2013年中考数学专题复习第二十六讲 平移、旋转与对称

【基础知识回顾】 一、 轴对称与轴对称图形：

1、轴对称：把一个图 形沿着某一条直线翻折过去，如果它能够与另一个图形那么就这说两个图形成轴对称，这条直线叫 2、轴对称图形：如果把一个图形沿着某条直线对折，直线两旁的部分能够互相那么这个图形叫做轴对称图形

3、轴对称性质：⑴关于某条直线对称的两个图形

⑵对应点连接被对称轴

【名师提醒：1、轴对称是指 个图形的位置关系，而轴对称图形是指 各具有特殊形状的图形

2、对称轴是 而不是线段，轴对称图形的对称轴不一定只有一条】

二、图形的平移与旋转：

1、平移：⑴定义：在平面内，把某个图形沿着某个移动一定的这样的图形运动称为平移

⑵性质：Ⅰ平移不改变图形的 与 ，即平移前后的图形 Ⅱ平移前后的图形对应点连得线段平行且

【名师提醒：平移作图的关键是确定平移的 和 】

2、旋转：⑴定义：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向旋转一个 ，这样的图形运动称为旋转，这个点称为 转动的 称为旋转角 ⑵旋转的性质：Ⅰ：旋转前后的图形

Ⅱ：旋转前后的两个圆形中，对应点到旋转中心的距离都，每对对应点与旋转中心的连线所成的角度都是旋转角旋转角都

【名师提醒：1、旋转作用的关键是确定 、 和 ，

2、一个图形旋转一定角度后如果能与自身重合，那么这个图形就是旋转对称

图形】

三、中心对称与中心对称图形：

1、中心对称：在平面内，一个图形绕某一点旋转1800能与自身重合它能与另一个图形 就说这两个图形关于这个点成中心对称，这个点叫做

2、中心对称图形：一个图形绕着某点旋转 后能与自身重合，这种图形叫中心对称图形，这个点叫做

3、性质：在中心对称的两个图形中，对称点的连线都经过 且被 平分

【名师提醒：1、中心对称是指一个图形的位置关系，而中心对称图形是指一个具有特殊形状的图形

2、常见的轴对称图形有 、、 、 、 、

等，常见的中心对称图形有 、 、 、 、 、 等

3、所有的正n边形都是对称圆形里有四条对称轴，边数为偶数的正

多边形，又是 对称图形

4、注意圆形的各种变换在平面直角坐标系中的运用】

【典型例题解析】 考点一：轴对称图形

例1 （2012 柳州）娜娜有一个问题请教你，下列图形中对称轴只有两条的是（ ）

A． B． C． D．

圆 等边三角形 矩形 等腰梯形

考点：轴对称图形．

分析：根据轴对称图形的概念，分别判断出四个图形的对称轴的条数即可． 解答：解：A、圆有无数条对称轴，故本选项错误； B、等边三角形有3条对称轴，故本选项错误； C、矩形有2条对称轴，故本选项正确；

D、等腰梯形有1条对称轴，故本选项错误． 故选C．

点评：本题考查轴对称图形的概念，解题关键是能够根据轴对称图形的概念正确找出各个图形的对称轴的条数，属于基础题．

例2 （2012 成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，点P（-3，5）关于y轴的对称点的坐标为（ ） A．（-3，-5） B．（3，5） C．（3．-5） D．（5，-3）

考点：关于x轴、y轴对称的点的坐标．

分析：根据关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数解答． 解答：解：点P（-3，5）关于y轴的对称点的坐标为（3，5）． 故选B．

点评：本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：

（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数； （2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数； （3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．

对应训练

1. （2012 宁波）下列交通标志图案是轴对称图形的是（ ）

A． B． C． D．

考点：轴对称图形．

专题：常规题型．

分析：根据轴对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解． 解答：解：A、不是轴对称图形，故本选项错误； B、是轴对称图形，故本选项正确； C、不是轴对称图形，故本选项错误； D、不是轴对称图形，故本选项错误． 故选B．

