号（傅氏变换与反变换）。频率特性是信号的第二个特性， 频率特性就是通过变换将时间变量转变为频率变量，在频域中分析信号的方法。

（一）周期信号的频谱分析——傅里叶级数 1、三角形式的傅里叶级数

对于周期为T1、角频率为w1且满足狄里赫利条件的周期函数f(t),展开成三角形式的傅里叶级数为：

f(t) a0 ancosn 1t bnsinn 1t

n 1

其系数

1) 直流分量a0 1 t Tf(t)dt

t

T

2) 余弦分量的幅度an 2 t Tf(t)cosn 1tdt 偶函数

t

T0

3) 正弦分量的幅度bn 2 t0 Tf(t)sinn 1tdt 奇函数

Tt0

周期信号可分解为直流，基波( 1)和各次谐波（n 1：基波角频率的整数倍）的线性组合。

Cn~n 1关系称为

n~ 关系称为可画出相应的频谱图。 2、复指数形式的傅里叶级数

周期信号的傅里叶级数展开也可以表示为复指数形式，通过欧拉公式，可将三角形式的傅里叶变换表示为：

f t

n

Fnejn 0t

1T

Fn 2Tf t e jn 0tdt

T 2

上式表明，任意周期信号可分解为许多不同频率的虚指数信号之和，

其各分量的复数幅度（或相量）为Fn。 3、周期矩形脉冲信号的频谱

三角形式：

复数形式：

2 0

T

t

2 0

T

4、周期信号的频谱特点：

离散性：离散频谱，周期越大，谱线越密。当周期趋近于无穷大，即变为非周期信号时，谱线就变为了连续频谱了。 谐波性;

收敛性：周期信号频谱的收敛速度与信号波形有关。

信号三个量对频谱的影响：信号的周期T改变，幅度减小，谱线变密，但包络线零点位置不变；信号的持续时间改变，幅度改变，谱线密度不变，零点位置向左移动（靠近原点），有效频带变窄；信号的幅度改变，仅影响频谱的幅度，成正比例关系。

（二）、非周期信号的频谱分析——傅里叶变换 1、 从傅里叶级数到傅里叶变换：

当 T ，上式将成为ω 的函数，用 F j 或 F 表示，

Fn2 Fn

TFn

F 0

T

2T 2

f t e jn 0tdt

即

F j limTFn

T

f t e j tdt

它就是非周期信号谐波振幅与周期的乘积，也就是单位频率的谐波振幅，称为f(t)的频谱（密度）函数。

2、傅里叶变换与傅里叶反变换：

F j

1f t

2

F j d j t

F j ed e 2

j t

f t e

j t

dt

以上两积分式称为傅里叶变换对，并满足一一对应关系。

傅里叶反变换式表明：一个非周期信号可以看作无限多个幅度为无限小的等幅的复指数谐波之和，这样，由周期信号的分解就推广到了非周期信号的分解。

3、典型非周期信号的傅里叶变换：

2

2

单边指数信号：

冲激信号： 1

f t

t

o

冲激偶信号：

直流信号：

4、傅里叶变换的性质： 线性特性：若：

f t

1

o

t

1

F j

2

o

f1 t F1 j

f2 t F2 j

则有 a1f1 t a2f2 t a1F1 j a2F2 j

奇偶特性：若

f(t)是实偶函数，其频谱 F(jw)也为实偶 …… 此处隐藏：2474字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……