点与圆的位置关系.讲义学生版

点与圆的位置关系

中考要求

知识点睛

一、点与圆的位置关系

1. 确定圆的条件

（1） 圆心(定点)，确定圆的位置； （2） 半径(定长)，确定圆的大小．

注意：只有当圆心和半径都确定时，圆才能确定． 2. 点与圆的位置关系

（3） 点与圆的位置关系有：点在圆上、点在圆内、点在圆外三种，这三种关系由这个点到圆心的距离

与半径的大小关系决定． （4） 设⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，则有：点在圆外 d r；点在圆上 d r；

点在圆内 d r.如下表所示：

二、过已知点的圆

1. 过已知点的圆

（1） 经过点A的圆：以点A以外的任意一点O为圆心，以OA的长为半径，即可作出过点A的圆，这

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样的圆有无数个． （2） 经过两点A、B的圆：以线段AB中垂线上任意一点O作为圆心，以OA的长为半径，即可作出过

点A、B的圆，这样的圆也有无数个． （3） 过三点的圆：若这三点A、B、C共线时，过三点的圆不存在；若A、B、C三点不共线时，圆心

是线段AB与BC的中垂线的交点，而这个交点O是唯一存在的，这样的圆有唯一一个． （4） 过n n 4 个点的圆：只可以作0个或1个，当只可作一个时，其圆心是其中不共线三点确定的

圆的圆心．

2. 定理：不在同一直线上的三点确定一个圆

（1） “不在同一直线上”这个条件不可忽视，换句话说，在同一直线上的三点不能作圆； （2） “确定”一词的含义是”有且只有”，即”唯一存在”．

三、三角形的外接圆及外心

1. 三角形的外接圆

（1） 经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交

点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形． （2） 锐角三角形外接圆的圆心在它的内部；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处(即直角三角形外接

圆半径等于斜边的一半)；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部. 2. 三角形外心的性质

（1） 三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离

相等； （2） 三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形

却有无数个，这些三角形的外心重合.

例题精讲

一、点与圆的位置关系

【例1】 已知圆内一点到圆周上的点的最大距离是7，最小距离是5，则该圆的半径是( )

A．2 B．6 C．12 D．7

【巩固】一个已知点到圆周上的点的最大距离为5cm，最小距离为1cm，则此圆的半径为______．

【巩固】定义：定点A与⊙O上的任意一点之间的距离的最小值称为点A与⊙O之间的距离．现有一矩形

BC 12cm，⊙K与矩形的边AB、BC、CD分别相切于点E、F、G，ABCD如图，AB 14cm，

则点A与⊙K的距离为______________．

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【例2】 已知 ABC中， C 90 ，AC 2，BC 3，AB的中点为M，

⑴以C为圆心，2为半径作⊙C，则点A，B，M与⊙C的位置关系如何？ ⑵若以C为圆心作⊙C，使A，B，M三点至少有一点在⊙C内，且至少有一点在⊙C外，求⊙C半径r的取值范围．

C

AMB

【巩固】Rt ABC的两条直角边BC 3，AC 4，斜边AB上的高为CD，若以C为圆心，分别以r1 2，

r2 2.4，r3 3为半径作圆，试判断D点与这三个圆的位置关系.

C

B

D

A

【例3】 已知：四边形ABCD中，AB∥CD，AD BC， BAD 135 ，AB 20，CD 40，以A为圆

心，AB长为半径作圆．求证：在⊙A上，在⊙A内，⊙A外都有线段DC上的点

.

C

二、过三点的圆

【例4】 如图，四边形ABCD中，AB AC AD，若 CAD 76 ， BDC 13 ，则 CBD _________，

BAC __________．

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A

D

B

C

【例5】 如图，在平面直角坐标系中， O 与两坐标轴分别交于A，0 ，B，C，D四点，已知：A 6，

B 0， 3 ，C 2，0 ，则点D的坐标是（ ）

A． 0，2 B． 0，3

C． 0，4 D． 0，5

2 ，【巩固】如图， O通过原点，并与坐标轴分别交于A，D两点，已知 OBA 30 ，点D的坐标为 0，

则点A，C的坐标分别为A ；C ．

三、三角形的外接圆及外心

【例6】 如图， ABC内接于⊙O，则BC

. BAC 120 ，AB AC，BD为⊙O的直径，AD 6，

【巩固】等边三角形的外接圆的半径等于边长的（

）倍．

1A

B C D．

2

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【例7】 设Rt ABC的两条直角边长分别为3，4，则此直角三角形的内切圆半径为 ，外接圆半径

为 ．

【巩固】 ABC中，AB AC 10，BC 12，求其外接圆的半径．

【例8】 已知如图， ACD的外角平分线CB交其外接圆于B，连接BA、BD，过B作BM AC于M，

BN CD于N，则下列结论中一定正确的有．

①CM CN；② MBN ABD；③AM DN；④BN为⊙O的切线．

【巩固】已知如图， ACD的外角平分线 …… 此处隐藏：1003字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……