点与圆的位置关系.讲义学生版

时间:2025-07-11

点与圆的位置关系

中考要求

知识点睛

一、点与圆的位置关系

1. 确定圆的条件

(1) 圆心(定点),确定圆的位置; (2) 半径(定长),确定圆的大小.

注意:只有当圆心和半径都确定时,圆才能确定. 2. 点与圆的位置关系

(3) 点与圆的位置关系有:点在圆上、点在圆内、点在圆外三种,这三种关系由这个点到圆心的距离

与半径的大小关系决定. (4) 设⊙O的半径为r,点P到圆心O的距离为d,则有:点在圆外 d r;点在圆上 d r;

点在圆内 d r.如下表所示:

二、过已知点的圆

1. 过已知点的圆

(1) 经过点A的圆:以点A以外的任意一点O为圆心,以OA的长为半径,即可作出过点A的圆,这

15.2.1点与圆的位置关系

讲义·学生版

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样的圆有无数个. (2) 经过两点A、B的圆:以线段AB中垂线上任意一点O作为圆心,以OA的长为半径,即可作出过

点A、B的圆,这样的圆也有无数个. (3) 过三点的圆:若这三点A、B、C共线时,过三点的圆不存在;若A、B、C三点不共线时,圆心

是线段AB与BC的中垂线的交点,而这个交点O是唯一存在的,这样的圆有唯一一个. (4) 过n n 4 个点的圆:只可以作0个或1个,当只可作一个时,其圆心是其中不共线三点确定的

圆的圆心.

2. 定理:不在同一直线上的三点确定一个圆

(1) “不在同一直线上”这个条件不可忽视,换句话说,在同一直线上的三点不能作圆; (2) “确定”一词的含义是”有且只有”,即”唯一存在”.

三、三角形的外接圆及外心

1. 三角形的外接圆

(1) 经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆,外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交

点,叫做三角形的外心,这个三角形叫做这个圆的内接三角形. (2) 锐角三角形外接圆的圆心在它的内部;直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处(即直角三角形外接

圆半径等于斜边的一半);钝角三角形外接圆的圆心在它的外部. 2. 三角形外心的性质

(1) 三角形的外心是指外接圆的圆心,它是三角形三边垂直平分线的交点,它到三角形各顶点的距离

相等; (2) 三角形的外接圆有且只有一个,即对于给定的三角形,其外心是唯一的,但一个圆的内接三角形

却有无数个,这些三角形的外心重合.

例题精讲

一、点与圆的位置关系

【例1】 已知圆内一点到圆周上的点的最大距离是7,最小距离是5,则该圆的半径是( )

A.2 B.6 C.12 D.7

【巩固】一个已知点到圆周上的点的最大距离为5cm,最小距离为1cm,则此圆的半径为______.

【巩固】定义:定点A与⊙O上的任意一点之间的距离的最小值称为点A与⊙O之间的距离.现有一矩形

BC 12cm,⊙K与矩形的边AB、BC、CD分别相切于点E、F、G,ABCD如图,AB 14cm,

则点A与⊙K的距离为______________.

15.2.1点与圆的位置关系 讲义·学生版 Page 2 of 8

【例2】 已知 ABC中, C 90 ,AC 2,BC 3,AB的中点为M,

⑴以C为圆心,2为半径作⊙C,则点A,B,M与⊙C的位置关系如何? ⑵若以C为圆心作⊙C,使A,B,M三点至少有一点在⊙C内,且至少有一点在⊙C外,求⊙C半径r的取值范围.

C

AMB

【巩固】Rt ABC的两条直角边BC 3,AC 4,斜边AB上的高为CD,若以C为圆心,分别以r1 2,

r2 2.4,r3 3为半径作圆,试判断D点与这三个圆的位置关系.

C

B

D

A

【例3】 已知:四边形ABCD中,AB∥CD,AD BC, BAD 135 ,AB 20,CD 40,以A为圆

心,AB长为半径作圆.求证:在⊙A上,在⊙A内,⊙A外都有线段DC上的点

.

C

二、过三点的圆

【例4】 如图,四边形ABCD中,AB AC AD,若 CAD 76 , BDC 13 ,则 CBD _________,

BAC __________.

15.2.1点与圆的位置关系 讲义·学生版 Page 3 of 8

A

D

B

C

【例5】 如图,在平面直角坐标系中, O 与两坐标轴分别交于A,0 ,B,C,D四点,已知:A 6,

B 0, 3 ,C 2,0 ,则点D的坐标是( )

A. 0,2 B. 0,3

C. 0,4 D. 0,5

2 ,【巩固】如图, O通过原点,并与坐标轴分别交于A,D两点,已知 OBA 30 ,点D的坐标为 0,

则点A,C的坐标分别为A ;C .

三、三角形的外接圆及外心

【例6】 如图, ABC内接于⊙O,则BC

. BAC 120 ,AB AC,BD为⊙O的直径,AD 6,

【巩固】等边三角形的外接圆的半径等于边长的(

)倍.

1A

B C D.

2

15.2.1点与圆的位置关系

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【例7】 设Rt ABC的两条直角边长分别为3,4,则此直角三角形的内切圆半径为 ,外接圆半径

为 .

【巩固】 ABC中,AB AC 10,BC 12,求其外接圆的半径.

【例8】 已知如图, ACD的外角平分线CB交其外接圆于B,连接BA、BD,过B作BM AC于M,

BN CD于N,则下列结论中一定正确的有.

①CM CN;② MBN ABD;③AM DN;④BN为⊙O的切线.

【巩固】已知如图, ACD的外角平分线 …… 此处隐藏:1003字,全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……

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