3-4 高阶系统时域分析
时间：2026-01-20
3-4 高阶系统时域分析
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烟 台 大 学 光 电 学 院
3-4 高阶系统时域分析
在控制工程中，大多数的控制系统都是高 阶系统，即用高阶微分方程描述的系统。对 于不能用一、二阶系统近似的高阶系统来说， 其动态性能指标的确定是比较复杂的。工程 上常采用闭环主导极点的概念对高阶系统进 行近似分析从而得到高阶系统动态性能指标 的估算公式。
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3.4.1 三阶系统的单位阶跃响应 jω设三阶系统闭环传函为j n 1 2 n
n 2 s0 C ( s) ( s ) R(s) (s s0 )(s 2 2 n s n 2 ) -s0
0
σ
在欠阻尼时，系统的单位阶跃响应为
j n 1 2
1 A B C C ( s) 2 s (s s0 ) s n j n 1 s n j n 1 2 n 2 A 2 s0 2 n s0 n 2s0 (2 n s0 ) js0 (2 2 n s0 n ) / 1 2 B 2[(2 2 n s0 n ) 2 (2 n s0 ) 2 (1 2 )] s0 (2 n s0 ) js0 (2 2 n s0 n ) / 1 2 C 2[(2 2 n s0 n ) 2 (2 n s0 ) 2 (1 2 )]
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,取拉斯反变换得 n 1 h(t ) 1 2 e s0t b (b 2) 1e 2 2 2 [b (b 2) cos( n 1 t ) b (b 2) 1 b [ 2 (b 2) 1] 1 2 sin( nt 1 2 ) (t 0) n t
令：b
s0
当 =0.5时，三阶系统单位阶跃响应曲 线如图所示。
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C(t) 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0. 2 0b 4 b
b 2
b
n
s0
b 1 b
nt 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
b=∞,表示无实极点。由图可见，加入实极点后， 当 不变时，超调量下降了，但调节时间增加了。
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三阶系统的单位阶跃响应由 三部分组成：稳态项，共轭复 极点形成的振荡分量，实极点 构成的衰减指数项分量。 1)当b>>1时，表示实极点远离虚
jωj n 1 2 n
-s0
0
σ
j n 1 2
轴，共轭复极点离虚轴近，系统的瞬态特性主要由共 轭复极点决定，呈二阶系统的特性，即系统的特性由 二阶系统的特征参数 和 n决定。 2)当b<<1时，表示实极点离虚轴近，共轭复极点离虚 轴远，系统的瞬态特性主要由实极点决定，呈一阶系 统的特性。 3)一般情况下三阶系统的阶跃响应与实极点和共轭复 极点的相对位置有关。
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3.4.2 高阶系统的单位阶跃响应C (s) G(s) ( s) R( s) 1 G ( s) H ( s)m m 1
R(s)
1
G(s)
C(s)
M ( s ) b0 s b1s bm 1s bm D( s ) a0 s n a1s n 1 an 1s1 an K ( s zi )n 2r j 1 i 1 m
H(s)
( s s j ) ( s 2 2 k k s k2 ) k 1
r
( m n)
单位阶跃响应为r Bk s Ck 1 A0 n 2r Aj C (s) (s) 2 s s s
s j k 1 s 2 k k s k2 j 1
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h 即： (t ) A0 Aj ej 1 r
n 2r
s jt
Bk e k k t cos( k 1 k 2 )tk 1 r
k 1
Ck Bk k k 1 k2
e k k t sin( k 1 k 2 )t
(t 0)
1)高阶系统的阶跃响应总可以由一阶、二阶系统 的响应组成。
2) h(t ) 不仅与闭环极点 s j、 k k j 1 k2 k 有关， 而且与系数 有关(这些系数都与闭环零、 Aj、Bk、Ck 极点有关)。所以，高阶系统的单位阶跃响应取决
于闭环系统的零、极点分布。
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[定性分析]: 极点的影响 对于稳定的高阶系统(闭环极点全部位于s左半 平面),极点为实数或共轭复数，分别对应时域表 达式的指数衰减项或衰减正弦项，但衰减的快慢 取决于极点离虚轴的距离。距虚轴近的极点对应 的项衰减得慢；距虚轴远的极点对应的项衰减得 快。所以，距虚轴近的极点对瞬态响应影响大。1 10 1 10 1 1 1 C ( s) ( s) s s( s 1)(s 10) s 9 s 1 9 s 1010 t 1 10t c(t ) 1 e e 9 9
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零点的影响零点不影响响应的形式。零点只影响各项的系 数。零点若靠近某个极点，则该极点对应项的系数 就小。 偶极子 若有一对零极点之间的距离是极点到虚轴距离的 十分之一以上，这对零极点称为偶极子。偶极子对 瞬态响应的影响可以忽略。 衰减慢且系数大的项在瞬态过程中起主导作用。
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3.4.3 闭环主导极点满足下列条件的极点称为主导极点。 闭环系统若存在离虚轴最近的一对共轭极点或一 个实极点； 极点附近无零点； 其他极点距虚轴的距离是离虚轴最近的极点距虚 轴的距离的5~10倍以上。 主导极点在h(t)中的对应项衰减最慢，系数最大， 系统的瞬态性能指标主要由它决定。具有主导极点 的高阶系统可近似为二阶或一阶系统。
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利用主导极点的概念可以对高阶系统的特性做 近似的估计分析具有主导极点的高阶系统可近似为二阶或一阶 系统。此时高阶系统的特性可用等效低阶系统的特 性做近似的估计分析。 高阶系统近似简化原则： 在近似前后，确保输出稳态值不变； 在近似前后，瞬态过程基本相差不大。
具体规则是：在时间常数形式的开环或闭环传递 函数上略去小时间常数。
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n 2 (s z ) 例如： (s) 2 (s 2 n s n 2 )(s s0 )若：
jωj n 1 2 n
s0 z 5以及 5 n n1 z n 2 ( s 1) z
-z -s0
0
σ
j n 1 2
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