高中数学教案-人教A版必修5(4)——等差数列(二)

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第四课时 等差数列(二)

教学目标：

明确等差中项的概念，进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式；培养学生的应用意识，提高学生的数学素质.

教学重点：

等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用.

教学难点：

灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题.

教学过程：

Ⅰ.复习回顾

等差数列定义：an－an－1＝d(n≥2)，等差数列通项公式：an＝a1＋(n－1)d(n≥1)，推导公式：an＝am＋(n－m)d

Ⅱ.讲授新课

首先，请同学们来思考这样一个问题.

问题1：如果在a与b中间插入一个数A，使a、A、b成等差数列，那么A应满足什么条件？

a＋b由等差数列定义及a、A、b成等差数列可得：A－a＝b－A，即：a＝. 2

a＋b反之，若A ，则2A＝a＋b，A－a＝b－A，即a、A、b成等差数列. 2

a＋b总之，A a，A，b成等差数列. 2

如果a、A、b成等差数列，那么a叫做a与b的等差中项.

不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项.

如数列：1，3，5，7，9，11，13，……中，3是1和5的等差中项，5是3和7的等差中项，7是5和9的等差中项等等.

进一步思考，同学们是否还发现什么规律呢？

比如5不仅是3和7的等差中项，同时它也是1和9的等差中项，即不仅满足5＝

1＋9同时还满足5＝ . 2

再如7不仅是5和9的等差中项，同时它也是3和11的等差中项，还是1和13的等差

5＋93＋111＋13中项，即：7＝＝ . 222

看来，a2＋a4＝a1＋a5＝2a3，a4＋a6＝a3＋a7＝2a5

依此类推，可得在一等差数列中，若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq.

下面，我们来看一个实际问题.

［例1］梯子的最高一级宽33 cm，最低一级宽110 cm，中间还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽度.

分析：首先要数学建模，即将实际问题转化为数学问题，然后求其解，最后还要结合实际情况将其还原为实际问题的解.

解：用{an}表示梯子自上而下各级宽度所成的等差数列，由已知条件，有a1＝33，a12＝110，n＝12. 3＋7，2

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由通项公式，得a12＝a1＋(12－1)d，即：110＝33＋11d，解得：d＝7.

因此，a2＝33＋7＝40，a3＝40＋7＝47，a4＝54，a5＝61，a6＝68，a7＝75，a8＝82，a9＝89，a10＝96，a11＝103.

答案：梯子中间各级的宽度从上到下依次是40 cm，47 cm，54 cm，61 cm，68 cm，75 cm，82 cm，89 cm，96 cm，103 cm.

评述：要注意将模型的解还原为实际问题的解.

［例2］已知数列的通项公式为an＝pn＋q，其中p、q是常数，且p≠0，那么这个数列是否一定是等差数列？如果是，其首项与公差是什么？

分析：由等差数列的定义，要判定{an}是不是等差数列，只要看an－an－1(n≥2)是不是一个与n无关的常数就行了.

解：取数列{an}中的任意相邻两项an－1与an(n≥2)，

an－an－1＝(pn＋q)－[p(n－1)＋q]＝pn＋q－(pn－p＋q)＝p

它是一个与n无关的常数，所以{an}是等差数列，且公差是p.

在通项公式令n＝1，得a1＝p＋q，所以这个等差数列的首项是p＋q，公差是p.看来，等差数列的通项公式可以表示为：an＝pn＋q（其中p、q是常数）

当p＝0时，它是一常数数列，从图象上看，表示这个数列的各点均在y＝q的图象上.当p≠0时，它是关于n的一次式，从图象上看，表示这个数

列的各点均在一次函数y＝px＋q的图象上.

例如，首项是1，公差是2的无穷等差数列的通项

公式为：an＝2n－1，相应的图象是直线y＝2x－1上的均

匀排开的无穷多个孤立点.如图所示：

［例3］已知三个数成等差数列，其和为15，其平方

和为83，求此三个数.

解：设此三数分别为x－d、x、x＋d

（x－d）＋x＋（x＋d）＝15则 222 （x－d）＋x＋（x＋d）＝83

解得x＝5，d＝±2.

∴所求三个数列分别为3、5、7或7、5、3.

评述：三个数成等差数列时注意其设法.

［例4］已知数列{an}为等差数列，a1＝2，a2＝3，若在每相邻两项之间插入三个数后，和原数列仍构成一个等差数列，试问：

（1）原数列的第12项是新数列的第几项？

（2）新数列的第29项是原数列的第几项？

分析：运用递推归纳的思想方法，从特殊中找规律，得到或猜想出一般结论，然后再回到特殊解决问题，这应该是解决本题的一个基本途径.

解：原数列的第一项是新数列的第1项，原数列的第二项是新数列的第2＋3＝5项，原数列的第三项是新数列的第3＋2×3＝9项.……原数列的第n项是新数列的第n＋(n－1)×3＝4n－3项.

（1）当n＝12时，4n－3＝4×12－3＝45，故原数列的第12项是新数列的第45项.

（2）令4n－3＝29，解得n＝8，故新数列的第29项是原数列的第8项.

评述：一般地，在公差为d的等差数列每相邻两项之间插入m个数，构成一个新的等差数列，则新数列的公差为

项. d，原数列的第n项是新数列的第n＋(n－1)m＝(m＋1)n－mm＋1

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［例5］在等差数列{an}中，若a3＋a8＋a …… 此处隐藏：1588字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……