平面向量应用举例

预习课本P109～112，思考并完成以下问题.

(1)利用向量可以解决哪些常见的几何问题？ (2)如何用向量方法解决物理问题？

(3)如何判断多边形的形状？

[新知初探]

1．用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”

(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；

(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；

(3)把运算结果“翻译”成几何关系．

2．向量在物理中的应用

(1)物理问题中常见的向量有力、速度、位移等．

(2)向量的加减法运算体现在一些物理量的合成和分解中．

(3)动量m v 是向量的数乘运算．

(4)功是力F 与位移s 的数量积．

[小试身手]

1．若向量1OF ＝(2,2)，2OF ＝(－2,3)分别表示两个力F 1，F 2，则|F 1＋F 2|为( )

A ．(0,5)

B ．(4，－1)

C ．2 2

D ．5

答案：D

2．在四边形ABCD 中，AB ·BC ＝0，BC ＝AD ，则四边形ABCD 是( )

A ．直角梯形

B ．菱形

C ．矩形

D ．正方形

答案：C

3．力F ＝(－1，－2)作用于质点P ，使P 产生的位移为s ＝(3,4)，则力F 对质点P 做的功是________．

答案：－

11

题点一：平面几何中的垂直问题

1.如图所示，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，求证：AF ⊥DE . 证明：法一：设AD ＝a ，AB ＝b ， 则|a |＝|b |，a·b ＝0，

又DE ＝DA ＋AE ＝－a ＋12b ， AF ＝AB ＋BF ＝b ＋12a ，

所以AF ·DE ＝⎝⎛⎭⎫b ＋12a ·⎝⎛⎭⎫－a ＋12b ＝－12a 2－34a ·b ＋12b 2＝－12|a |2＋12|b |2＝0.故AF ⊥DE ，即AF ⊥DE .

法二：如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A (0,0)，D (0,2)，E (1,0)，F (2,1)，AF ＝(2,1)，DE ＝(1，－2)． 因为AF ·DE ＝(2,1)·(1，－2)＝2－2＝0，

所以AF ⊥DE ，即AF ⊥DE .

题点二：平面几何中的平行(或共线)问题

2. 如图，点O 是平行四边形ABCD 的中心，E ，F 分别在边CD ，AB 上，且CE ED ＝AF FB ＝12

. 求证：点E ，O ，F 在同一直线上．

证明：设AB ＝m ，AD ＝n ，

由CE ED ＝AF FB ＝12

，知E ，F 分别是CD ，AB 的三等分点， ∴FO ＝FA ＋AO ＝13BA ＋12AC ＝－13m ＋12(m ＋n )＝16m ＋12

n ，

OE ＝OC ＋CE ＝12AC ＋1

3CD

＝12(m ＋n )－13m ＝16m ＋12

n . ∴FO ＝OE .

又O 为FO 和OE 的公共点，故点E ，O ，F 在同一直线上．

题点三：平面几何中的长度问题

3.如图，平行四边形ABCD 中，已知AD ＝1，AB ＝2，对角线BD ＝2，求对角线AC 的长．

解：设AD ＝a ，AB ＝b ，则BD ＝a －b ，AC ＝a ＋b ，

而|BD |＝|a －b |＝a 2－2a ·b ＋b 2＝1＋4－2a ·b ＝5－2a ·b ＝2，

∴5－2a ·b ＝4，∴a ·b ＝12

，又|AC |2＝|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝1＋4＋2a ·b ＝6，∴|AC |＝6，即AC

＝

6.

用向量方法解决平面几何问题的步骤

[典例] (1)在长江南岸某渡口处，江水以12.5 km /h 的速度向东流，渡船的速度为25 km/h.渡船要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？

(2)已知两恒力F 1＝(3,4)，F 2＝(6，－5)作用于同一质点，使之由点A (20,15)移动到点B (7,0)，求F 1，F 2分别对质点所做的功．

[解] (1) 如图，设AB 表示水流的速度，AD 表示渡船的速度，AC 表示渡船实际垂直过江的速度．

因为AB ＋AD ＝AC ，所以四边形ABCD 为平行四边形．

在Rt △ACD 中，∠ACD ＝90°，|DC |＝|AB |＝12.5，|AD |＝25，

所以∠CAD ＝30°，即渡船要垂直地渡过长江，其航向应为北偏西30°.

(2)设物体在力F 作用下的位移为s ，则所做的功为W ＝F·s .

∵AB ＝(7,0)－(20,15)＝(－13，－15)．

∴W 1＝F 1·AB ＝(3,4)·

(－13，－15) ＝3×(－13)＋4×(－15)＝－99(焦)，

W 2＝F 2·AB ＝(6，－5)·(－13，－15)

＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3(焦)．

[一题多变]

1．[变设问]本例(2)条件不变，求F 1，F 2的合力F 为质点所做的功．

解：W ＝F ·AB ＝(F 1＋F 2)·AB ＝[(3,4)＋(6，－5)]·(－13，－15)＝(9，－1)·(－13，－

15)＝9×(－13)＋(－1)×(－15)＝－117＋15＝－102(焦)．

2．[变条件]本例(2)条件变为：两个力F 1＝i ＋j ，F 2＝4i －5j 作用于同一质点，使该质点从点A (20,15)移动到点B (7,0)(其中i ，j 分别是与x 轴、y 轴同方向的单位向量)．求：F 1，F 2分别对该质点做的功． 解：AB ＝(7,0)－(20,15)＝(－13，－15)，

F 1做的功W 1＝F 1·s ＝F 1·AB ＝(1,1)·(－13，－15)＝－28(焦)．

F 2做的功W 2＝F 2·s ＝F 2·AB ＝(4，－5)·(－13，－15)＝23(焦)．

用向量方法解决物理问题的“三步曲”

层级一 学业水平达标

1．已知三个力f 1＝(－2，－1)，f 2＝(－3,2)，f 3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，再加上一个力f 4，则f 4＝( )

A ．(－1，－2)

B ．(1，－2)

C ．(－1,2)

D ．(1,2)

解析：选D 由物理知识知f 1＋f 2＋f 3＋f 4＝0，故f 4＝ …… 此处隐藏：3737字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……