985高校精品微积分曲线曲面积分复习资料

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一、曲线积分的计算法1.基本方法曲线积分第一类 (对弧长 ) 转化第二类 (对坐标 ) 用参数方程 (1)统一积分变量用直角坐标方程用极坐标方程 (2)确定积分上下限第一类:下小上大第二类:下始上终定积分

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第一类曲线积分的物理背景曲线形物体的质量假设曲线形细长物体在空间所占弧段为AB,其线密度为ρ ( x, y, z ),为计算此物体的质量,采用第一类曲线积分,可得 M=∫ρ ( x, y, z ) dsΓ

z

B L M n 1(ξ i,η i,ζ i ) M i M2 M i 1 M1

ox

A

y

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第一类曲线积分的计算 对光滑曲线弧 L: x=φ (t ), y=ψ (t ), (α≤ t≤β ),

∫L∫L

f ( x, y ) ds=∫ f[φ (t ),ψ (t )]φ′ 2 (t )+ψ′ 2 (t ) d tα f ( x, y ) ds=∫ f ( x,ψ ( x) ) 1+ψ′ 2 ( x) d x ab

β

对光滑曲线弧 L: y=ψ ( x) ( a≤ x≤ b ),

对光滑曲线弧 L: r= r (θ ) (α≤θ≤β ),

∫L f ( x, y)ds=∫ f (r (θ ) cosθ, r (θ ) sinθ ) r 2 (θ )+ r′ 2 (θ ) dθαβ

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例.计算

∫

L

x 2+ y 2 ds,其中L为圆周 x 2+ y 2= a x .

提示:利用极坐标, L: r= a cosθ (

π

ds=原式=

r 2+ r′2 dθ= a dθ a x ds=∫π2

2

≤θ≤

π

2

)

∫L

π 2

= 2a 2 a cosθ a dθ2 2

说明:若用参数方程计算,则

y rθt

L:

x= a (1+ cos t ) 2 y= a sin t 22 2

( 0≤ t≤ 2π ) o

ax

a ds= x+ y dt= dt 2

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第二类曲线积分的物理背景变力沿曲线所作的功L: A→ B,F ( x, y )= P ( x, y )i+ Q ( x, y ) j

计算此变力沿曲线L所做的功,采用第二类曲线积分

∫L P (x, y )dx+∫L Q(x, y )dy=∫L P (x, y )dx+ Q(x, y )dy

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第二类曲线积分的计算 (1):利用参数方程、极坐标方程等直接化为定积分

x= (t ), t:α→β 对有向光滑弧 L: y=ψ (t )

∫L P( x, y)d x+ Q( x, y)d y=∫βα

{ P[ (t ),ψ (t )] ′(t )+ Q[ (t ),ψ (t )]ψ′(t )}d t

对有向光滑弧 L: y=ψ ( x), x: a→ b

∫L P( x, y)d x+ Q( x, y)d y=∫{ P[ x,ψ ( x)]+ Q[ x,ψ ( x)]ψ′(x)}d xa b

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例.计算

x= a (t sin t ), y= a (1 cos t )上对应 t从 0到 2π的一段弧.解:

∫L (2a y) d x+ x d y,其中L为摆线

(2a y ) d x+ x d y= a (1+ cos t ) a (1 cos t ) d t+ a (t sin t ) a sin t d t= a 2t sin t d t

∴

2 2π原式= a t sin t d t 0

∫

=a

2

[ t cos t sin t

2]0π

= 2π a 2

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x=φ (t ) 对空间有向光滑弧Γ: y=ψ (t ), t:α→β z=ω (t )∫ P( x, y, z )d x+ Q( x, y, z )d y+ R( x, y, z ) d zΓ

=∫

{ P[ (t ),ψ (t ),ω (t )] ′(t )α

β

+ Q[ (t ),ψ (t ),ω (t )]ψ′(t )

+ R[ (t ),ψ (t ),ω (t )]ω′(t )}d t 4.两类曲线积分的联系∫ P d x+ Q d y=∫{P cosα+ Q cosβ}dsL L

∫Γ P d x+ Q d y+ R d z=∫{P cosα+ Q cosβ+ R cos

γ}dsΓ

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平面曲线上的第二类曲线积分的计算 (2)采用格林公式或验证与路径无关后更改积分路径 Q P 格林公式∫ P d x+ Q d y=∫∫D x y d x d y L 等价条件设 P, Q在 D内具有一阶连续偏导数,则有

∫ L P d x+ Q d y在 D内与路径无关.对 D内任意闭曲线 L有∫ L P d x+ Q d y= 0

Q P=在 D内有 x y在 D内有 d u= P d x+ Q d y

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2 2例.计算 I=∫L ( x y ) d x+ ( y x)d y,其中L是沿逆

时针方向以原点为中心, a为半径的上半圆周.解法1令 P= x 2 y, Q= y 2 x,则

Q P= 1= x y这说明积分与路径无关,故 I=∫AB

yC

L Bo

( x 2 y ) d x+ ( y 2 x ) dy 2 3= a 3

Ax

=∫

a 2 x dx a

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解法2添加辅助线段 BA,它与L所围区域为D,则

I=

∫

L+ BA

( x y ) d x+ ( y x) d y2 2

yC

∫D

BA

( x y ) d x+ ( y x) d ya 2 x a

2

2

DBo

L

=∫∫ 0 d x d y ∫

2 3 dx= a 3

Ax

(利用格林公式)

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2 x2+ y2逆时针方向. y x解 P=, Q=, 2 2 2 2 2 x+y 2 x+yL

例.求∫

ydx xdy

(

)

, L: ( x 1)+ y 2= 22

(

)

(

)

当x 2+ y 2≠ 0时 x2 y2 Q P .== 2 2 x y 2 x+ y Q P此为复连通域,且= x y

(

)

∫L=∫L

1

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其中L, L1取逆时针方向,

x= R cosθ, L1= y= R sinθ . ydx xdy ydx xdy∫ L 2 x 2+ y 2=∫ L1 2 x 2+ y 2

(

)

(

)

R sinθ R ( sinθ ) R cosθ R cosθ=∫ dθ 2 0 2R= π .2π

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例计算I=∫

L

( x y ) dx+ ( x+ 4 y ) dy,其中x+ 4y2 2

L从点 ( 1,0 )沿上半圆x 2+ y 2= 1到点 ( 1,0 ) .解 Q P x 2 8 xy+ 4 y 2== 2 2 2 x y x+ 4y

(

)

所以在不包含原点的单连通区域内曲线积分与路径无关.半椭圆周x 2+ 4 y 2= 1到点 ( 1,0 ),为了计算方便，将路径L换成从点 ( 1,0 )沿上

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1其参数方程为: x= cos …… 此处隐藏：1620字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……