平面向量应用举例

预习课本P109～112，思考并完成以下问题.

(1)利用向量可以解决哪些常见的几何问题？ (2)如何用向量方法解决物理问题？

(3)如何判断多边形的形状？

[新知初探]

1．用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”

(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；

(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；

(3)把运算结果“翻译”成几何关系．

2．向量在物理中的应用

(1)物理问题中常见的向量有力、速度、位移等．

(2)向量的加减法运算体现在一些物理量的合成和分解中．

(3)动量m v 是向量的数乘运算．

(4)功是力F 与位移s 的数量积．

[小试身手]

1．若向量1OF ＝(2,2)，2OF ＝(－2,3)分别表示两个力F 1，F 2，则|F 1＋F 2|为( )

A ．(0,5)

B ．(4，－1)

C ．2 2

D ．5

答案：D

2．在四边形ABCD 中，AB ·BC ＝0，BC ＝AD ，则四边形ABCD 是( )

A ．直角梯形

B ．菱形

C ．矩形

D ．正方形

答案：C

3．力F ＝(－1，－2)作用于质点P ，使P 产生的位移为s ＝(3,4)，则力F 对质点P 做的功是________．

答案：－

11

题点一：平面几何中的垂直问题

1.如图所示，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，求证：AF ⊥DE . 证明：法一：设AD ＝a ，AB ＝b ， 则|a |＝|b |，a·b ＝0，

又DE ＝DA ＋AE ＝－a ＋12b ， AF ＝AB ＋BF ＝b ＋12a ，

所以AF ·DE ＝⎝⎛⎭⎫b ＋12a ·⎝⎛⎭⎫－a ＋12b ＝－12a 2－34a ·b ＋12b 2＝－12|a |2＋12|b |2＝0.故AF ⊥DE ，即AF ⊥DE .

法二：如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A (0,0)，D (0,2)，E (1,0)，F (2,1)，AF ＝(2,1)，DE ＝(1，－2)． 因为AF ·DE ＝(2,1)·(1，－2)＝2－2＝0，

所以AF ⊥DE ，即AF ⊥DE .

题点二：平面几何中的平行(或共线)问题

2. 如图，点O 是平行四边形ABCD 的中心，E ，F 分别在边CD ，AB 上，且CE ED ＝AF FB ＝12

. 求证：点E ，O ，F 在同一直线上．

证明：设AB ＝m ，AD ＝n ，

由CE ED ＝AF FB ＝12

，知E ，F 分别是CD ，AB 的三等分点， ∴FO ＝FA ＋AO ＝13BA ＋12AC ＝－13m ＋12(m ＋n )＝16m ＋12

n ，

OE ＝OC ＋CE ＝12AC ＋1

3CD

＝12(m ＋n )－13m ＝16m ＋12

n . ∴FO ＝OE .

又O 为FO 和OE 的公共点，故点E ，O ，F 在同一直线上．

题点三：平面几何中的长度问题

3.如图，平行四边形ABCD 中，已知AD ＝1，AB ＝2，对角线BD ＝2，求对角线AC 的长．

解：设AD ＝a ，AB ＝b ，则BD ＝a －b ，AC ＝a ＋b ，

而|BD |＝|a －b |＝a 2－2a ·b ＋b 2＝1＋4－2a ·b ＝5－2a ·b ＝2，

∴5－2a ·b ＝4，∴a ·b ＝12

，又|AC |2＝|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝1＋4＋2a ·b ＝6，∴|AC |＝6，即AC

＝

6.

用向量方法解决平面几何问题的步骤

[典例] (1)在长江南岸某渡口处，江水以12.5 km /h 的速度向东流，渡船的速度为25 km/h.渡船要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？

(2)已知两恒力F 1＝(3,4)，F 2＝(6，－5)作用于同一质点，使之由点A (20,15)移动到点B (7,0)，求F 1，F 2分别对质点所做的功．

[解] (1) 如图，设AB 表示水流的速度，AD 表示渡船的速度，AC 表示渡船实际垂直过江的速度．

因为AB ＋AD ＝AC ，所以四边形ABCD 为平行四边形．

在Rt △ACD 中，∠ACD ＝90°，|DC |＝|AB |＝12.5，|AD |＝25，

所以∠CAD ＝30°，即渡船要垂直地渡过长江，其航向应为北偏西30°.

(2)设物体在力F 作用下的位移为s ，则所做的功为W ＝F·s .

