考纲解读

第六节 圆锥曲线综合

1.掌握与圆锥曲线有关的最值、定值和参数范围问题. 2.会处理动曲线(含直线)过定点的问题.

3.会证明与曲线上的动点有关的定值问题.4.会按条件建立目标函数，研究变量的最值问题及变量的取值范围问题， 注意运用数形结合和几何法求某些量的最值.

知识点精讲一、定值问题 解析几何中定值问题的证明可运用函数的思想方法来解决. 证明过程可 总结为“变量—函数—定值”,具体操作程序如下： (1)变量. 选择适当的量为变量； (2)函数. 把要证明为定值的量表示成上述变量的函数； (3)定值. 化简得到的函数解析式，消去变量得到定值. 求定值问题常见的方法有两种：

(1)从特殊入手，求出定值，再证明该定值与变量无关；(2)直接推理、计算，并在计算推理过程中消去变量，从而得到定值. 二、求最值问题常见的方法有两种： (1)几何法：题中给出的条件有明显的几何特征，则考虑用几何图形性质来 解决，这是几何法.

(2)代数法：题中给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标数，再求该函数的最值. 求函数的最值常见的方法有基本不等式法、单调性法 和三角换元法等，这是代数法.. 三、求定值、最值等圆锥曲线综合问题的“四重视” (1)重视定义在解题中的作用.

(2)重视平面几何知识在解题中的作用.(3)重视根与系数的关系在解题中的作用. (4)重视曲线的几何特征与方程的代数特征在解题中的作用.

四、求参数的取值范围据已知条件建立等式或不等式的函数关系，再求参数的范围.

题型归纳及思路提示题型151 平面向量在解析几何中的应用 【例10.45】在直角坐标系xOy 中，点 P到两点(0, 3), (0,3) 的距离之和等于4,B 两点. 设点P 的轨迹为 C ,直线 y kx 1 与C 交于A , (1)写出C 的方程；(2)若OA OB ,求k 的值.

P 的轨迹C 是以(0, 3),, (0 3) 为 【解析】(1)设P x, y ,由椭圆定义可知，点

焦点，长半轴为2 的椭圆.其短半轴长b 22 ( 3) 2 1, y2 2 2 1. 故曲线C 的方程为 x y 2 4 1 x , 4 (2)设A( x1,y1 ) , B( x2,y2 ),联立直线与C 的方程，得 y kx 1 2 k 3 , x1 x2 2 . 消去y并整理得(k 2 4) x 2 2kx 3 0, 故x1 x2 2 k 4 k 4 若OA OB,即x1 x2 y1 y2 0. 而y1 y2 k 2 x1 x2 k ( x1 x2 ) 1, 3 2k 于是x1 x2 y1 y2 k 2 1 2 k 2 1 0, k 4 k 4 1 化简得 4k 2 1 0,所以k . 2

题型152 定点问题 2 x y2 1,直线 l : y kx m 与椭圆交于A , B 两点 【例10.49】已知椭圆 4 3 ( A ,B 不是顶点),且以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点. 求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标.

【分析】要求直线过定点，必须知道直线l : y kx m 中 k 与m 的关系. x2 y 2 1 设A x1 , y1 , B x2 , y2 , 4 【解析】 , 3 y kx m 2 2 消去y得 4k 3 x 8kmx 4m2 12 0,2

则有 8km 4 4k 2 3 4m 2 12 0, 8km x1 x2 2 4k 3 2 2 即m 4k 3, ( ) 2 x x 4m 12 1 2 4k 2 3 因为以AB 为直径的圆过右顶点(2,0) ,所以 x1 2, y1 x2 2, y2 0 , 即x1 x2 2 x1 x2 4 y1 y2 0 ,

即x1 x2 2 x1 x2 4 kx1 m kx2 m 0,

2k . 7 (1)当m 2k时，l : y kx 2k 过右顶点(2,0),与题意不符，故舍去. 把式( )代入化简得7m2 16km 4k 2 0,得m 2k 或m 2k 2k 2 (2)当m 时，l : y kx 过定点 ,0 ,且满足m 2 4k 2 3 , 7 7 7 2 0 . 符合题意，所以 l : y kx m过定点 , 7 题型153 定值问题 x2 y 2 3 【例10.55】已知椭圆 C : 2 2 1 a b 0 的离心率为 过右焦点F 且斜 a b 2 率为k ( k 0) 的直线与C 相交于A,B 两点，若 AF 3FB,则k () .

C. 3 D.2 【解析】如图10-46所示，不妨设 AF 3 e RF AB 2e 3, 则 FB 1 ,MF 1 , 2 在 Rt△MFR 中， RM 3 1 k tan RFM 2. 故选B. FM 1

A.1

B. 2

y B R O M A

F

x

图 10-46

x2 y 2 F2 ,点 M 是椭圆上任意 【例10.63】设椭圆 1 的左、右焦点分别为F1 , 25 16 一点，点A 的坐标为(2,1) ,求 MF1 MA 的最大值和最小值.

题型154 最值问题

【分析】本题若设 M ( x, y ) ,建立目标函数 MA MF1 f x, y ,则会作茧自缚. 但是注意到 F1 为椭圆左焦点，联想到椭圆定义及三角形中边的关系不y

等式时，问题就容易获解. 【解析】如图10-59所示，因为M 在椭圆上， 所以有 MF1 MF2 2a 10. 令Z MF1 MA ,得Z 10 MA MF2 .F1 O A

M

F2

x

图 10-59 当M ,A,F2 三点不共线时，有 AF2 MA MF2 AF2 ,

MA MF2 F2 A . 当M 落在F2 A 的延长线时， MA MF2 F2 A . 当 M 落在AF2 的延长线时，所以Z max 10 F2 A 10

2 3 1 0 2

2

10 2,

Z min 10 F2 A 10 2.