点评：本题考查了轴对称图形，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．

2．（2012 沈阳）在平面直角坐标系中，点P（-1，2）关于x轴的对称点的坐标为（ ） A．（-1，-2） B．（1，-2） C．（2，-1） D．（-2，1） 考点：关于x轴、y轴对称的点的坐标．

分析：根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数解答． 解答：解：点P（-1，2）关于x轴的对称点的坐标为（

-1，-2）． 故选A．

点评：本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：

（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数； （2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数； （3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 考点二：最短路线问题

A．

B．

C．

D．

对应训练

3. （2012 贵港）如图，MN为⊙O的直径，A、B是⊙O上的两点，过A作AC⊥MN于点C，过B作BD⊥MN于点D，P为DC上的任意一点，若MN=20，AC=8，BD=6，则PA+PB的最小值是 ．

考点：轴对称-最短路线问题；勾股定理；垂径定理． 专题：探究型．

考点二：中心对称图形

例4 （2012 襄阳）下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ）

A． B． C． D． 考点：中心对称图形；轴对称图形．

分析：依据轴对称图形与中心对称的概念即可解答．

解答：解：B选项是轴对称也是中心对称图形，C、D选项是轴对称但不是中心对称图形，A选项只是中心对称图形但不是轴对称图形． 故选A．

点评：对轴对称与中心对称概念的考查：

如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线

叫做对称轴．

如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心． 对应训练

4．（2012 株洲）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）

A． B． C． D．

考点：中心对称图形；轴对称图形．

分析：根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，即可判断出答案．

解答：解：A、此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误； B、此图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项错误； C、此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确； D、此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误． 故选C． 点评：此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，关键是找出图形的对称中心与对称轴．

考点二：平移旋转的性质

例5 （2012 义乌市）如图，将周长为8的△ABC沿BC方向平移1个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长为（ ） A．6 B．8 C．10 D．12

考点：平移的性质．

分析：根据平移的基本性质，得出四边形ABFD的周长=AD+AB+BF+DF=1+AB+BC+1+AC即可得出答案． 解答：解：根据题意，将周长为8个单位的等边△ABC沿边BC向右平移1个单位得到△DEF， ∴AD=1，BF=BC+CF=BC+1，DF=AC； 又∵AB+BC+AC=8，

∴四边形ABFD的周长=AD+AB+BF+DF=1+AB+BC+1+AC=10． 故选；C．

点评：本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所 连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等.得到 CF=AD,DF=AC 是解题的 关键. 例 6 (2012 十堰)如图，O 是正△ABC 内一点，OA=3,OB=4,OC=5,将线段 BO 以点 B 为旋转中心逆时针旋转 60° 得到线段 BO′,下列结论：①△BO′A 可以由△BOC 绕点 B 逆时 针旋转 60° 得到；②点 O 与 O′的距离为 4;③∠AOB=150° ;④S 四边形 AOBO′=6+3 3 ; ⑤S△AOC+S△AOB=6+ A.①②③⑤

9 3 .其中正确的结论是( 4B.①②③④

) D.①②③

C.①②③④⑤

考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理的逆定 理. 分析：证明△BO′A≌△BOC,又∠OBO′=60°,所以△BO′A 可以由△BOC 绕点 B 逆时针旋 转 60° 得到，故结论①正确； 由△OBO′是等边三角形，可知结论②正确； 在△AOO′中，三边长为 3,4,5,这是一组勾股

数，故△AOO′是直角三角形；进而求得 ∠AOB=150° ,故结论③正确； S 四边形 AOBO′=S△AOO′+S△OBO′=6+4 3 ,故结论④错误； 如图②,将△AOB 绕点 A 逆时针旋转 60° ,使得 AB 与 AC 重合，点 O 旋转至 O″点.利用 旋转变换构造等边三角形与直角三角形，将 S△AOC+S△AOB 转化为 S△COO″+S△AOO″,计算可得 结论⑤正确.

