第九章 向量自回归和误差修正模型传统的经济计量方法是以经济理论为基础来描述变 量关系的模型。但是，经济理论通常并不足以对变量之间 的动态联系提供一个严密的说明，而且内生变量既可以出 现在方程的左端又可以出现在方程的右端使得估计和推断 变得更加复杂。为了解决这些问题而出现了一种用非结构 性方法来建立各个变量之间关系的模型。本章所要介绍的

向量自回归模型(vector autoregression,VAR)和向量误差修正模型(vector error correction model,VEC)就是非结 构化的多方程模型。1

§9.1 向量自回归理论向量自回归 (VAR)是基于数据的统计性质建立模型，

VAR 模型把系统中每一个内生变量作为系统中所有内生变量的滞后值的函数来构造模型，从而将单变量自回 归模型推广到由多元时间序列变量组成的“向量”自回

归模型。 VAR 模型是处理多个相关经济指标的分析与预测最容易操作的模型之一，并且在一定的条件下，多 元MA和ARMA模型也可转化成VAR模型，因此近年来 VAR模型受到越来越多的经济工作者的重视。

9.1.1 VAR模型的一般表示VAR(p) 模型的数学表达式是

yt Φ1 yt 1 Φ p yt p Hx t εtt 1, 2 , , T(9.1.1)

其中：yt是 k 维内生变量列向量，xt 是d 维外生变量列向量，p是滞后阶数，T是样本个数。k k 维矩阵 1,…, p 和 k d 维

矩阵 H 是待估计的系数矩阵。 t 是 k 维扰动列向量，它们相互之间可以同期相关，但不与自己的滞后值相关且不与等式右边 的变量相关，假设 是 t 的协方差矩阵，是一个(k k)的正定

矩阵。式(9.1.1)可以展开表示为3

y1 t 1 y1 t p x1t 1t y1t y 2 t 1 y2 t p y 2t x 2t 2t Φ1 Φ p H y x y y kt dt kt k t 1 kt p

(9.1.2)

t 1, 2 , , T即含有 k 个时间序列变量的VAR(p)模型由 k 个方程 组成。

例如：作为 VAR 的一个例子，假设工业产量( IP)和货 币供应量(M1)联合地由一个双变量的 VAR模型决定。内生 变量滞后二阶的VAR(2)模型是：

IPt c1 a11IPt 1 a12 M 1t 1 b11IPt 2 b12 M 1t 2 1,tM 1t c2 a2,1IPt 1 a22 M 1t 1 b21IPt 2 b22 M 1t 2 2,t其中， ci , aij , bij 是要被估计的参数。也可表示成：

IPt c1 a11 a12 IPt 1 b11 b12 IPt 2 1,t

M 1 b b M 1 M1 c a a t 2 21 22 t 1 21 22 t 2 2,t

一般称式(9.1.1)为非限制性向量自回归模型(unrestricted VAR)。冲击向量 t 是白噪声向量，因为 t 没有结构性的含 义，被称为简化形式的冲击向量。 为了叙述方便，下面考虑的VAR模型都是不含外生变量 的非限制向量自回归模型，用下式表示

yt Φ1 yt 1 Φ p yt p εt或

Φ ( L) y t ε t其中:

(9.1.5)

Φ( L) I k Φ1L Φ2 L2 Φ p Lp

如果行列式 det[ (L)] 的根都在单位圆外，则式 (9.1.5) 满足稳定性条件，可以将其表示为无穷阶的向量动平均

(VMA(∞))形式

yt A( L)εt其中

(9.1.6)

A( L) Φ( L)

1

A( L) A0 A1 L A2 L2

A0 I k7

对VAR模型的估计可以通过最小二乘法来进行，假如 对 矩阵不施加限制性条件，由最小二乘法可得 矩阵的

估计量为

1 t ε t Σ ε T其中：

(9.1.7)

y Φ y Φ y t yt Φ ε 1 t 1 2 t 2 p t p当 VAR的参数估计出来之后，由于 (L)A(L)=Ik,所 以也可以得到相应的VMA(∞)模型的参数估计。8

由于仅仅有内生变量的滞后值出现在等式的右边， 所以不存在同期相关性问题，用普通最小二乘法 (OLS) 能得到VAR简化式模型的一致且有效的估计量。即使扰 动向量 t 有同期相关，OLS仍然是有效的，因为所有的

方程有相同的回归量，其与广义最小二乘法 (GLS)是等价的。注意，由于任何序列相关都可以通过增加更多的 yt 的滞后而被消除，所以扰动项序列不相关的假设并不 要求非常严格。

例9.1 我国货币政策效应实证分析的VAR模型为了研究货币供应量和利率的变动对经济波动的长 期影响和短期影响及其贡献度，采用我国1995年1季度~ 2007年4季度的季度数据，并对变量进行了季节调整。设 居民消费价格指数为CPI_90 (1990年1季度=1)、居民消费

价格指数增长率为CPI 、实际GDP的对数ln(GDP/CPI_90)为ln(gdp) 、实际M1的对数ln(M1/CPI_90) 为ln(m1) 和实 际利率rr (一年期存款利率R-CPI )。

利用VAR(p)模型对 ln(gdp) , ln(m1) 和 rr,3个变量 之间的关系进行实证研究，其中实际GDP和实际M1以对数差 分的形式出现在模型中，而实际利率没有取对数。

rrt ln( m1)t ln( gdp) t

rrt 1 c1 c2 Φ1 ln( m1) t 1 c ln( gdp) 3 t 1

rrt p 1t Φ p ln( m1) t p 2t

ln( gdp) t p 3t

EViews软件中VAR模型的建立和估计1.建立VAR模型为 了 创 建 一 个 VAR 对 象 ， 应 选 择 Quick/Estimate VAR… 或者选择 Objects/New object/VAR 或者在命令窗口 中键入var。便会出现下图的对话框(以例9.1为例):

可以在对话框内添入相应的信息： (1) 选择模型类型(VAR Type):

无约束向量自回归( Unrestricted VAR)或者向量误差修正( Vector Error Correction)。无约束 VAR 模 型是指VAR模型的简化式。

(2) 在Estimation Sample编辑框中设臵样本区间

(3) 输入滞后信息在Lag Intervals for Endogenous编辑框中输入滞后信 息，表明哪些滞后变量应该被包括在每个等式的右端。这 一信息应该成对输入：每一对数字描述一个滞后区间。例 如，滞后对 1 4 表示用系统中所有内生变量的1阶到4阶滞后变量作为等式 右端的变量。 也可以添加代表滞后区间的任意数字，但都要成对输 入。例如： 2 4 6 9 12 12

即为用2―4阶，6―9阶及第12阶滞后变量。14

(4) 在Endogenous Variables编辑栏中输入相应的内生变量(5) 在Exogenous Variables编辑栏中输入相应的外生变量 EViews允许VAR模型中包含外生变量，

yt Φ1 yt 1 Φ p yt p Hx t εt其中 xt 是 d 维外生变量向量 , k d 维矩阵 H 是要被估计的系数矩阵。可以在Exogenous Variables编辑栏中输入相应的外生变 量。系统通常会自动给出常数 c 作为外生变量。

其余两个菜单( Cointegration 和 Restrictions)仅与 VEC模型有关，将在下面介绍。15

2.VAR估计的输出 VAR对象的设定框填写完毕，单击 OK 按纽， EViews 将会在VAR对象窗口显示如下估计结果：