信号与系统复习资料

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1．判断系统的线性及时不变特性。

y(t) [x(t)]2

①判断系统是否具有线性特性

若x1(t) y1(t) [x1(t)]2x2(t) y2(t) [x2(t)]2按系统的功能得到

a1x1(t) a2x2(t) [a1x1(t) a2x2(t)]2 a12[x1(t)]2 2a1a2x1(t)x2(t) a22[x2(t)]2 a1y1(t) a2y2(t)

所以系统不具线性特性。②判断系统是否具有时不变特性若x(t) y(t)，则按系统的功能得到

x(t ) [x(t )]2 y(t )

所以系统具有时不变特性。

综上所述，系统是非线性、时不变系统。

y(t) x(2t)

①判断系统是否具有线性特性

若

x1(t) y1(t) x1(2t)

x2(t) y2(t) x2(2t)按系统的功能得到

a1x1(t) a2x2(t) a1x1(2t) a2x2(2t) a1y1(t) a2y2(t)

所以系统具有线性特性。②判断系统是否具有时不变特性若x(t) y(t)，则按系统的功能得到

x(t ) x(2t ) y(t )

所以系统不具时不变特性。综上所述，系统是线性、时变系统。

2．某LTI系统的输入为e t ，输出为r t ，其微分方程表示为：

d2dd

r t 3r t 2r t e t 2e t dtdtdt

试求当e t e t，r 0 0，r 0 3的完全解。

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解：原方程的特征方程为： 2 3 2 0，得 1， 2

t 2t

故方程的齐次解为：rc t Ae Ae12

因e t e t可令特解为：rp t B0te t B1e t 将其代入原方程可得，

t t3B0te t 3B0te t B0e t 3Bte 3Bte e t 则有B0 1，所以特解方程可11

t表示为：rp t te t Be 1

t t完全解为 r t rc t rp t Ae A2e 2t te t Be11

Ae e A1 B12e t

t

2t

t

其导数为 r t A1 B1 e t 2A2e 2t te t e t 代入初始条件得

r 0 A1 B1 A2 0 r 0 A1 B1 2A2 1 3

所以 A1 B1 2，A2 2。故系统的完全解为：

r t 2e t 2A2e 2t te t，t 0

下述微分方程以e t 表示系统的输入为，输出为r t ：

d

r t r t e t dt

试求当e t 10cos4t t ，r 0 0时的完全解。 解：特征方程为 1 0， 1

t

齐次解为：rc t Ae 1

当e t 10cos4t t 时，可令其特解函数式为

rp t B1cos4t B2sin4t

将其代入微分方程得

4B1sin4t 4B2cos4t B1cos4t B2sin4t 10cos4t

则有4B2 B1 10， 4B1 B2 0

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10101040，B2 ，rp t cos4t sin4t 17171717

1040 t

sit nA4那么完全解为 r t rc t rp t cost41e 1717

1010

代入初始值得 r 0 0 A1 ，A1

1717101040

故其完全解为 r t etcos4t

si nt4

171717

所以 B1

10 te 4t 76 173．已知某LTI系统的微分方程为

d

r t 2r t e t dt

起始状态r 0 2，e t e t，求自由响应，强迫响应，零输入和零状态响应。

解：根据原方程可知齐次方程的特征根为 2 齐次解是：rc t Ae 2t 可令特解为 rp t B te

ttt

2B e e代入微分方程得 Be，B 1

完全解为 r t rc t rp t Ae 2t e t

2t t

因r 0 r 0 2，利用求出A 1，则完全解为 r t e e

自由响应

强迫响应

求零输入响应时，特解等于零。

rzp t Azpe 2t

由初始条件r 0 r 0 2，解得Azp 2，那么

rzp t 2e 2t

求零状态响应时，r 0 r 0 0，e t e t，其齐次解为Azse 2t，特解为e t，所以零状态响应为 rzs t Azse 2t e t 由r 0 r 0 0，可得Azs 1，则rzs t e 2t e t

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2t2t

所以其完全解为 r t 2e e e t

零输入响应

零状态响应

2t

e et

已知某LTI系统的微分方程为

d

r t 2r t e t dt

起始状态r 0 2，e t 3e t，求自由响应，强迫响应，零输入和零状态响应。

解：根据原方程可知齐次方程的特征根为 2 齐次解是：rc t Ae 2t 可令特解为 rp t B te

代入微分方程得 Be t 2Be t 3e t，B 3 完全解为 r t rc t rp t Ae 2t 3e t

因r 0 r 0 2，利用求出A 1，则完全解为 r t e 2t 3e t

自由响应

强迫响应

求零输入响应时，特解等于零。

rzp t Azpe 2t

由初始条件r 0 r 0 2，解得Azp 2，那么

rzp t 2e 2t

求零状态响应时，r 0 r 0 0，e t 3e t，其齐次解为Azse 2t，特解为3e t，所以零状态响应为 rzs t Azse 2t 3e t 由r 0 r 0 0，可得Azs 3，则rzs t 3e 2t 3e t

2t 2t t所以其完全解为 r t 2e 3 e e

零输入响应

零状态响应

2tt

e3 e

4.求例3.1所示三角波信号的傅里叶级数表示。

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T

421 2

解：a1 0 1 t Ecos 1tdt

T1 T1

T12

4T1 1

Esin t

T1210

42 1t16E4E

E 2cos 1t sin 1t 2 2

T1T1 1 1 04

T

421 2

a2 1 t Ecos2 1tdt

T10 T1

42 1t

E 2cos2 1t sin2 1t 0 T1T1 4 12 1 0

T1

2

T

421 2

a3 1 t Ecos3 1tdt

T10 T1

T12

42 1t4E1

E 2cos3 1t sin3 1t 2 T1T1 9 13 1 0 9

T

421 2

a4 1 t Ecos4 1tdt 0

T10 T1

4E11

,n为奇数 4T222

所以Cn an 02 1 t Ecosn 1tdt n

T1 T1 0,n为偶数

T

221 2 E

a0 E 1 t dt ，bn 0

T10 T1 2

则有f t

E4E 11

2 cos 1t cos3 1t cos5 1t 2 925

利用公式可得

E

,n 0 2

2E1

Fn 22,n为奇数

n

0,n为偶数

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