解答：

解：由题意可知，∠1+∠2=∠3+∠2=60° ,∴∠1=∠3,

又∵OB=O′B,AB=BC, ∴△BO′A≌△BOC,又∵∠OBO′=60°, ∴△BO′A 可以由△BOC 绕点 B 逆时针旋转 60° 得到， 故结论①正确； 如图①,连接 OO′, ∵OB=O′B,且∠OBO′=60°, ∴△OBO′是等边三角形，

对应训练

5.（2012 莆田）如图，△A′B′C′是由△ABC沿射线AC方向平移2cm得到，若AC=3cm，则A′C= cm．

考点：平移的性质．

分析：先根据平移的性质得出AA′=2cm，再利用AC=3cm，即可求出A′C的长． 解答：解：∵将△ABC沿射线AC方向平移2cm得到△A′B′C′， ∴AA′=2cm， 又∵AC=3cm，

∴A′C=AC-AA′=1cm． 故答案为：1．

点评：本题主要考查对平移的性质的理解和掌握，能熟练地运用平移的性质进行推理是解此题的关键．

A．

B．C．

D．

考点四：图形的折叠

例7 （2012 遵义）如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于F点，若CF=1，FD=2，则BC的长为（ ）

A． 3 C． 2 D．2

考点： 翻折变换（折叠问题）。

分析： 首先过点E作EM⊥BC于M，交BF于N，易证得△ENG≌△BNM（AAS），MN是△BCF的中位线，根据全等三角形的性质，即可求得GN=MN，由折叠的性质，可得BG=3，继而求得BF的值，又由勾股定理，即可求得BC的长． 解答： 解：过点E作EM⊥BC于M，交BF于N， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A=∠ABC=90°，AD=BC， ∵∠EMB=90°，

∴四边形ABME是矩形， ∴AE=BM，

由折叠的性质得：AE=GE，∠EGN=∠A=90°， ∴EG=BM，

∵∠ENG=∠BNM，

∴△ENG≌△BNM（AAS）， ∴NG=NM， ∴CM=DE，

∵E是AD的中点， ∴AE=ED=BM=CM， ∵EM∥CD，

∴BN：NF=BM：CM， ∴BN=NF， ∴NM=

CF=， ∴NG=，

∵BG=AB=CD=CF+DF=3， ∴BN=BG﹣NG=3﹣

=， ∴BF=2BN=5， ∴BC=故选B．

=

=2

．

B． 2

点评： 此题考查了矩形的判定与性质、折叠的性质、三角形中位线的性质以及全等三角形

∵∠BOP+∠OPB=90° , ∴∠BOP=∠CPQ. 又∵∠OBP=∠C=90° , ∴△OBP∽△PCQ, ∴

OB BP , PC CQ

由题意设 BP=t,AQ=m,BC=11,AC=6,则 PC=11-t,CQ=6-m.

6 t . 11 t 6 m 1 2 11 ∴m= tt+6(0<t<11). 6 6∴

(Ⅲ)过点 P 作 PE⊥OA 于 E, ∴∠PEA=∠QAC′=90°, ∴∠PC′E+∠EPC′=90°, ∵∠PC′E+∠QC′A=90°, ∴∠EPC′=∠QC′A, ∴△PC′E∽△C′QA, ∴

PE PC , AC C Q

∵PC′=PC=11-t,PE=OB=6,AQ=m,C′Q=CQ=6-m,2 2 ∴AC′= C Q AQ 36 12m ,

∴

6 11 t , 36 12m 6 m

∵m=

1 2 11 tt+6, 6 611 3 11 3 ,t2= , 3 3 11 3 11 3 ,6)或( ,6). 3 3

解得：t1=

点 P 的坐标为(

点评：此题考查了折叠的性质、矩形的性质以及相似三角形的判定与性质等知识．此题难度较大，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想与方程思想的应用．

