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5-4 电场强度通量 高斯定理

复习： 复习： 点电荷的电场 点电荷系的电场1 Q E= 4 πε0 r 2

1 Qi E=∑ = ∑ Ei 2 i 4πε0 ri i

1 dq 连续带电体的电场 E = ∫ dE = ∫ 2 4 πε0 r第五章 静电场

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一

电场线

1 规定 (1) 切线方向为电场强度方向 ) (2) 疏密表示电场强度的大小 ) 2 特点dSdNE

(1) 始于正电荷，止于负电荷，非闭合线 ) 始于正电荷，止于负电荷，非闭合线. (2) 任何两条电场线不相交 ) 任何两条电场线不相交.第五章 静电场

E = dN/dS

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二

电场强度通量1 定义：Φ e 定义： 垂直通过电场中某个面的电场线数 2 计算1)匀强电场a) 场强与面元垂直

dS

en

E

dN = EdS

dΦe = EdS

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二

电场强度通量1 定义 垂直通过电场中某个面的电场线数 2 计算1)匀强电场a) 场强与面元夹角 场强与面元夹角θ

S

enθE

Φe = EScosθ = ES

S

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2) 非匀强电场，曲面 . 非匀强电场，曲面S

dS = dS enS

dΦe = E cos θdS = E dS

Φe = ∫ dΦe = ∫ E dS

enθ

E

dSS

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2) 非均匀电场，闭合曲面 . 非均匀电场，闭合曲面S

Φ e = ∫ E d S = ∫ E cos θ d SS S

“穿出 “穿出”θ < 90 穿出” “穿进”θ > 90 穿进” 穿进Eθ θ

enE

en

S

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例1 三棱柱体放置在如图所示的匀强电 场中. 求通过此三棱柱体的电场强度通量. 场中 求通过此三棱柱体的电场强度通量 解

Φe = ∑ Φeii =1

5

yNS1

P

S2

= Φe1 + Φe 2

θoen

en ER

en

x

z

M

Q

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Φe1 = ∫ E dS = ES1 cos π = ES1 s1 Φe 2 = ∫ E dS = ES 2 cos θ = ES1 s2Φe = ∑ Φei = 0i =1 5

yNS1

P

S2

θoen

en ER

en

x

z

M

Q

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高斯 (C.F.Gauss 17771855) ) 德国数学家、 德国数学家、天文学 数学家 家和物理学家 物理学家， 家和物理学家，有“数 学王子”美称， 学王子”美称，他与韦 伯制成了第一台有线电 报机和建立了地磁观测 台，高斯还创立了电磁 量的绝对单位制. 量的绝对单位制.

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三

高斯定理

1 点电荷被球面包围

q E= 2 4 πε0 R

Φe = ∫ E dS S q = dS 2 ∫S 4 πε0 R q = ε0

dS+R

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q Φ 2 点电荷被任意闭合曲面包围： e = 点电荷被任意闭合曲面包围： ε0 3 点电荷不被闭合曲面包围： 点电荷不被闭合曲面包围：

Φe = ∫ E dS = 0S

∫ E dS = 0S

E1q+

E2

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4 点电荷系的电场

E dS = ∫S E1 dS + ∫S E2 dS + + ∫S En dS ∫S = Φe1 +Φe2 + +ΦenΦ =0 1 in in Φei = qi ε0 1 n in ∫SE dS = ε0 ∑qi i =1out ei

EdS

s

qi

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高斯定理

高斯面

在真空静电场中，穿过任一闭合曲面 在真空静电场中，穿过任一闭合曲面 的电场强度通量， 的电场强度通量，等于该曲面所包围的所 有电荷的代数和除以 ε0 .

1 Φe = ∫ E dS = ε0 S

∑qi =1

n

ini

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4 高斯定理的讨论 (1) 高斯面：闭合曲面. ) 高斯面：闭合曲面. 电荷的总电场强度. (2) 电场强度：所有电荷的总电场强度. ) 电场强度：所有电荷的总电场强度 电荷有贡献. (4) 电通量：仅面内电荷有贡献. ) 电通量： (5) 静电场：有源场. ) 静电场：有源场. 5 高斯定理的导出

1 in Φ e 的电场中 在点电荷q的电场中 =通过求电通量导出. 的电场中， ε ∑ q i 在点电荷 = ∫ E d S,通过求电通量导出 0 i =1 S库仑定律 电场强度叠加原理 高斯 定理

n

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设有一半径为 一半径为R 均匀带电Q 的球面. 例2 设有一半径为 , 均匀带电 的球面 求球面内外任意点的电场强度 任意点的电场强度. 求球面内外任意点的电场强度 解 对称性分析：球对称 对称性分析： 高斯面：闭合球面 高斯面： (1) 0 < r < R )

SRO

1 ∫SE dS = ε0

q in = 0 ∑ ii =1

n

rQ

E =0

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Q (2) r > R ) ∫SE dS = E 4 πr = ε0 2 Q E= 2 4 πε0 r2

Q 4πε0 R2

E

Q 4 πε 0 r 2

rO

o

R

r

s

Q