∵AB ＝(7,0)－(20,15)＝(－13，－15)．

∴W 1＝F 1·AB ＝(3,4)·

(－13，－15) ＝3×(－13)＋4×(－15)＝－99(焦)，

W 2＝F 2·AB ＝(6，－5)·(－13，－15)

＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3(焦)．

[一题多变]

1．[变设问]本例(2)条件不变，求F 1，F 2的合力F 为质点所做的功．

解：W ＝F ·AB ＝(F 1＋F 2)·AB ＝[(3,4)＋(6，－5)]·(－13，－15)＝(9，－1)·(－13，－

15)＝9×(－13)＋(－1)×(－15)＝－117＋15＝－102(焦)．

2．[变条件]本例(2)条件变为：两个力F 1＝i ＋j ，F 2＝4i －5j 作用于同一质点，使该质点从点A (20,15)移动到点B (7,0)(其中i ，j 分别是与x 轴、y 轴同方向的单位向量)．求：F 1，F 2分别对该质点做的功． 解：AB ＝(7,0)－(20,15)＝(－13，－15)，

F 1做的功W 1＝F 1·s ＝F 1·AB ＝(1,1)·(－13，－15)＝－28(焦)．

F 2做的功W 2＝F 2·s ＝F 2·AB ＝(4，－5)·(－13，－15)＝23(焦)．

用向量方法解决物理问题的“三步曲”

层级一 学业水平达标

1．已知三个力f 1＝(－2，－1)，f 2＝(－3,2)，f 3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，再加上一个力f 4，则f 4＝( )

A ．(－1，－2)

B ．(1，－2)

C ．(－1,2)

D ．(1,2)

解析：选D 由物理知识知f 1＋f 2＋f 3＋f 4＝0，故f 4＝－(f 1＋f 2＋f 3)＝(1,2)．

2．人骑自行车的速度是v 1，风速为v 2，则逆风行驶的速度为( )

A ．v 1－v 2

B ．v 1＋v 2

C ．|v 1|－|v 2| D.⎪⎪⎪

⎪v 1v 2

解析：选B 由向量的加法法则可得逆风行驶的速度为v 1＋v 2.注意速度是有方向和大小的，是一个向量．

3．已知四边形ABCD 各顶点坐标是A ⎝⎛⎭⎫－1，－73，B ⎝⎛⎭⎫1，13，C ⎝⎛⎭⎫－12，2，D ⎝⎛⎭

⎫－72，－2，则四边形ABCD 是( )

A ．梯形

B ．平行四边形

C ．矩形

D ．菱形

解析：选A ∵AB ＝⎝⎛⎭

⎫2，83，DC ＝(3,4)， ∴AB ＝23

DC ，∴AB ∥DC ，即AB ∥DC . 又|AB |＝4＋649＝103

，|DC |＝9＋16＝5， ∴|AB |≠|DC |，∴四边形ABCD 是梯形．

4．在△ABC 中，AB ＝3，AC 边上的中线BD ＝5，AC ·AB ＝5，则AC 的长为( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4 解析：选B ∵BD ＝AD －AB ＝12

AC －AB ， ∴BD 2―→＝⎝⎛⎭⎫12 AC －AB 2＝14

2AC －AC ·AB ＋2AB ， 即14

2AC ＝1.∴|AC |＝2，即AC ＝2. 5．已知△ABC 满足2AB ＝AB ·AC ＋BA ·BC ＋CA ·

CB ，则△ABC 是( )

A ．等边三角形

B ．锐角三角形

C ．直角三角形

D ．钝角三角形 解析：选C 由题意得，AB 2＝AB ·AC ＋AB ·CB ＋CA ·CB ＝AB ·(AC ＋CB )

＋CA ·CB ＝AB 2＋CA ·CB ，

∴CA ·

CB ＝0，∴CA ⊥CB ， ∴△ABC 是直角三角形．

6．已知力F ＝(2,3)作用于一物体，使物体从A (2,0)移动到B (－2,3)，则力F 对物体所做的功是________．

解析：∵AB ＝(－4,3)，

∴W ＝F·s ＝F ·AB ＝(2,3)·(－4,3)＝－8＋9＝1.

答案：1

7．用两条成120°角的等长绳子悬挂一个灯具，已知灯具重量为10 N ，则每根绳子的拉力大小为________ N.

解析： 如图，由题意，得∠AOC ＝∠COB ＝60°，|OC |＝10，

则|OA |＝|OB |＝10，即每根绳子的拉力大小为10 N.

答案：10

8．已知A ，B 是圆心为C ，半径为5的圆上的两点，且|AB |＝5，则AC ·CB ＝________. 解析：由弦长|AB |＝5，可知∠ACB ＝60°，

AC ·CB ＝－CA ·CB ＝－|CA ||CB |cos ∠ACB ＝－52.

答案：－52

9．已知△ABC 是直角三角形，CA ＝CB ，D 是CB 的中点，E 是AB 上的一点，且AE ＝2EB .求证：AD ⊥CE

.