对应训练 7．（2012 资阳）如图，在△ABC中，∠C=90°，将△ABC沿直线MN翻折后，顶点C恰好落在AB边上的点D处，已知MN∥AB，MC=6，NC=，则四边形MABN的面积是（

）

A． B． C． D．

考点： 翻折变换（折叠问题）。

分析： 首先连接CD，交MN于E，由将△ABC沿直线MN翻折后，顶点C恰好落在AB边上的点D处，即可得MN⊥CD，且CE=DE，又由MN∥AB，易得△CMN

∽△CAB，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，相似三角形对应高的比等于相似比，即可得

，又由MC=6，NC=

，即可求得四边形MABN的面积．

解答： 解：连接CD，交MN于E，

∵将△ABC沿直线MN翻折后，顶点C恰好落在AB边上的点D处， ∴MN⊥CD，且CE=DE， ∴CD=2CE， ∵MN∥AB， ∴CD⊥AB，

∴△CMN∽△CAB， ∴

，

，

∵在△CMN中，∠C=90°，MC=6，NC=∴S△CMN=CM CN=×6×2

=6

，

∴S△CAB=4S△CMN=4×6=24， ∴S四边形MABN=S△CAB﹣S△CMN=24﹣6故选C．

=18．

点评： 此题考查了折叠的性质、相似三角形的判定与性质以及直角三角形的性质．此题难度适中，解此题的关键是注意折叠中的对应关系，注意数形结合思想的应用．

8．（2012 深圳）如图，将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点C与点A重合，折痕交AD于点E，交BC于点F，连接AF、CE， （1）求证：四边形AFCE为菱形；

（2）设AE=a，ED=b，DC=c．请写出一个a、b、c三者之间的数量关系式．

考点：翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定与性质；菱形的判定．

分析：（1）由矩形ABCD与折叠的性质，易证得△CEF是等腰三角形，即CE=CF，即可证得AF=CF=CE=AE，即可得四边形AFCE为菱形；

（2）由折叠的性质，可得CE=AE=a，在Rt△DCE中，利用勾股定理即可求得：a、b、c三者之间的数量关系式为：a2=b2+c2．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，

∴∠AEF=∠EFC，

由折叠的性质，可得：∠AEF=∠CEF，AE=CE，AF=CF， ∴∠EFC=∠CEF， ∴CF=CE，

∴AF=CF=CE=AE，

∴四边形AFCE为菱形；

（2）a、b、c三者之间的数量关系式为：a2=b2+c2． 理由：由折叠的性质，得：CE=AE， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠D=90°，

∵AE=a，ED=b，DC=c， ∴CE=AE=a，

在Rt△DCE中，CE2=CD2+DE2，

∴a、b、c三者之间的数量关系式为：a2=b2+c2．

点评：此题考查了矩形的性质、折叠的性质、菱形的判定以及勾股定理等知识．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用，注意折叠中的对应关系．

考点五：简单的图形变换作用

对应训练

9．（2012 凉山州）如图，梯形ABCD是直角梯形． （1）直接写出点A、B、C、D的坐标；

（2）画出直角梯形ABCD关于y轴的对称图形，使它与梯形ABCD构成一个等腰梯形． （3）将（2）中的等腰梯形向上平移四个单位长度，画出平移后的图形．（不要求写作法）

考点：作图-轴对称变换；直角梯形；等腰梯形的性质；作图-平移变换． 分析：（1）根据A，B，C，D，位置得出点A、B、C、D的坐标即可；

（2）首先求出A，B两点关于y轴对称点，在坐标系中找出，连接各点，即可得出图象， （3）将对应点分别向上移动4个单位，即可得出图象． 解答：解：（1）如图所示：

根据A，B，C，D，位置得出点A、B、C、D的坐标分别为： （-2，-1），（-4，-4），（0，-4），（0，-1）；

（2）根据A，B两点关于y轴对称点分别为：A′（2，-1），（4，-4）， 在坐标系中找出，连接各点，即可得出图象，如图所示；

（3）将对应点分别向上移动4个单位，即可得出图象，如图所示．