证明：如图，以C 为原点，CA 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系．

设AC ＝a ，则A (a,0)，B (0，a )，

D ⎝⎛⎭⎫0，a 2，C (0,0)，

E ⎝⎛⎭

⎫13a ，23a . 所以AD ＝⎝

⎛⎭⎫－a ，a 2， CE ＝⎝⎛⎭

⎫13a ，23a . 所以AD ·CE ＝－a ·13a ＋a 2·23

a ＝0， 所以AD ⊥CE ，即AD ⊥CE .

10．已知点A (2，－1)．求过点A 与向量a ＝(5,1)平行的直线方程．

解：设所求直线上任意一点P (x ，y )， 则AP ＝(x －2，y ＋1)． 由题意知AP ∥a ，故5(y ＋1)－(x －2)＝0，

即x －5y －7＝0.

故过点A 与向量a ＝(5,1)平行的直线方程为

x －5y －7＝0.

层级二 应试能力达标

1．已知一条两岸平行的河流河水的流速为2 m /s ，一艘小船以垂直于河岸方向10 m/s 的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为( )

A ．10 m/s

B ．226 m/s

C ．4 6 m /s

D ．12 m/s

解析：选B 设河水的流速为v 1，小船在静水中的速度为v 2，船的实际速度为v ，则|v 1|＝2，|v |＝10，v ⊥v 1，∴v 2＝v －v 1，v ·v 1＝0，

∴|v 2|＝v 2－2v ·v 1＋v 21＝226(m/s)． 2．在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，BD ＝12

BC ，则AD ·BD 的值为( ) A ．－52

B.52 C ．－54 D.54

解析：选C 因为BD ＝12BC ，所以点D 是BC 的中点，则AD ＝12(AB ＋AC )，BD ＝12BC ＝12(AC －AB )，所以AD ·BD ＝12(AB ＋AC )·12(AC －AB )＝14(2AC －2AB )＝14(22－32)＝－54，选C.

3.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若AB ·AF ＝2，则AE ·

BF 的值是( ) A. 2

B ．2

C ．0

D ．1

解析：选A ∵AF ＝AD ＋DF ，AB ·AF ＝AB ·(AD ＋DF )＝AB ·AD ＋AB ·DF ＝AB ·DF ＝2|DF |＝2，∴|DF |＝1，|CF |＝2－1，∴AE ·

BF ＝(AB ＋BE )·(BC ＋CF )＝AB ·CF ＋BE ·BC ＝－2(2－1)＋1×2＝－2＋2＋2＝2，故选A.

4.如图，设P 为△ABC 内一点，且2PA ＋2PB ＋PC ＝0，则S △ABP ∶S △ABC ＝( ) A.15 B.25

C.14

D.13

解析：选A 设AB 的中点是D . ∵PA ＋PB ＝2PD ＝－12

PC ，

∴PD ＝－14

PC ， ∴P 为CD 的五等分点，

∴△ABP 的面积为△ABC 的面积的15

. 5．若O 为△ABC 所在平面内一点，且满足(OB －OC )·(OB ＋OC －2OA )＝0，则△ABC 的形状为________．

解析：(OB －OC )·(OB ＋OC －2OA )

＝(AB －AC )·(OB －OA ＋OC －OA )

＝(AB －AC )·(AB ＋AC )

＝|AB |2－|AC |2＝0，

∴|AB |＝|AC |.

答案：等腰三角形

6.如图所示，在倾斜角为37°(sin 37°＝0.6)，高为2 m 的斜面上，质量为5 kg 的物体m 沿斜面下滑，物体m 受到的摩擦力是它对斜面压力的0.5倍，则

斜

面对物体m 的支持力所做的功为________J ，重力所做的功为

________J(g ＝9.8 m/s 2)．

解析：物体m 的位移大小为|s |＝

2sin 37°＝103(m)， 则支持力对物体m 所做的功为

W 1＝F·s ＝|F ||s |cos 90°＝0(J)；

重力对物体m 所做的功为

W 2＝G ·s ＝|G ||s |cos 53°＝5×9.8×

103×0.6＝98(J)． 答案：0 98

7.如图所示，一个物体受到同一平面内三个力F 1，F 2，F 3的作用，沿北偏东45°的方向移动了8 m ，其中|F 1|＝2 N ，方向为北偏东30°；|F 2|＝4 N ，方向为北偏东60°；|F 3|＝6 N ，方向为北偏西30°，求合力F 所做的功．

解：以O 为原点，正东方向为x 轴的正方向建立平面直角坐标系，如图所示，则F 1＝(1，3)，F 2＝(23，2)，F 3＝(－3,33)，所以F ＝F 1＋F 2＋

F 3＝(23－2,2＋43)．又位移s ＝(42，42)，故合力F 所做的功

为 W ＝F·s

＝(23－2)×42＋(2＋43)×4 2

＝42×6 3